線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中的幾點(diǎn)改進(jìn)

龍瓊

摘 要： 本文指出在線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中，傳統(tǒng)的教學(xué)方法已不能很好地滿(mǎn)足學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求.為此，作者在教學(xué)過(guò)程中做了以下改進(jìn)：加入部分概念的幾何解釋?zhuān)訌?qiáng)學(xué)科與學(xué)科間的聯(lián)系.輔以精練的總結(jié)性語(yǔ)言，采用結(jié)合學(xué)生專(zhuān)業(yè)進(jìn)行實(shí)例教學(xué)，以及借助Matlab軟件進(jìn)行教學(xué).實(shí)踐證明，這提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與積極性，從而更高效地達(dá)到教學(xué)目的.

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 幾何意義 實(shí)例教學(xué) MATLAB 習(xí)題課

1.補(bǔ)充相應(yīng)的幾何解釋

在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生普遍反映其太過(guò)抽象，對(duì)有些概念的提出甚至感覺(jué)莫名其妙.事實(shí)上，線性代數(shù)中的許多概念都是具有一定的幾何意義的.在授課過(guò)程中，教師對(duì)部分概念適當(dāng)?shù)刈鲆恍缀谓忉層兄趯W(xué)生更具體化理解它們.當(dāng)然，對(duì)應(yīng)某些理論，其幾何背景本身就挺復(fù)雜的，就沒(méi)必要介紹，可以選擇向?qū)W生推薦相關(guān)資料，供有興趣的學(xué)生課后了解.

我們注意到正交變換是對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)原點(diǎn)不動(dòng)的坐標(biāo)軸的變換，因此方程中的常數(shù)項(xiàng)保持不變.再由解析幾何知識(shí)可得該二次曲面為雙葉雙曲面.

2.采用實(shí)例教學(xué)

實(shí)際上，在處理現(xiàn)代工程問(wèn)題時(shí)，在很大程度上最終都可歸結(jié)為線性代數(shù)方程組的求解問(wèn)題.比如，優(yōu)化設(shè)計(jì)，大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)，雷達(dá)散射截面，信號(hào)處理，以及復(fù)合材料運(yùn)用，等等.在課堂上，教師適當(dāng)向?qū)W生介紹線性代數(shù)的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生實(shí)實(shí)在在地體會(huì)到線性代數(shù)的實(shí)用性，可吸引學(xué)生的注意力，提高他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.

例如，在軍事或商業(yè)上，為了保障自身安全或利益，必須對(duì)傳輸?shù)男畔⒓用?，使得只有知道密匙的接收者才能?zhǔn)確、快速破譯.線性代數(shù)中矩陣的運(yùn)算能夠很好地解決這類(lèi)問(wèn)題.

例2.如下表所示，每個(gè)英文字母給定一個(gè)相應(yīng)的碼字：

若要傳輸信息HELPME，可據(jù)對(duì)應(yīng)的碼子將其寫(xiě)成如下三階方陣（按列）

B= 8 16 5 5 0 012 13 0

為了進(jìn)一步加密，可任意選取一可逆的3階矩陣A，使之滿(mǎn)足|A|=1.令C=AB，則矩陣C為最終加密后的信息.己方接收到矩陣C后，只需用A■進(jìn)行解密，再對(duì)比字母-碼子對(duì)照表就可得到發(fā)送的原始信息：B=A■C.

比如現(xiàn)取A=1 2 12 0 31 1 1，則加密后收到的矩陣為C，且C=30 29 552 71 1025 29 5，最終只需用A■進(jìn)行解密即可.

當(dāng)然，在現(xiàn)代社會(huì)，實(shí)際應(yīng)用中的加密手段要復(fù)雜得多，但引入這個(gè)例子后定能夠讓學(xué)生直觀體會(huì)到矩陣乘法及逆矩陣求解的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.只要讓學(xué)生覺(jué)得一個(gè)知識(shí)有實(shí)用價(jià)值了，便會(huì)更積極主動(dòng)地學(xué)以致用，而非被動(dòng)接受.

3.引入Matlab軟件教學(xué)

所謂代數(shù)，粗略來(lái)說(shuō)就是研究具有加、減、乘、除運(yùn)算性質(zhì)的數(shù)；線性代數(shù)則是指這種代數(shù)必須是線性的，而非非線性的.換言之，線性代數(shù)解題過(guò)程中出現(xiàn)大量的計(jì)算是在所難免的.

隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用的普及，現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域中涉及的線性代數(shù)中的計(jì)算問(wèn)題已得到解決.比如Matlab軟件的應(yīng)用，它以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化、程序設(shè)計(jì)有機(jī)融合到簡(jiǎn)單易學(xué)的交互式工作環(huán)境中，有出色的數(shù)值計(jì)算功能和強(qiáng)大的圖形處理功能，而且簡(jiǎn)單易學(xué)，代碼短小高效.線性代數(shù)中的求方陣的逆矩陣、方陣的行列式、矩陣的秩、矩陣的范數(shù)及線性方程組的解等均可通過(guò)Matlab編程得以實(shí)現(xiàn).比如，在線性代數(shù)中求方陣的逆矩陣和行列式是比較麻煩且易出錯(cuò)，但用Matlab編程來(lái)計(jì)算則非?？旖轀?zhǔn)確.其過(guò)程如下：

例3.求三階方陣A=1 2 12 -1 01 0 1的行列式和逆矩陣.其程序?yàn)椋篈=[1，2，1；2，-1，0；1，0，1]；det（A）；inv（A）；

注意，函數(shù)“det”是指方陣的行列式，函數(shù)“inv”則表示求方陣的逆矩陣.通過(guò)Matlab軟件，無(wú)論方陣A的階數(shù)有多高，A中元素有多復(fù)雜，只需輸入相應(yīng)的函數(shù)語(yǔ)言，便可準(zhǔn)確快速地得出結(jié)論.

4.精練語(yǔ)言，一題多解

中學(xué)時(shí)代，數(shù)學(xué)教師都很注重用一題多解訓(xùn)練學(xué)生的解題技巧.在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，這仍不失為一種高效的學(xué)習(xí)方法.一題多解的思維模式不僅能培養(yǎng)學(xué)生換角度思考問(wèn)題，而且能幫助學(xué)生通過(guò)反復(fù)使用所學(xué)知識(shí)，達(dá)到輕松記憶的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]樊明書(shū).線性代數(shù)[M].成都：四川大學(xué)出版社，2010.

[2]任廣千，謝聰，胡翠芳.線性代數(shù)的幾何意義[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2015.

[3]謝秋玲，洪銀萍.淺議線性代數(shù)的應(yīng)用教學(xué)策略[J].上海工程技術(shù)大學(xué)教育研究，2010（01）：39-41.