半空間的豎向沖擊振動模擬與分析

奚亞男

(安徽工程勘察院，安徽 合肥 230011)

半空間的豎向沖擊振動模擬與分析

奚亞男

(安徽工程勘察院，安徽 合肥 230011)

考慮在半無限空間邊界上受到圓域分布脈沖作用的情況，可以用于探索人工地震及天然地震中地震波的特性及傳播規律。為了簡化討論的難度，采用了半無限空間彈性體的假設模型，通過MATLAB編程實現，這也就是彈性動力學中的Lamb(蘭姆)問題。

半空間模型；豎向沖擊；地震波

0 引 言

在工程實踐中經常使用強夯法加固地基、錘擊法成樁施工、工程爆破等,他們的沖擊作用對周圍環境產生影響[1-2]。此外由公路和鐵路運輸,人類的其他活動引起的振動影響,這些問題都會造成靈敏儀器失靈,引起人的不適,并對附近建筑物造成危害。因此蘭姆問題在工程中的運用及進一步的深入研究具有重要的意義[3-6]。在本文中采用半解析方法對半空間彈性體模型進行計算,其中運用到快速傅立葉變換等,對半解析解法的應用,大大簡化了計算量和復雜性,并且適于向更復雜的工程實際進行推廣,而這對于純解析解法是無法想象的[7-11]。

為了易于接受,考慮按照定解問題的思路來解決該問題,即按照泛定方程、定解條件相結合的模式。所以本文從采用位移表述的納維方程出發,運用勢函數對其進行化簡,得出簡化形式的泛定方程,采用Laplace變換、傅里葉-貝塞爾積分等數學手段處理邊界條件和初始條件,給出位移的解析形式解,最后采用數值積分的方法求出邊界上各點不同時刻的位移值。

1 彈性動力學的位移表述

考慮半無限空間彈性體,結合平衡條件、變形相容條件和固體本構關系三方面,可以導出彈性動力學的位移表述,即納維方程

(1)

(2)

2 泛定方程

(3)

本文所考慮的問題泛定方程可以導出

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φ和χ叫做亥姆霍茲勢。其中，c1,c2為速度常數。

圖1 半空間彈性介質模型

3 邊值條件和初始條件的處理

在無限半空間的邊界面z=0上,作用著以原點為圓心、以ε為半徑的均勻脈沖力,脈沖力可用下式表示[2]，即

(5)

處理后的邊界條件可以表述為

(6)

(7)

考慮到撞擊還未開始時,整個半無限空間都處于自然狀態,相應的有下列初始條件:

(8)

4 采用數值解法求取邊界面上的位移

為了避免繁雜的數學積分運算,考慮到工程實踐的可行性,下面將采用MATLAB軟件,運用數值解法來求取邊界點處的位移值。可以選取幾個特定的具有代表性的點,給出其在各時刻的位移值,這在工程實踐和理論研究中都具有重要的價值。

為了顯示震動的傳播過程,特選取地基表面三個不同的位置,炮檢距分別為D=5 m,D=10 m,D=15 m。

在各向同性彈性土半空間中,由某一擾動所產生的波場可由壓縮波、剪切波及瑞利波描述,其中壓縮波和剪切波在介質內部傳播,故稱其為體波,瑞利波主要在彈性半空間表面傳播,故稱其為面波。各向同性彈性介質中壓縮波和剪切波速度與介質Lame常數有如下關系:

(9)

(10)

其中,G、λ為Lame常數,ρ為密度,cs,cp為橫波波速和縱波波速。

圖2～4所示為不同炮檢距時的位移隨時間變化圖。對比圖2～4可以看到隨著觀測點距離的增大,直達波到達的時間推遲,符合實際。當面波到達時位移值達到最大,說明面波對質點位移造成很大的影響。

圖2 炮檢距D=5 m時位移

圖3 炮檢距D=10 m時位移

圖4 炮檢距D=15 m時位移

當改變激振半徑ε=0.5 m時,D=15 m,得到的位移值如圖5所示。

圖5 激振半徑ε=0.5 m時的徑向位移

可以發現當半徑增大時,位移值變小,位移峰值寬度變大,這主要因為,在激振力確定時,半徑變大導致激振應力減小,從而位移會相應減小。

改變激振力的持時為原來的10倍即t0=5×10-3s,D=15 m處位移如圖6所示。

圖6 激振力持續時間t0=5×10-3s時的徑向位移

可以看出改變激振力持續時間時,由于激振沖量固定,激振力時間越長,激振力的幅值越小,導致位移的幅值變小,峰值寬度變大。

根據本文所提出的半解析方法,探討了不同激振力因素對表面各點位移的影響。對于半無限空間模型求得了地基表面各點的振動位移圖像。

對于半無限空間情形,各點位移變化的總體圖像是:地基表面各點的徑向位移及豎向位移都依時間順序先后出現三個極值,其幅度也有所不同。

(1) 據已有的地震波傳遞的資料,可以清晰地判定出第一個極值對應著縱波,也可稱為壓縮波、體波,代表著地基各微元體的體積變化,縱波的波速快,但是相對的震動幅度小很多,所以第一個極值的數值相對較小。

第二個極值對應著橫波,也可稱為剪切波,代表著地基各微元體的形狀變化,而橫波的波速相比縱波有一定的差距,所以圖像上可以看到第二個極值的出現較第一個極值的出現要推遲相當一段時間,其時間差正是波速的相差所導致的。

第三個極值對應著面波,也就是通常所說的瑞利波,這是在地震波傳遞過程中發生相互作用但是只存在于地基表面的地震波形式,對于其產生的詳細分析可以從任何一本介紹地震波的著作中找到,本文在此就不做過多的敘述。在本文的論述中清楚地展現了在地震中地表產生了三種不同性質的波動形式,以及其傳播的速度、震動幅度都有所不同。

(2) 對比各極值點的幅值可以發現,第三個極值的振動幅度最大,這說明當發生地震時,橫波和面波的破壞作用最大,而縱波雖然傳播的速度最快,但是由于其震動幅度相對較小,一般難以覺察,然而這對地震的監測有著很重要的意義,可以在監測到縱波時及時采取措施將破壞程度降到最低。

(3) 考慮地表振動幅度隨炮檢距的影響。可以看出,隨著距震源距離的逐漸增大,三個極值出現的時間推遲,各極值之間的時間間隔增大,更容易清晰地看到三個波極值的出現。

(4) 改變激振半徑時,激振半徑越大位移幅值越小,得到的位移曲線變化越緩,極值的持續時間越長。

(5) 改變激振力持續時間時,由于激振沖量固定,激振力時間越長,激振力的幅值越小。這就導致位移的幅值變小,且峰值寬度變大。

5 結束語

對于本文所提出的半解析方法,在理論和工程實踐上都有重要的意義,但是也存在著一些無法避免的問題,即為了討論的方便和減小問題的難度,對于半無限空間考慮的對象是均勻土層,而任何工程實踐的地基土都是極端復雜的,充滿著各種由非均勻介質因素導致的非線性問題,具體的更細化的研究有待于進一步深入的討論。

[1] Lamb H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid [J]. Philosophical Transactions of the Royal Society (London). 1904(A203):1～42.

[2] Pekeris C L. The seismic buried pulse [J]. Proceedings of the National Academy of Sciences,1955(41):629～639.

[3] 鐘 陽,王哲人,郭大智.求解多層彈性半空間軸對稱問題的傳遞矩陣法[J].土木工程學報,1992,25(6):37～43.

[4] 陸明萬,羅學富.彈性理論基礎[M].北京:清華大學出版社,2001.

[5] 梁昆淼.數學物理方法[M].北京:人民教育出版社,1986.

[6] 劉廣裕,劉凱欣.區域脈沖載荷下二維Lamb問題的精確求解[J].固體力學學報,2007,28(4):341～346.

[7] 柯宅邦.基樁低應變動測空間軸對稱問題的理論與實踐研究[D].合肥:合肥工業大學,2006.

[8] 段 軍.基樁低應變動測空間三維問題的理論研究[D]. 合肥:合肥工業大學,2008.

[9] 劉東甲.縱向振動樁側壁切應力頻率域解及其應用[J],巖土工程學報,2001,23(5):544～546.

[10] 劉東甲,劉煜洲,王杰英.單缺陷樁反射波法動測曲線峰-峰點反演的精度研究[J].巖石力學與工程學報,2003,22(8):1383～1389.

[11] 劉東甲,王建國.均勻土中有限長樁瞬態橫向動力響應[J].工程力學,2003,20(6):160～165.

2016-06-08；修改日期：2016-06-16

奚亞男(1984-)，女，江蘇啟東人，碩士，安徽工程勘察院工程師．

P315.31;TU973.31

A

1673-5781(2016)04-0439-04