壓力機成本-公差模型及質量損失模型研究

陳啟升，李愛香，曹 奇，別世清，尤錫龍

（山東恒宇重工機械有限公司，山東 高密 261500）

壓力機成本-公差模型及質量損失模型研究

陳啟升，李愛香，曹 奇，別世清，尤錫龍

（山東恒宇重工機械有限公司，山東 高密 261500）

本文以壓力機的公差與配合為研究對象，運用數學函數方法，在滿足裝配目標的情況下，主要研究了指數模型、改進的指數模型、負平方模型、倒數冪指數模型、多項式模型和復合模型的各種形式，以及三種質量損失函數。對壓力機尺寸鏈中各組成環的公差進行合理分配，以達到降低成本之目的。

壓力機；公差；函數模型；配合；成本

加工成本是壓力機總成本的重要組成部分，它是體現企業經濟的主要標志，而影響機械加工成本的諸多因素中零部件的公差影響最大，且公差是產品設計和制造的重要技術條件。以成本最低為目標，展開了成本－公差的建模技術研究[1－3]。

1 成本-公差模型

壓力機公差分配是公差設計的重要組成部分，其主要研究是指在滿足裝配目標的情況下，對尺寸鏈中各組成環的公差進行合理的分配，并且盡量符合經濟性原則。國內外相關研究人員對公差分配問題關注一直非常多，且相關研究成果也非常多，但是使用基于優化技術的公差分配方法求解公差分配問題，并給出最優解的卻不多。本文將用最優化理論解決公差分配問題，下面將先介紹幾種常見的加工成本函數模型。

1.1 指數加工成本函數模型

指數模型（Exponential Model）：

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a、b、c為已知參數，且a>0、b>0、c>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有n個組成環，設第i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（1），設第i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：ai、bi、ci為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：ai、bi、ci為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

1.2 改進的指數加工成本函數模型

改進的指數模型（Modified Exponential Model）：

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a、b、d及m為已知參數，且a>0、b>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有n個組成環，設第i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（4），設第i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：ai、bi、di、及mi為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：ai、bi、di、及mi為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

1.3 負平方加工成本函數模型

負平方模型（Reciprocal Squarel Model）：

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a、b為已知參數，且 a>0、b>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有 n個組成環，設第i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（7），設第i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：ai、bi為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：ai、bi為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

1.4 倒數冪指數加工成本函數模型

倒數冪指數模型（Reciprocal powers Model）：

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a、b為已知參數，且 a>0、b>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有 n個組成環，設第i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（10），設第 i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：ai、bi為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：ai、bi為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

1.5 多項式加工成本函數模型

多項式模型（Polynomial Model），例如三次多項式模型為：

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有 n個組成環，設第i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（13），設第 i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

多項式模型有多種，如四次多項式模型、五次多項式模型等等，這里主要以三次多項式模型為例子進行分析。

1.6 復合加工成本函數模型

復合模型（Hybrid Model），常用到的復合模型有指數和冪指數混合模型、線性和指數混合模型、指數和分式混合模型、指數和倒指數混合模型、倒指數積和指數混合模型等。

1.6.1 指數和冪指數混合模型

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2、a3和a4為已知參數，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0、a4>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有 n個組成環，設第i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（16），設第i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i、a3i和a4i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i、a3i和a4i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

1.6.2 線性和指數混合模型

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數，且 a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有n個組成環，設第 i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（19），設第i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

1.6.3 指數和分式混合模型

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有n個組成環，設第 i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（22），設第i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

1.6.4 指數和倒指數混合模型

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有n個組成環，設第i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（25），設第i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

1.6.5 倒指數積和指數混合模型

式中：t為設計公差；C（t）為加工成本；a0、a1、a2和a3為已知參數，且a0>0、a1>0、a2>0、a3>0。

假如在一個線性尺寸鏈中有n個組成環，設第i個組成環的公差用ti（i=1，2，…，n）表示，并且每個組成環的尺寸公差加工成本都符合式（28），設第i個組成環的加工成本函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

則在這個線性尺寸鏈中，各組成環的加工成本總和函數表示為：

式中：a0i、a1i、a2i和a3i為大于零的已知參數，其中i=1，2，…，n。

這些模型的共同點是：在某一個特定的加工環境中，統計大量的公差與加工成本數據，再用最小二乘法等方法求出模型中的相關參數，得到的擬合曲線一般情況下是單調遞減的，且是非線性關系，統計模型越復雜，得到的相關數據精度就越高，但擬合難度就越大。

2 質量損失模型

公差是體現產品質量的重要標志，公差的大小對產品質量和生產成本都有著非常大的影響，是平衡產品質量與生產成本之間的關鍵因素[4，5]。傳統的質量觀只把重點放在了如何設計結構和生產制造上，而忽略了公差概念的缺陷，實質上是一種被動式、服從式的質量觀，對于這種質量觀的公差只用了兩個極值進行描述，稱為傳統公差或二值公差，如圖1所示。按照這種觀念，壓力機的質量只需考慮公差是否在這兩個極值內，如果在就認為是合格的，而忽略了零部件公差偏離目標值的大小。

圖1 二值公差

一般情況下，公差值的大小離目標值越近就說明質量越好，而不是傳統質量觀認為的只要在公差極值范圍內就是合格的，當實際的公差值偏離目標值越多，產品質量損失就越大，因此，壓力機公差值的大小不僅要看是否在規定的范圍內，而且也要看實際值偏離目標值的大小程度，要把產品的質量看成是連續的變量。顯而易見，傳統的公差概念是不能做到這一點的，所以，日本學者田口玄一博士提出了質量損失的概念，這種觀念強調產品對客戶造成的損失也是質量損失，這種觀念是一種主動式、現代式質量觀。對于這種質量觀的公差我們需要對產品的生產實際公差值進行統計，然后再進行描述，因此又叫做統計公差，如圖2所示。所以，在這種觀點的基礎上評價一個產品質量的優劣，不僅要看公差是否在規定的極限范圍內，同時也要看公差值偏離目標值的大小程度，對于用戶來說偏離的越大質量越是不好，比較注重產品的質量損失，即公差值偏離目標值的大小程度，但是質量損失越小也會導致加工成本越高。

圖2 統計公差

質量特性偏離質量設計目標值的大小是引起質量損失和質量問題的主要原因，因此田口玄一博士建立了質量損失函數，用質量損失函數來表達質量損失與質量特性波動之間的關系。質量損失QL（Quality Loss）是質量特性值x的函數。不同的產品質量特性對應著不同的產品質量損失曲線，當產品公差值偏離目標值越小，產品質量越好，偏離目標值越大，產品質量越差，當產品公差值正好等于目標值時，也就是說產品質量損失為零。但是，產品的公差值只要在規定的范圍內，我們就認為產品是合格的，也是可靠的，只不過是生產過程中盡量向目標值靠近，把質量損失降到最低，公差值只要在規定的范圍內就不會再考慮偏離目標值的程度。

為了讓產品的質量損失能進行量化比較，需要對質量損失進行定義，因而田口玄一博士建立了質量損失函數概念。他把產品的質量特征值設為x，目標值設為m，當x等于m時，產品的質量損失最小，即質量損失為零，當x與d不相等時，x與m相差的絕對值越大，質量特征離目標值越遠，即產品的質量損失越大。用L（x）來表示質量特征x所對應的質量損失，設L（x）在x等于m處存在高階導數，根據泰勒展開公式得出以下公式：

根據上述假定和公式，當x=m時，L（x）=0，則求出L（m）=0；同時，由于L（x）在x=m處有最小值，可知L′（m）=0。忽略掉二階以上的高階項，那么質量損失函數近似表示為：

田口先生認為質量損失是由于質量特性值x偏離設計目標值所引起的，有所偏離，就會有所損失，根據質量特征x的目標值m的取值不同，質量損失函數可以分為以下三種不同的情況。

2.1 望目特性的質量損失函數

望目特征的質量損失函數是指質量特征x與目標值m之間的偏差大小與經濟損失多少之間的關系函數，設質量特征x的目標值為m，質量特性值x在目標值m左右波動，波動越小質量越好，則x就被稱為望目特性，尺寸公差多屬于此類型的質量特征，如圖3所示。比如某軸件加工尺寸為?5±0.02（mm），目標值為m=5（mm），實際加工尺寸x就屬于望目特性。質量損失函數的表達式為：

由公式（33）可以看出，質量特性值x的波動所造成的質量損失與質量特性值x偏離目標值m的偏差平方成正比，也就是說，產品不合格會造成損失，即使產品合格同樣會造成一定的損失，質量特性值x偏離目標值m越遠，造成的損失越大。這就是日本學者田口玄一博士提出來的關于質量的新觀點，把這種二次方程用作質量損失函數，從中我們可以看到很多相關信息。從圖3所示的曲線可知，質量損失函數是連續的二次函數曲線，質量特性值x在規定的公差范圍內并不一定表示該產品質量優良，最優的產品質量是該產品的質量特性值x穩定在該產品的目標值m上，該曲線就更形象地展示了關于質量的新觀點。傳統的質量觀點是一種不連續的階躍函數，只要質量特性值 xL在規定的公差范圍內就沒有損失，只有當質量特性值x超出規定的公差范圍極限才算有質量損失。

圖3 望目特性

下面介紹兩種K值的確定方法：

（1）由功能界限Δ0和產品喪失功能后的損失A0求K，功能界限Δ0是指產品的功能是否能正常發揮的臨界值，A0是指產品喪失功能之后的損失。當｜xm｜≤Δ0時，產品的功能能正常發揮，當｜x-m｜＞Δ0時，產品喪失功能。把產品喪失功能之后的損失A0代入式（33）可得：

（2）由容差Δ和產品不合格后的損失A求K，容差Δ是判定產品是否合格的臨界值。當｜x-m｜≤Δ時，產品為合格品，當｜x-m｜＞Δ時，產品為不合格品。當產品不合格時，對該產品可以采取報廢或是返修等措施，但是這樣造成的損失記為A元。代入式（33）可得：

2.2 望小特性的質量損失函數

望小特性是指質量特性值x不取負值，質量特性值x越小越好，波動越小越好，則x被就稱為望小特性。如圖4所示，比如實際測量的誤差值、形位公差、表面粗糙度等就屬于望小特性。質量損失函數的表達式為：

圖4 望小特性

2.3 望大特性的質量損失函數

圖5 望大特性

望大特性是指質量特性值x不取負值，質量特性值x越大越好，波動越小越好，則x就被稱為望大特性。如圖5所示，比如企業的利潤、壓力機的使用壽命等就屬于望大特性。質量損失函數的表達式為：

3 小結

本文研究了壓力機成本-公差模型的各種模型與質量損失模型的各種模型。成本-公差模型主要研究了指數模型、改進的指數模型、負平方模型、倒數冪指數模型、多項式模型和復合模型的各種形式。質量損失模型是基于田口先生的質量觀，主要研究了望目特性的質量損失函數、望小特性的質量損失函數和望大特性的質量損失函數。

[1]劉玉生，吳昭同，楊將新.基于成本模型的計算機輔助公差優化設計的研究[J].浙江大學學報（自然科學版），1995，29（6）：698-705.

[2]楊將新，吳昭同.機械加工成本-公差建模技術的研究[J].浙江大學學報（自然科學版），1996，30（5）：517-522.

[3]邵錦文，張振家，馮國泰.基于一種新的公差成本模型的工藝優化設計[J].航天制造技術，2002，（2）：8-11.

[4]方紅芳，何 勇，吳昭同.基于田口質量觀的并行公差設計的研究[J].機械設計，1998，（3）：22-25.

[5]黃美發，鐘艷如.基于制造成本與質量損失的并行公差設計[J].現代制造工程，2004，（5）：68-70.

Study on cost-tolerance model and quality loss model of press

CHEN Qisheng,LI Aixiang,CAO Qi,BIE Shiqing,YOU Xilong
（Shandong Hengyu Heavy Industry Machinery Co.,Ltd.,Gaomi 261500,Shandong China）

Taking the tolerance and fit of press as the research object in the text,in order to meet the assembly target,the mathematical function method has been adopted to study various form of exponential model, modified exponential model,negative square model,inverse power exponent model,and polynomial model& mixed model,as well as three kinds of quality loss function.The tolerance of each ring in the dimension chain of the press has been reasonably allocated,in order to reduce the cost.

Press;Tolerance;Fit;Cost;Function model

TG305

A

10.16316/j.issn.1672－0121.2016.04.034

1672－0121（2016）04－0116－05

2016－02－19；

2016－04－07

陳啟升（1965－），男，高級工程師，從事機械壓力機開發設計。E－mail：chqsh2012＠163.com