基于超網絡的超拉普拉斯矩陣研究

張曉轉（同濟大學,上海 201804）

?

基于超網絡的超拉普拉斯矩陣研究

張曉轉
（同濟大學,上海 201804）

摘 要：這篇文章研究了如何用超拉普拉斯矩陣描述超復雜網絡，并且研究了其對應的特征值譜。關鍵詞：超網絡；超拉普拉斯矩陣；同步性

近年來關于網絡的研究在各個方面都越來越復雜，不論是從拓撲結構的復雜性，還是從研究角度的多樣性來說。超網絡[1]被不同的研究學者們稱為多層網絡，獨立網絡的網絡，統一性的缺乏揭示了關于這個研究課題研究的多樣性。另一方面，基于超復雜網絡的多智能體系統的同步性也引起了很多學者的興趣，不論是離散有向網絡還是離散無向網絡，關于連續網絡的研究也有一些。

1 研究現狀以及構造超拉普拉斯矩陣

1.1 研究現狀

使用G=(V,?,A) 來描述超復雜網絡，含義是該網絡包含V={1,2,…,N}描述的N個節點，?=V×V描述N個節點之間的連邊，A=aij∈RN×N稱為鄰接矩陣，矩陣的每一個元素代表節點i和節點j的連接情況。節點的度即為該節點與另外幾個節點相連，不允許自環。強度矩陣是 S=diag(s1,…,sN)，由相應節點的度組成的對角陣。一般網絡的拉普拉斯矩陣由L=S-A表示。無向網絡的拉普拉斯矩陣具有如下幾個性質：行列之和為0；具有一組從小到大排列形如λ1=0,λ2,…,λN的特征值。對于每一層有相同節點個數的超網絡，有很多相關研究[1,2,3,5],然而對于每層節點個數不同的網絡，相關研究極少。這是可以理解的，因為節點個數相同時，數學形式一致，便于推導出整齊的結果。然而事實上大多數實際問題的模型每層節點個數都不相同，因此本文基于此假設推導出多層網絡的超拉普拉斯矩陣。為了簡化問題并且不失一般性，假設網絡由兩層構成，每層有不同的節點個數。

1.2 超拉普拉斯矩陣構造

進一步簡化參數，我們假設D1=D2=1，并且D12=Dx，于是得到如下形式：

1.3 超拉普拉斯矩陣值譜研究

由以下兩種特殊情況，可以得到超拉普拉斯矩陣的兩個特征值以及對應的特征向量：

情況一： x=(1,…,1),

情況二：如上推導，可得x=（1…1,0,,,0|-1,-1,0…0），其中1與-1的個數為層間相連節點的個數。

2 超拉普拉斯矩陣特征值譜仿真

由以上兩種情況可知，0和2Dx是該拉普拉斯矩陣的特征值，當Dx比較小的時候，即遠小于λ2/2 的時候，最小非零特征值即為2Dx，影響超網絡的同步速度，而當Dx→∞時，λ2/λN影響了網絡的同步性能。圖1揭示了超拉普拉斯矩陣的特征值譜隨著Dx變化的情況。

3 總結

本文對于超拉普拉斯矩陣做了初步的構造和分析，相關的后續工作比如超拉普拉斯矩陣特征值譜與各自子網絡特征值譜的分布關系，特征值分布對于社團結構形成的影響等，都是有研究價值的方向。

參考文獻：

[1]Bianconi G. Statistical mechanics of multiplex networks: Entropy and overlap[J]. Physical Review E,2013,87(06): 062806.

[2]Gomez S,Diaz-Guilera A, Gomez-Garde?es J, et al. Diffusion dynamics on multiplex networks[J].Physical review letters, 2013,110(02): 028701.

作者簡介：張曉轉（1991-），女，陜西渭南人，碩士，主要從事：復雜網絡的同步性問題研究。

DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.02.227