基于超網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣研究

張曉轉(zhuǎn)（同濟(jì)大學(xué),上海 201804）

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基于超網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣研究

張曉轉(zhuǎn)
（同濟(jì)大學(xué),上海 201804）

摘 要：這篇文章研究了如何用超拉普拉斯矩陣描述超復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，并且研究了其對(duì)應(yīng)的特征值譜。關(guān)鍵詞：超網(wǎng)絡(luò)；超拉普拉斯矩陣；同步性

近年來關(guān)于網(wǎng)絡(luò)的研究在各個(gè)方面都越來越復(fù)雜，不論是從拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，還是從研究角度的多樣性來說。超網(wǎng)絡(luò)[1]被不同的研究學(xué)者們稱為多層網(wǎng)絡(luò)，獨(dú)立網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)，統(tǒng)一性的缺乏揭示了關(guān)于這個(gè)研究課題研究的多樣性。另一方面，基于超復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的多智能體系統(tǒng)的同步性也引起了很多學(xué)者的興趣，不論是離散有向網(wǎng)絡(luò)還是離散無向網(wǎng)絡(luò)，關(guān)于連續(xù)網(wǎng)絡(luò)的研究也有一些。

1 研究現(xiàn)狀以及構(gòu)造超拉普拉斯矩陣

1.1 研究現(xiàn)狀

使用G=(V,?,A) 來描述超復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，含義是該網(wǎng)絡(luò)包含V={1,2,…,N}描述的N個(gè)節(jié)點(diǎn)，?=V×V描述N個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的連邊，A=aij∈RN×N稱為鄰接矩陣，矩陣的每一個(gè)元素代表節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的連接情況。節(jié)點(diǎn)的度即為該節(jié)點(diǎn)與另外幾個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，不允許自環(huán)。強(qiáng)度矩陣是 S=diag(s1,…,sN)，由相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的度組成的對(duì)角陣。一般網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣由L=S-A表示。無向網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣具有如下幾個(gè)性質(zhì)：行列之和為0；具有一組從小到大排列形如λ1=0,λ2,…,λN的特征值。對(duì)于每一層有相同節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的超網(wǎng)絡(luò)，有很多相關(guān)研究[1,2,3,5],然而對(duì)于每層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的網(wǎng)絡(luò)，相關(guān)研究極少。這是可以理解的，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同時(shí)，數(shù)學(xué)形式一致，便于推導(dǎo)出整齊的結(jié)果。然而事實(shí)上大多數(shù)實(shí)際問題的模型每層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)都不相同，因此本文基于此假設(shè)推導(dǎo)出多層網(wǎng)絡(luò)的超拉普拉斯矩陣。為了簡(jiǎn)化問題并且不失一般性，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)由兩層構(gòu)成，每層有不同的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

1.2 超拉普拉斯矩陣構(gòu)造

進(jìn)一步簡(jiǎn)化參數(shù)，我們假設(shè)D1=D2=1，并且D12=Dx，于是得到如下形式：

1.3 超拉普拉斯矩陣值譜研究

由以下兩種特殊情況，可以得到超拉普拉斯矩陣的兩個(gè)特征值以及對(duì)應(yīng)的特征向量：

情況一： x=(1,…,1),

情況二：如上推導(dǎo)，可得x=（1…1,0,,,0|-1,-1,0…0），其中1與-1的個(gè)數(shù)為層間相連節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

2 超拉普拉斯矩陣特征值譜仿真

由以上兩種情況可知，0和2Dx是該拉普拉斯矩陣的特征值，當(dāng)Dx比較小的時(shí)候，即遠(yuǎn)小于λ2/2 的時(shí)候，最小非零特征值即為2Dx，影響超網(wǎng)絡(luò)的同步速度，而當(dāng)Dx→∞時(shí)，λ2/λN影響了網(wǎng)絡(luò)的同步性能。圖1揭示了超拉普拉斯矩陣的特征值譜隨著Dx變化的情況。

3 總結(jié)

本文對(duì)于超拉普拉斯矩陣做了初步的構(gòu)造和分析，相關(guān)的后續(xù)工作比如超拉普拉斯矩陣特征值譜與各自子網(wǎng)絡(luò)特征值譜的分布關(guān)系，特征值分布對(duì)于社團(tuán)結(jié)構(gòu)形成的影響等，都是有研究?jī)r(jià)值的方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]Bianconi G. Statistical mechanics of multiplex networks: Entropy and overlap[J]. Physical Review E,2013,87(06): 062806.

[2]Gomez S,Diaz-Guilera A, Gomez-Garde?es J, et al. Diffusion dynamics on multiplex networks[J].Physical review letters, 2013,110(02): 028701.

作者簡(jiǎn)介：張曉轉(zhuǎn)（1991-），女，陜西渭南人，碩士，主要從事：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步性問題研究。

DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.02.227