工程測量中引入復數計算坐標轉換研究分析

楊偉星

(中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司，西安　710065)

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工程測量中引入復數計算坐標轉換研究分析

楊偉星

(中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司，西安710065)

摘要：通過引入復數的模、復角、旋轉角和尺度參數，對工程中大地坐標與施工坐標之間相互轉化進行分析、研究、合理優化，從而得出了適合工程應用的簡潔公式，避免了測量施工中施工坐標和大地坐標之間因轉換帶來的不便，從而提高了工作效率。同時，文章通過對多種計算方法的比較分析和相關數據的驗證，為測量人員提供參考。

關鍵詞：復數;尺度參數；施工坐標;大地坐標

0前言

為了施工方便，根據工程需要，在工程施工過程中往往要將施工坐標轉化成施工小坐標，尤其是在隧洞防線中應用極為廣泛。傳統的平面坐標轉換公式過于繁瑣，不便于CASIO編程計算器編程，條件判斷多、公式復雜、平移量和旋轉角度求解麻煩。鑒于以上弊端，本文引進復數概念，借助復數的復角、模、縮放尺度、平移參數，對大地坐標和施工坐標之間相互轉換進行全新推導[1-3]，從而，找出更適合工程實際與能方便編程應用的公式，大大提高工作效率。

1測量高斯平面直角坐標系下坐標轉換公式推導

由圖1可知，在測量高斯平面直角坐標系下坐標相互轉化之間關系，原坐標系xoy，P點坐標(xP,yP)，通過坐標平移和旋轉得到新坐標系下P點坐標(xP′,yP′)，坐標原O平移到O′，原坐標系下O在新坐標系x′oy′下O′坐標(xo′,yo′)[4]。其中xo′,yo′為坐標平移量，θ為原坐標新變換到新坐標系下的旋轉角度，在測量中通常用方位角來表示[4]。根據圖1的幾個關系可知：

(1)

(2)

將式(2)帶入式(1)中得：

(3)

(4)

式(3)、(4)為在測量高斯平面直角坐標系下的原坐標系轉化到新坐標系下的公式。

由式(3)得：

(5)

將式(5)帶入式(4)得：

(6)

將式(6)帶入式(4)得：

(7)

式(6)和式(7)是在測量高斯平面直角坐標系新坐標系下坐標轉化到原坐標系的轉化公式[5-6]。

圖1　測量高斯平面直角坐標系圖

2測量高斯平面直角坐標系復平面下坐標轉換公式推導

圖2　測量高斯平面直角坐標系復平面圖

由圖2可知，測量高斯平面直角坐標系復平面下坐標轉換之間相互關系。原系復平面下點P復數坐標形式(xP,yPi)，新系復平面下P′復數形式(xP′,yP′i)，原系原點O在新系下復數形式(xo′,yo′i)。根據高斯平面坐標系線性變換幾何意義：有原系下坐標變換到新系下坐標，將原系下坐標旋轉θ角度，加入縮放尺度參數κ，加平移參數(xo′,yo′)后即可變為新系下坐標，反之亦然[1,4]。

由復數的性質可知：2個復數的乘積的模等于他們的模的乘積，2個復數乘積的復角等于它們的復角和。因此，假設2個復數z1、z2

(8)

(9)

則有：

(10)

在高斯復平面系下，坐標平移參數的復數形式為zo′=xo′+yo′i，旋轉角θ為復數的模，縮放尺度參數κ為復數的模，根據復數的性質可知，旋轉尺度的復數形式為zθ=κ∠θ。

由圖2可知，公共點P在原系和新系下的復數形式分別為：zP=xP+yPi和zP′=xP′+yP′i。

根據復數的幾何意義和2個復數乘積的性質可知，將原系下坐標復平面上的點zP乘以旋轉尺度zθ，再加上平移復數zo′，等于該新系下坐標復平面zP′的復數形式，故有以下方程式。

(11)

設坐標點P1、P2在原坐標系xoy復平面下復數形式分別為z1=x1+y1i和z2=x2+y2i，在新系x′o′y′復平面下復數形式分別為z1′=x1′+y1′i和z2′=x2′+y2′i。則由公式(11)可得：

(12)

(13)

將式(12)減式(13)可得旋轉尺度復數形式為：

(14)

將(14)帶入(12)或(13)中的平移復數形式為：

(15)

由式(11)可得坐標轉換反算公式：

(16)

公式(11)、(14)、(15)、(16)即為高斯平面直角坐標復平面下坐標相互轉換公式。

3測量高斯平面直角坐標系下與復平面系下數據比較分析

為了驗證上面2種坐標系下坐標轉換公式的正確和實用性，選在了某電站壩軸線及兩側的點進行大地坐標和施工坐標之間轉換數據進行采集分析。在測量高斯平面直角坐標系下，公式(7)和(6)為大地坐標轉換為施工坐標公式，公式(3)和(4)為施工坐標轉化為大地坐標公式。在測量高斯平面直角坐標系復平面下，公式(11)、(14)和(15)為大地坐標轉化為施工坐標公式，公式(14)、(15)和(16)為測量坐標轉化為大地坐標公式。通過下面的數據進行分析驗證。

3.1測量高斯平面直角坐標系下坐標轉換實例分析

已知大壩軸線兩端點B1、B2，將其轉換成施工坐標，要求其以B1、B2為軸線 進行相應坐標轉換。轉化數據如表1。

表1　　　測量高斯坐標平面直角坐標系下大地坐標與施工

由表1轉換數據可以看出，在工程測量中只要知道了坐標轉換參數xo′、yo′、θ就可以進行坐標轉換。在測量高斯直角平面坐標系下，轉換參數可以用坐標正反算進行求解。

3.2測量高斯平面直角坐標復平面系下坐標轉換實例分析

已知大壩軸線兩端點B1、B2，將其轉換成施工坐標，要求其以B1、B2為軸線 進行相應坐標轉換。轉化數據如表2。

由表2知，運用復數進行大地坐標與施工坐標系之間相互轉換時，需要確定4個轉換參數xo′、yo′、κ、θ，這4個轉換參數可以用復數運算進行求解。

3.32種坐標系下大地坐標與施工坐標相互轉換比較分析

由表1,2可以看出，不管用那種方法進行大地坐標與施工坐標相互轉換，其轉換結果一樣。測量高斯平面直角坐標系下需要求解3個參數，參數求解要有一定的限制，先要找好軸線，再用坐標正反算求之。測量高斯平面直角坐標復平面系下則只要知道兩點就可以求解出相應的參數。在復平面里多了個縮放比例κ，κ值的精度決定了所求坐標的精度，當κ為1沒有縮放，則測量高斯平面直角坐標系下的坐標轉換是測量高斯平面直角坐標復平面系下坐標轉換的特例。

表2　　　測量高斯坐標平面直角坐標復平面系下大地坐標與

4結語

通過在施工測量中引入復數求解坐標轉換：

(3) 引入復數后使得坐標轉換更加簡單化，在復數計算中縮放尺度的引入可以使公式變得更加完整。

參考文獻:

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[6]寧津生,劉經南,陳俊勇.現代大地測量理論與技術[M].武漢：武漢大學出版社，2006.

Study and Analysis on Coordinate Conversion by Application of Complex Number Calculation in Engineering Survey

YANG Weixing

(Northwest Engineering Corporation Limited, Xi'an710065，China)

Abstract:By application of mold, compound angle, rotation angle and scale parameter of the complex number, the mutual conversion between construction coordinates and geodetic coordinates is analyzed, studied and optimized reasonably. Accordingly, the simple formula applicable for the engineering application is derived, avoiding inconvenience resulted from the conversion factor between construction coordinates and geodetic coordinates in the engineering survey operation and improving work efficiency. Meanwhile, comparison, analysis and verification of relevant data by different calculation methods provides surveyors with reference.

Key words:complex number; scale parameter; construction coordinates; geodetic coordinates

中圖分類號：P258

文獻標識碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1006-2610.2016.02.007

作者簡介：楊偉星(1979- )，男，河南省平頂山市人，工程師，從事電站的質量控制與變形觀測工作.

收稿日期：2015-03-03

文章編號：1006—2610(2016)02—0024—03