通過一題多解體會點到平面距離的求法

王海伴

在高考中計算點到平面的距離，是高頻考點之一，題目靈活性、綜合性較強，常常給學生造成困難，本文通過一題目多解介紹點到平面的距離的求法，供參考.

問題：（2015年廣東卷文第18題）如圖1，△PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，求點C到平面PAD的距離.

一、輔助截面法

分析：取DC中點M，連接PM，由PD=PC，得PM⊥DC，又平面PDC⊥面ABCD，易知PM⊥面ABCD，所以PM⊥AD，而AD⊥DC，則AD⊥面PDC，又AD？奐面ABCD，故面PCD⊥面PAD.

三、利用線面、面面平行的性質

分析：如圖4，由直線BC∥面PAD，得點C到平面PAD的距離等于點B到平面PAD的距離.下面求點B到平面PAD的距離即可.

評注：本題在求點到平面的距離時，發現過點C存在一條直線BC∥面APD于是考慮到將原圖補為直四棱柱，線面平行的性質，使問題得到了順利解決.雖然這一做法在這道題目中顯得極為繁瑣，但是利用線面、面面平行的性質求點到平面的距離是一類重要的方法，在高考備考中應引起重視.

總之，通過上述問題解決可以看出，在空間幾何中求點到平面的距離時，若直接作高存在困難，則可以考慮等體積完成，利用等體積也很難完成時，可考慮輔助截面法直接作點到平面的距離或利用線面、面面平行的性質完成，當然，空間向量法雖然解決問題比較繁瑣，但對思維要求層次較低，容易掌握.