解讀《集合》

李仲青

筆者在使用人教A版高中課標(biāo)數(shù)學(xué)必修A版《集合》時(shí)所進(jìn)行了如下教材解讀：

一、常用數(shù)集的記法

自然數(shù)集N.N是“自然數(shù)”的英文natural number的首字母.

實(shí)數(shù)集R.R是“實(shí)數(shù)”的英文real number的首字母.

有理數(shù)集Q.“有理數(shù)”的英文是rational number，首字母與實(shí)數(shù)的相同，也是r.由于有理數(shù)可以表示為既約分?jǐn)?shù)，（m，n∈Z，n≠0，（m，n）=1（m，n互質(zhì)），即兩個(gè)整數(shù)比的形式，或商的形式，而“商”的英文是quotient，可能因此用它的首字母Q表示有理數(shù)集.

整數(shù)集Z.Z可能是“整數(shù)”的“整”字漢語(yǔ)拼音zhěng的首字母.

二、集合間的關(guān)系類比實(shí)數(shù)間的關(guān)系

“實(shí)數(shù)有相等關(guān)系、大小關(guān)系，如5=5，5<7，…，等等.類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，你會(huì)想到集合之間的什么關(guān)系？”

這里，5=5，還可以改寫作，5≤5，因?yàn)椤啊堋睘椤?lt;”或“=”，二者居其一；同樣，5<7，也可以寫作，5≤7.這樣，通過(guò)這層過(guò)渡，對(duì)類比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系想到集合之間的關(guān)系，就更加直觀了.

必須注意，x<7與x≤7不同.此處，x是變量，取值“非常豐富”，7是邊界（右端點(diǎn)）.x≤7意味著x可以取得（到）邊界，而x<7中x取不到邊界（右端點(diǎn)7）.

兩個(gè)集合之間的關(guān)系，除了相等關(guān)系、包含關(guān)系外，還有交叉關(guān)系，“沒(méi)有關(guān)系”，還可以有“大小”關(guān)系（對(duì)容量而言）.

三、等集概念的兩次不同層次的建立

兩個(gè)集合相等的概念的建立，先后經(jīng)歷了兩個(gè)不同層次的描述方式.首先第一層次，“只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合是相等的”，這是一種最原始、最直觀、最自然、最可接受，也是最合情合理的描述方式.但在兩個(gè)集合相等的判斷的層面上，需要“逐個(gè)地”檢驗(yàn)，表現(xiàn)出檢驗(yàn)的“豐富性”，即缺乏簡(jiǎn)潔.其次第二層次，“如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集”，則“集合A與集合B相等”.這里，“集合A是集合B的子集”，根據(jù)定義，在判斷的層面上，也需要“逐個(gè)地”檢驗(yàn)，同樣表現(xiàn)出檢驗(yàn)過(guò)程的“豐富性”.但是，在“子集”概念的基礎(chǔ)上，只需要“兩次”的判斷，即“集合A是集合B的子集”和“集合B是集合A的子集”.“檢驗(yàn)次數(shù)”由“多”變?yōu)椤岸保w現(xiàn)了簡(jiǎn)潔性，這是一種質(zhì)的變化.

四、子集與真子集的區(qū)別

很多同學(xué)無(wú)法弄清：“子集”與“真子集”有什么區(qū)別，下面具體談?wù)剝烧叩膮^(qū)別：

1.A是B的子集，A？哿B，照定義，A中任意一個(gè)元素都是B中的元素.這里體現(xiàn)了“任意性”.

A是B的真子集，A？芴B，照定義，它由兩部分構(gòu)成，首先，A是B的子集.其次，有屬于B但不屬于A的元素存在，或者說(shuō)，B中有不屬于A的元素存在.這里體現(xiàn)了“存在性”.這第二部分就是與第一部分的區(qū)別，亦即真子集與子集的區(qū)別.

2.A是B的子集，A？哿B，照定義，它有兩種可能，或者A與B是等集，A=B，或者A是B的真子集，A？芴B.照記號(hào)看，“？哿”，也同樣體現(xiàn)了兩種可能，或者是“=”，或者是“？芴”.類似于“≤”，有兩種可能，或者是“=”，或者是“<”.

A是B的真子集，A？芴B，照定義，A與B不可能是等集.亦即，“A是B的真子集”只是“A是B的子集”兩種可能情形中的一種.照記號(hào)看，也體現(xiàn)了這一點(diǎn)，“？芴”，等號(hào)去掉了，即等集情形去掉了.造成同學(xué)弄不清子集與真子集的區(qū)別的另一個(gè)可能的原因是，由“圖1.1-1”帶出來(lái)的誤解.課本中的圖1.1-1是用來(lái)表示兩個(gè)集合的包含關(guān)系的，但它恰恰只直觀地顯示了真包含的情形.包含關(guān)系還有一種情形，即相等的情形沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái).

五、并集定義中的“或”

針對(duì)“由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與B的并集”，肖晶晶、連月勇等同學(xué)提出，這里為什么用“或”而不用“和”？

“和”，給人以簡(jiǎn)單加法、簡(jiǎn)單求和的感覺(jué).后續(xù)學(xué)習(xí)集合的計(jì)數(shù)原理時(shí)，會(huì)注意到，兩個(gè)集合的并集的元素個(gè)數(shù)并非兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)作簡(jiǎn)單的加法.

“或”，在這里，一般有三種情況，它依兩個(gè)集合交叉的情形為最“豐富”而分.即“x∈A，或x∈B”，實(shí)際上包含了三種情況，①x∈A，但x？埸B；②x∈B，但x？埸B；③x∈A，且x∈B.其中，①和③體現(xiàn)“x∈A”，②和③體現(xiàn)“x∈B”.而用“和”則沒(méi)能較直觀地體現(xiàn)這三種情況.

在英文原版書上有這樣的描述[1]，

A∪B={x|x∈A and/or x∈B}，

A∩B={x|x∈Aandx∈B}.

The union of two sets A and B is defined as the set whose members belong either to set A or set B or both. The symbol for union is∪，which is sometimes read “cup”，and A∪B is read either as “the union of sets A and B ”，“A union B”，or “A cup B”.

The intersection of two sets A and B is defined as the set whose members are members of both set A and set B.The symbol for intersection is∩，sometimes read “cap”. Thus，A∩B may be read either as “the intersection of sets A and B”，“A intersection B ”，or “A cap B”.

參考文獻(xiàn)：

[1]Charles J.Merchant.Contemporary Intermediate Algebra.University of Arizona.New York：Harper & Row，Publishers，Inc.1971.