初中數學動點問題的解題策略

王妮妮（大連市107中學　遼寧大連　116106）

?

初中數學動點問題的解題策略

王妮妮
（大連市107中學遼寧大連116106）

摘要：動點問題通常會將一個大主題細化成若干個小問題，由淺入深，層層遞進，該題型有助于培養學生運用動態思維去分析問題、解決問題的能力。在解決動點問題時，首先必須把握好"動中有靜"的解題思想，通過動中求靜、確定問題中的不變關系，動靜互化，把握運動中的特殊位置，以動制動，建立圖形中變量的函數關系，進而探索出解決問題的方法。

關鍵詞：初中數學動點問題解題策略

動點問題是用“運動和變化”的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動和變化的全過程。要求學生要有扎實的基礎知識，較好的閱讀理解能力以及較強的數學建模能力。解決動點問題一般需要經歷觀察、思考、畫圖、推理、反思等實踐活動，需要去觀察、分析、概括所給的問題，找出其中不變的量和相等關系，揭示它的數學本質，并且轉化為我們熟悉的數學問題，從而解決問題。因其“綜合性強，知識點多，對能力要求高”的特點，它為考查初三不同層次學生的學習情況和思維水平提供了平臺。

1．注重對學生思維能力的培養

動點問題條件往往不少，在教學中不能就題論題，要引導學生逐步地分解問題，并歸納到解題步驟中去，題目中給出的條件是什么意思，對應著哪個步驟，對每一個步驟中出現的，我們可以運用學過的什么知識去解題，只有分析透徹了，下次學生遇到別的題目才能學著按照步驟去分析，才能避免出現“眉毛胡子一把抓”，不知道題目里出現的條件派什么用場的情況；數學的分類討論其實是思維深刻性的體現，教師在教學中對根據什么分類，分類標準是否明確，還有沒有更好的分類方法，討論要盡可能地深入，不能點到為止，為以后的學習帶來隱患。

2．注重學生閱讀能力的培養

數學的閱讀能力是一種很重要的數學能力，對于解決問題是有首當其沖的關鍵作用。在平時的數學教學中，一般都是教師講，學生很少有時間去閱讀課本和相關資料，以至于有的學生看到文字就頭暈，就怕做或不做。所以，在教學中，加強數學閱讀的教學安排就顯得很有必要。另外，加強數學閱讀對學生自主學習也很有好處。

3．注重運用計算機輔助教學

在“動點問題”的教學中，因為動點問題比較抽象，學生不容易進行想象，教師往往用計算機來輔助教學。如，“幾何畫板”模擬圖形的運動，也有缺點，因為我們不可能時刻都帶著計算機，而且用了計算機，學生只是看明白了,下次自己做還是不能夠合理分析。所以，在教學中，要用計算機，但要適當使用，最終還是要有要學生脫離計算機，關鍵還是學生要學會分類作圖。

如圖1，A（0，2），B（2，0），C（2，2），線段OB上有一動點P，在直角坐標系的第一象限內以P為邊長作正方形APQR，試判斷三角形ACR的形狀，并說明理由。

圖1　

解析：此題易證△AOP≌△ACR（SAS），即∠ACR=∠AOP=90°，故ACR是直角三角形。在教學中可繼續問學生：在點P從原點O運動到點B的過程中，線段AP的數量大小如何變化？正方形APQR的大小如何變化？點R的位置如何變化？如果學生能答出以下結論，才算是該問題弄明白、想透徹了。從原點O運動到點B的過程中，線段AP的長度越來越長；正方形APQR逐漸變大；點R的位置在直線CB上，且從點C逐漸向上運動到（2，4）。這一運動過程中始終不變的是∠ACR=90°。

如圖2，上題中如果點P運動越過點B，在線段OB的延長線上運動，若點P（m，0），試求線段BQ所在直線的解析式。

圖2　

解析：此問易證△AOP≌△PTQ（AAS），

∴PT=AO=2，QT=OP=m；

∵P（m，0）∴OP=m，BP=m-2

∴BT=m-2+2=m，∴BT=QT，∴∠QBT=45°

∴BQT是等腰直角三角形，

∴易求線段BQ所在直線的解析式是：y=x-2

這一問題中隨著點P越過點B向右運動，正方形APQR逐漸變大，但是蟻QBT始終是45°，點Q在定直線y=x-2上運動。

例3，

①當點E在CD上運動時，如圖3。分別過點A、D作AF上BC于點F，DH上BC于點H，則四邊形ADHF為矩形，且AABF—ADCH，從而FH=AD=75，于是BF=CH=30。∴DH=AF=40。又QC=3t。從而QE=QC· tanC=3t·DH，CH=4t．∴s=SQCE=1／2QE·QC=6t2；

②當點E在DA上運動時，如圖4。過點D作DH上BC于點H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QC—CH=3t一30。

∴S=S0CDE=1／2（ED+QC）DH=120t-600。

評析：主要考查學生分類討論的思想，對用含有t的代數式表示線段的要求有了進一步的提高。

4．動點問題的解題關鍵是：在運動過程中找出變化的量與不變的量

1）解決動點問題的解題方法

動中覓靜：這里的“靜”就是問題中的不變量或不變關系，動中覓靜就是在圖形的運動變化中探求問題中的不變量。

動靜互化：有些問題是求最值或者形成的特殊幾何圖形，其實就是在運動變化的過程中，動點在某些特殊位置形成的特殊圖形或特殊的數量關系。動靜互化就是抓住靜的瞬間，把一般問題轉化成為特殊情況，從而找到“動”和“靜”的關系。

2）解決動點問題的基本步驟

結束語

總之，動點問題綜合性強，知識點多，對能力的要求也高，既有助于系統地考查和分析學生數學學習中遇到的困難以及產生困難的原因和學生的能力缺陷，又有助于培養學生觀察問題、分析問題、分類討論的能力以及發散思維能力，提高學生運用所學的數學知識解決實際問題的能力。教師在引導學生解決動點問題時，要引導學生主動觀察、分析、概括、推理所給的問題，從中找出隱含的不變量和變量關系，把握運動中的某些極端位置和特殊位置，進而揭示問題的數學本質，并將其轉化成熟悉的數學問題，使問題得到有效地解決。

參考文獻：

[1]王中文。初中數學動點問題的解題策略卟讀與寫：教育教學刊，2012

[2]呂小利。關于初中數學解題策略的探討卟數理化學習，2011

王妮妮，遼寧師范大學數學學院2014教育碩士

作者簡介：