比擬桿法分析研究單箱三室箱梁剪力滯效應(yīng)

趙志峰，藺鵬臻，方煒彬

(蘭州交通大學(xué) 甘肅省道路橋梁與地下工程重點(diǎn)試驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070)

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比擬桿法分析研究單箱三室箱梁剪力滯效應(yīng)

趙志峰，藺鵬臻，方煒彬

(蘭州交通大學(xué) 甘肅省道路橋梁與地下工程重點(diǎn)試驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070)

摘要:基于比擬桿法，推導(dǎo)單箱三室箱梁的比擬桿面積計(jì)算公式和剪力滯效應(yīng)計(jì)算的控制微分方程。針對(duì)算例，分別采用本文理論、有機(jī)玻璃模型試驗(yàn)和有限元法分析簡(jiǎn)支箱梁和連續(xù)箱梁在集中力和均布荷載作用下的剪力滯效應(yīng)。研究結(jié)果表明：本文理論解與有機(jī)玻璃模型試驗(yàn)解和板殼有限元解吻合良好。對(duì)簡(jiǎn)支箱梁，中腹板部位的頂和底板正應(yīng)力均大于邊腹板處頂和底板正應(yīng)力。對(duì)連續(xù)箱梁，跨中截面中腹板處的頂和底板正應(yīng)力均大于邊腹板處和底頂板正應(yīng)力。但對(duì)滿跨均布荷載下的支座截面，底板正應(yīng)力在邊腹板部位大于中腹板部位，應(yīng)力相差最大約12.91%。在單箱三室箱梁設(shè)計(jì)中考慮各腹板部位頂和底板正應(yīng)力的差異，并以此確定有效翼緣分析寬度是非常必要的。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)蜗淙蚁淞海槐葦M桿法；剪力滯效應(yīng)

剪力滯后效應(yīng)是指箱梁上下翼板由于剪切變形的影響，而使得翼板的縱向正應(yīng)力沿橫向分布不均勻的現(xiàn)象[1]。忽略剪力滯效應(yīng)的影響，就會(huì)低估箱梁腹板和翼板交接處的撓度和應(yīng)力，從而導(dǎo)致不安全。在20世紀(jì)六七十年代，歐洲以及大洋洲等國(guó)家相繼發(fā)生了4起大跨徑鋼箱梁橋梁坍塌或破壞的重大事故，對(duì)事故橋梁設(shè)計(jì)及計(jì)算的研究分析表明:造成事故的直接原因是設(shè)計(jì)理論上的失誤,其中重要一項(xiàng)就是對(duì)剪力滯效應(yīng)末加考慮[2-4]。國(guó)內(nèi)外對(duì)箱梁剪力滯的研究理論和分析方法頗多，比擬桿法是其中一種。比擬桿法最早應(yīng)用于航空結(jié)構(gòu)力學(xué)當(dāng)中。最初是1977年Taherian等將比擬桿法應(yīng)用于研究不同截面類(lèi)型的連續(xù)箱梁的剪力滯效應(yīng),提出了比擬桿應(yīng)用在箱梁剪力滯效應(yīng)研究當(dāng)中的理論和分析方法[5]。在國(guó)內(nèi)，1984年程翔云等[4]將比擬桿原理應(yīng)用于計(jì)算單箱單室箱梁的剪力滯效應(yīng)當(dāng)中，提出了單箱單室箱梁剪力滯控制微分方程，并用樣條函數(shù)逼近法求解了剪力滯效應(yīng)。隨著寬體箱梁在公路和鐵路橋梁中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，剪力滯效應(yīng)在寬體箱梁中更為突出[6]，所以建立一種簡(jiǎn)單而又精確的理論對(duì)寬體箱梁的剪力滯效應(yīng)的分析研究很有必要。

1比擬桿法建立單箱三室箱梁的微分方程及求解

1.1比擬桿法的公式推導(dǎo)

1.1.1比擬桿模型

采用比擬桿法進(jìn)行箱梁剪力滯效應(yīng)分析時(shí)，通常將箱梁看做理想化的僅承受軸力的加勁桿與僅承受水平剪力的等效薄板的組合受力體系[4,7-8]。對(duì)于如圖1(a)所示的單箱三室箱梁，其比擬桿模型截面如圖1(b)所示。

(a) 單箱三室箱梁截面；(b) 加勁桿與薄板等效體系圖1　比擬桿法等效體系Fig.1 Equivalent system of the bar simulation method

1.1.2翼緣板等效面積和厚度公式推導(dǎo)

對(duì)于圖1(a)所示的單箱三室截面箱梁,在豎向荷載作用下，按照初等梁理論計(jì)算上下翼緣板的彎曲應(yīng)力為[4]：

(1)

(2)

式中:h1(2)為中性軸到上(下)翼板中面的距離；Aeu(b)為上、下翼板的等效翼板面積。

由于翼板為整個(gè)截面的慣性矩的貢獻(xiàn)甚少，故忽略不計(jì)[7],因此按照?qǐng)D1(a)所示單箱三室箱梁截面的慣性矩為：

(3)

將式(3)代入式(2)中分別可以得出頂板和底板的等效翼緣板面積為:

(4)

Aeb=4α2Htw+3β2a2·t2

(5)

式(4)～(5)中：α1,β1和α2,β2分別為頂板和底板面積等效系數(shù)。

以箱梁頂板，底板的應(yīng)力等效為原則[4,7],由式(2)可得：

(6)

則可得到頂、底板面積等效系數(shù)為：

(7)

(8)

(9)

(10)

故可得等效翼板厚度分別為：

teu=β1·t1

(11)

teb=β2·t2

(12)

1.1.3加勁桿面積公式

為了簡(jiǎn)化分析，可以將頂板采用9根加勁桿、底板采用7根加勁桿比擬，如圖1(b)所示。按照比擬桿法原理[4,7-8]，理想化的加勁桿的面積等于實(shí)際加勁桿的面積再加上鄰近薄板所提供的面積，可得頂板和底板的比擬桿面積公式如表1所示。

表1　比擬桿面積公式

1.2微分方程的推導(dǎo)

1.2.1比擬桿的平衡方程

當(dāng)獲得翼緣板面積等效系數(shù)和各加勁桿面積公式之后，可以桿為對(duì)象建立力學(xué)平衡方程。對(duì)于圖2(a)所示一端固結(jié)、另一端自由的單箱三室箱梁(橫截面對(duì)稱(chēng)取一半分析)，在距離約束端x截面處取ΔX微元，根據(jù)圖2(b)所示薄板微段只受水平剪力和頂?shù)滓戆甯骷觿艞U只受軸力的受力狀態(tài)，可得到頂?shù)装甯骷觿艞U的靜力平衡方程。

根據(jù)圖2(c)可得頂板加勁桿平衡受力方程：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

根據(jù)圖2(d)可得底板加勁桿平衡受力方程：

(18)

(19)

(20)

(21)

(a) 單箱三室箱梁;(b) 薄板受力微段;(c) 頂板加勁桿平衡受力;(d)底板加勁桿平衡受力圖2　懸臂箱梁翼板加勁桿及受力圖示Fig.2 Force diagram of the three-cell cantilever box girder flange plate stiffeners

1.2.2頂、底板微分方程

對(duì)于圖2(a)中，在箱鄰兩桿之間的微塊上存在著剪切變形，其剪切角變化率以1和2桿之間為例，可表示為：

(22)

也可表示為：

(23)

由材料力學(xué)可知，剪力流表達(dá)式為：

q=rteuG

(24)

將式(24)兩邊求導(dǎo)后代入式(23)中，可得1和2桿之間受力方程：

(25)

對(duì)于其他各桿之間微塊上建立受力方程的通用表達(dá)式為：

(26)

將式(26)兩邊一次微分可得：

(27)

對(duì)于圖2(a)中的頂板和底板各加勁桿，將各桿的受力平衡方程代入式(27)，則可導(dǎo)出頂板、底板剪力滯效應(yīng)控制微分方程組。

頂板剪力滯效應(yīng)微分方程組：

(28)

(29)

(30)

(31)

底板剪力滯效應(yīng)微分方程：

(32)

(33)

(34)

qi(x)為 作用在i桿上的未知剪力流函數(shù)，i=1,2,3，…，n；qEi(x)為與腹板箱接處的加勁桿上的已知剪力流函數(shù)；E/G為截面抗彎，抗剪彈性模量；Ai為加勁桿面積；d為加勁桿桿間間距；σi/εi為第i根桿的正應(yīng)力和正應(yīng)變。

1.3邊界條件

2)對(duì)于嵌固端則為：qi=0。

1.4單箱三室箱梁腹板中剪力流分配

直腹板多室薄壁箱梁在彎曲狀態(tài)下，中腹板傳遞的剪力一般情況下大于邊腹板傳遞的剪力，特別是在無(wú)懸臂的情況下更為明顯[9]。因此，本文在求解已知剪力流的過(guò)程當(dāng)中，根據(jù)文獻(xiàn)[9]對(duì)受豎向荷載作用下的三室薄壁箱梁各腹板中所受的剪力進(jìn)行了分配，進(jìn)而求得已知剪力流，具體按照下面的公式進(jìn)行。

(35)

由以上公式可以計(jì)算出已知剪力流qE1(X)和qE2(X)。

1.5微分方程組的求解

對(duì)于本文建立的頂板和腹板的剪力流微分方程組式(28)～(34)，可利用自編R程序[10-12](RStudio環(huán)境中運(yùn)行)求解出各桿未知剪力流數(shù)值解，然后結(jié)合式(13)～(21)和式(35)，可以得到各加勁桿應(yīng)力值。如頂板剪力滯控制微分方程組求解如下(算例)：

> fsub <- function (t,Y,pars) {

+ return(list(c(f1=Y[5],

+ f2=Y[6],

+ f3=Y[7],

+ f4=Y[8],

+ f5=233.265*Y[1]-66.466*Y[2]+242.819,

+f6=-66.466*Y[1]+148.626*Y[2]-82.159*Y[3]-242.819,

+f7=-82.159*Y[2]+149.727*Y[3]-67.082*Y[4]+346.278,

+ f8=-67.082*Y[3]+149.242*Y[4]-346.278)))

+ }

> x <- seq(0,1/2,len=100)

> print(system.time(

+ Soltwp <- bvptwp(x=x, func = fsub,

+yini=c(y1=NA,y2=NA,y3=NA,y4=NA,y5=0,y6=0,y7=0,y8=0),

+ yend=c(0,0,0,0,NA,NA,NA,NA))

+ ))

2算例及結(jié)果分析

2.1算例概況

為了驗(yàn)證本文提出的分析單箱三室箱梁剪力滯效應(yīng)的比擬桿理論可靠性，采用有機(jī)玻璃制作跨度為1 000 mm的單箱三室簡(jiǎn)支箱梁模型和跨度為2 000 mm 的兩跨連續(xù)箱梁模型(每跨1 000 mm)，材料的彈性模量E=2 600 MPa，泊松比=0.375，模型截面尺寸見(jiàn)圖3(a)。分別對(duì)簡(jiǎn)支箱梁、連續(xù)箱梁(每跨)的跨中4塊腹板對(duì)稱(chēng)作用660 N豎向集中荷載和沿梁長(zhǎng)方向四塊腹板上對(duì)稱(chēng)作用660 N/m均布荷載。本文中，只對(duì)簡(jiǎn)支箱梁承受集中荷載的工況做了試驗(yàn)，見(jiàn)圖3(b)，其他荷載工況分別采用 Ansys有限元軟件 Shell63 單元建立空間板殼有限元數(shù)值模型和本文理論解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，有限元模型見(jiàn)圖3(c)和3(d)。

(a)1/2模型截面；(b)加載圖示；(c)簡(jiǎn)支梁有限元模型；(d)連續(xù)梁有限元模型單位：mm圖3　截面及模型Fig.3 Section and model

2.2簡(jiǎn)支箱梁的剪力滯效應(yīng)

以有機(jī)玻璃制作的單箱三室簡(jiǎn)支箱梁為例，根據(jù)式(28)～(34)，結(jié)合已知剪力流式(35)，可求得頂?shù)装逑噜徏觿艞U之間等效薄板中的未知剪力流數(shù)值，代入頂?shù)装寮觿艞U受力平衡方程(13)～(21)中可得到加勁桿所承受的實(shí)際軸力，進(jìn)而得到各加勁桿中的縱向正應(yīng)力。

算例當(dāng)中，對(duì)簡(jiǎn)支箱梁承受跨中集中荷載(此工況做了試驗(yàn))和滿跨均布荷載的情況進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)分別建立有限元模型進(jìn)行數(shù)值對(duì)比，跨中截面應(yīng)力對(duì)比見(jiàn)圖4。

(a)集中力作用下跨中截面應(yīng)力；(b)滿跨均布荷載下跨中截面應(yīng)力圖4　簡(jiǎn)支梁跨中截面縱向應(yīng)力Fig.4 Longitudinal stress of the simple box girder span middle section

由圖4可以看出，本文理論解、板殼數(shù)值解以及試驗(yàn)解沿單箱三室箱梁橫截面方向正應(yīng)力分布的趨勢(shì)一致，而且三者的結(jié)果吻合良好。表明本文理論解有較高的精度。本算例可以得出：對(duì)于單箱三室簡(jiǎn)支箱梁，當(dāng)跨中承受對(duì)稱(chēng)集中荷載、滿跨均布荷載時(shí)，跨中截面中腹板部位頂板處的正應(yīng)力大于邊腹板部位的頂板正應(yīng)力，而且中腹板部位底板正應(yīng)力大于邊腹板部位底板正應(yīng)力，腹板與翼板交界處的頂、底板應(yīng)力都大于初等梁理論正應(yīng)力，成正剪力滯效應(yīng)。本算例表明多箱室簡(jiǎn)支箱梁在承受豎向荷載作用下，剪力在中腹板中分配較多，而在邊腹板中分配較少。

2.3連續(xù)箱梁的剪力滯效應(yīng)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文比擬桿理論解決單箱三室箱梁剪力滯效應(yīng)的適用性。以圖3(a)為截面的兩跨連續(xù)箱梁為算例(每跨長(zhǎng)1 m)，應(yīng)用本文理論分別計(jì)算連續(xù)箱梁跨中4塊腹板上承受對(duì)稱(chēng)集中力(660 N)和滿跨4塊腹板上承受均布荷載時(shí)跨中截面和支座截面的縱向正應(yīng)力(計(jì)算方法如同簡(jiǎn)支梁計(jì)算)，同時(shí)與板殼數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本理論在連續(xù)箱梁中的正確性。應(yīng)力對(duì)比見(jiàn)圖5。

(a)集中力作用下跨中截面應(yīng)力;(b)集中力作用下支座截面應(yīng)力;(c)均布荷載作用下跨中截面應(yīng)力;(d)均布荷載作用下支座截面應(yīng)力圖5　連續(xù)箱梁跨中截面、支座截面縱向應(yīng)力Fig.5 Longitudinal stress of the continuous box girder span middle section and support section

由圖5可以看出：本文理論解與板殼數(shù)值解的正應(yīng)力分布趨勢(shì)一致，而且二者的結(jié)果吻合良好，表明了本文建立的比擬桿方法對(duì)解決單箱三室連續(xù)箱梁剪力滯效應(yīng)問(wèn)題有較好的精度。從圖5中可以得到：連續(xù)箱梁在集中荷載和滿跨均布荷載作用下，跨中截面縱向正應(yīng)力沿橫截面的分布趨勢(shì)和簡(jiǎn)支箱梁是大體相似的。但是對(duì)于滿跨均布荷載作用下，支座截面邊腹板部位底板正應(yīng)力大于中腹板部位底板處正應(yīng)力值(圖5(d))，本算例中二者相差約12.91%?？梢?jiàn)，剪力滯效應(yīng)的影響之大在設(shè)計(jì)中是不容忽視的。

2.4精度分析

為了驗(yàn)證本文比擬桿法的精度，應(yīng)用本文理論方法計(jì)算出了簡(jiǎn)支梁和連續(xù)梁承受荷載作用下關(guān)鍵截面的縱向正應(yīng)力，與板殼有限元解和試驗(yàn)解進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表2。

表2　簡(jiǎn)支梁、連續(xù)梁在不同荷載作用下主要截面應(yīng)力值對(duì)比及誤差

從表2中可以看出，本文理論計(jì)算出的應(yīng)力值與有限元數(shù)值以及試驗(yàn)值結(jié)果基本逼近。連續(xù)梁承受集中荷載作用時(shí)，支座截面1號(hào)桿的應(yīng)力值誤差達(dá)到22%以外，其他誤差都在10%以內(nèi)。進(jìn)一步驗(yàn)證了本文建立的比擬桿理論對(duì)于計(jì)算單箱三室箱梁剪力滯效用有良好的精度，可為工程設(shè)計(jì)配筋提供一定的參考。

3結(jié)論

1)通過(guò)與有機(jī)玻璃模型試驗(yàn)解、板殼數(shù)值解相比，本文比擬桿法的分析誤差總體在10%以內(nèi)，表明本文理論解在剪力滯基本規(guī)律和數(shù)值大小上均具有較好的精度。

2)對(duì)單箱三室簡(jiǎn)支箱梁，在跨中集中力和滿跨均布荷載作用下，截面總體為正剪力滯效應(yīng)?？缰薪孛嫔希鞲拱宀课豁?、底板縱向應(yīng)力有較大差異，頂板和底板的正應(yīng)力在中腹板部位均大于邊腹板部位。設(shè)計(jì)中考慮跨中截面各腹板部位頂、底板正應(yīng)力的差異來(lái)確定有效翼緣分析寬度是非常必要的。

3)通過(guò)連續(xù)箱梁算例可以得到：在集中荷載和滿跨均布荷載作用下，跨中截面各腹板處頂、底板縱向正應(yīng)力沿橫截面的分布趨勢(shì)和簡(jiǎn)支箱梁跨中截面大體相似。但是對(duì)于滿跨均布荷載作用下，支座截面邊腹板部位底板正應(yīng)力大于中腹板部位底板處正應(yīng)力值，本算例中二者相差約12.91%。因此，在連續(xù)箱梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中考慮跨中截面和支座截面的頂、底板應(yīng)力的差異是很有必要的。

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The bar simulation methodfor shear lag effect of three-cell box girdersZHAO Zhifeng，LIN Pengzhen，F(xiàn)ANG Weibin

(Key Laboratory of Road Bridge and Underground Engineering Gansu Province , Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Abstract:Based on the bar simulation method, the analogy bar area calculation formula and the control differential equation of shear lag effect for single box and three rooms girder were deduced . Taking the single box and three rooms girder for example, the shear lag effect was analyzed using the theoretical calculation with bar simulation method in this paper, model test research on simply supported box girder of organic glass and the numerical solution of plate and shell of simply supported box girder and continuous box girder under concentrated force and uniformly distributed load respectively. The results show that the theoretical calculation by bar simulation method in this paper is in good agreement with the other two methods mentioned above.The positive stress at roof and floor of mid-web is bigger than the stress at roof and floor of edge-web for simply supported box girder and the middle section of continuous box girder. But the positive stress at floor in the edge web site is bigger than the stress in mid-web site at the bearing section under uniform load. The greatest difference of stress is about 12.91%.Considering the difference of stress at roof and floor of each web in the bridge design, and the determination of the effective flange width analysis was very necessary.

Key words：the single box and three rooms girder；bar simulation method；shear lag effect

中圖分類(lèi)號(hào)：TU375.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-7029(2016)04-0697-08

通訊作者：藺鵬臻(1977―)，男，教授，博士，甘肅天水人，從事大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的理論研究；E-mail:linpzh@126.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51168030，51368031)；甘肅省基礎(chǔ)研究創(chuàng)新群體資助項(xiàng)目(1506RJIA029)

收稿日期：2015-07-24