《勾股定理》教學案例與評析

?執教者：哈爾濱市第四十九中學　　張宏偉?評析者：哈爾濱市香坊區教師進修學校李杰于妍秋

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《勾股定理》教學案例與評析

?執教者：哈爾濱市第四十九中學張宏偉
?評析者：哈爾濱市香坊區教師進修學校李杰于妍秋

（此課為全國2015生命化教育“大問題”教學研討會觀摩課。）

【教學設計】

《勾股定理》選自人教版義務教育課程標準實驗教科書（五·四學制）《數學》八年級下冊第24章第1節第1課時.下面我將從內容和內容解析、目標和目標解析、教學問題診斷分析、教學過程設計四個方面，闡述我這節課的設計思路．

一、內容和內容解析

1.內容

勾股定理的探索及簡單應用.

2.內容解析

勾股定理是初等幾何中最重要的定理之一.它揭示了直角三角形三條邊之間的數量關系，是直角三角形的一條重要性質.它可以用來解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據之一.勾股定理把形和數密切聯系在一起，在數學基礎理論中占有重要的地位，不僅是平面幾何中的重要定理，而且是三角學、解析幾何學、微積分學等的理論基礎，在生產生活和其他自然科學中也有廣泛應用.

對勾股定理的探究從特殊的等腰直角三角形入手，再到一般的直角三角形，體現了從特殊到一般的探究過程和研究方法.證明勾股定理的關鍵是通過面積的割補，利用等面積法來建立等量關系，從中發現直角三角形三條邊的關系.

我國對勾股定理的研究早于其他國家，通過我國古代和國外勾股定理的研究成就介紹，培養學生的自信心，激發學生探究的欲望.

基于以上分析，確定本節課的教學重點：用拼圖的方法探索勾股定理.

二、目標和目標解析

1.目標

（1）能夠運用面積法探索直角三角形三邊的數量關系；

（2）經歷探索勾股定理的過程，感悟面積割補法的運用，體驗從特殊到一般的探究過程和研究方法、轉化的思想及數形結合的思想方法；

（3）簡單應用勾股定理，已知直角三角形的兩邊，求第三邊.

2.目標解析

前兩個目標的達成是交融在一起的.由特殊的腰長為1的等腰直角三角形三邊關系的探究到兩條直角邊不相等的直角三角形三邊關系的探究，是特殊到一般的探究過程，能運用已知數據和斜邊c分別表示同一圖形的面積，在探索的過程中，體會特殊到一般、具體到抽象的研究過程，在利用面積法拼圖的過程中感悟面積割補法的運用及數形結合的思想.

目標（3）須在得出勾股定理后，在對定理的進一步理解中達成.

三、教學問題診斷分析

學生運用面積割補法解決“等腰直角三角形已知直角邊求斜邊的長”較為順利，但在解決“直角邊分別為1 和2，求斜邊的長”時，一定會出現困難，有必要利用合作學習來解決問題，引導學生尋找建立三邊關系的有效途徑，充分體會等面積法的應用，從而為探究三邊分別為a、b、c的直角三角形的三邊關系奠定知識和方法基礎.

本節課的教學難點是：探索直角邊分別為1和2的直角三角形的三條邊之間的關系.

四、教學過程設計

環節一：創設情境

教學內容：回顧曾經研究的直角三角形具有哪些性質，還想了解它的哪些方面.今天我們將專門研究直角三角形的三條邊具有怎樣的數量關系，這在古代是個很難的問題，幾千年以前我國人民就對三邊關系有了一定的研究，三國時期趙爽發現了三邊的數量關系，古希臘數學家畢達哥拉斯也有所發現，并將其稱為畢達哥拉斯定理，而我國學者將三邊的數量關系稱為勾股定理.從古至今，勾股定理吸引廣大數學愛好者的不斷探索，大科學家愛因斯坦、美國總統加菲爾德也加入了研究的行列，大家想不想研究斜邊與這兩個直角邊究竟有怎樣的數量關系呢？

設計意圖：教師提出問題,激發學生的學習動機，使之產生進一步探究新知的欲望.

環節二：探求新知

教學內容：

問題1已知一個直角邊分別為1的三角形，你能利用所學知識求出斜邊c的長嗎？

課堂活動：學生利用等面積法拼出相應的圖形，并列出相應的方程.

學生匯報展示成果如下：

情況1：

對于情況1，應引導學生說明等腰直角三角形常作高線，并利用不同的面積表示法列方程.

情況2：

對于情況2，應引導學生說明新組成的圖形為什么是等腰直角三角形，怎么利用面積相等關系列出方程.

情況3：

對于情況3，應引導學生簡要說明組合圖形為什么是正方形.

情況4：

對于情況4，不會有太多學生想到，教師要及時給予表揚，同時指出等腰直角三角形與正方形兩個圖形之間的密切聯系，列方程還是依托等面積法.

回顧問題的解決過程，思考這樣兩個問題：1.你的方案是怎么想到的？2.你是如何列出這些等量關系的？

設計意圖：從特殊圖形開始研究問題，初步體會等面積法，引導學生體會通過一個圖形的兩種不同的面積表示法列方程，從而解決問題的過程，為探究二奠定方法基礎.

問題2已知一個直角三角形的兩條直角邊長分別是1、2，你能找出直角邊1、2和斜邊c的關系嗎？

課堂活動：大部分學生模仿問題1的解決過程拼出如下方案，但找不到解決問題的辦法.

教師追問：1.說說你是怎么想的，這樣能求出斜邊c的長嗎？2.問題出在哪呢？

學生經過討論發現，不能用含有斜邊c的式子表示拼成的圖形面積.

老師再次追問：讓我們回顧問題1的解決過程，為什么這些拼成的圖形面積能夠用含有c的式子表示，這種方法能給解決問題2帶來啟示嗎？再給大家一些時間，看看有沒有解決辦法.

經過師生交流，學生匯報成果如下：

情況1

情況2

教師及時展示兩位學生的做法，分析每一種做法從問題1中受到了哪些啟發？為什么是正方形？你是怎么想到這種做法的？靈感來自哪里？等式兩邊都表示了哪個圖形的面積？

對于情況1，學生受到問題1的方案4啟發，拼成正方形，大正方形面積可用已知數1和2表示，同時小正方形的面積可用含有c的式子表示.

對于情況2，大正方形的面積可用c2表示，小正方形的面積可用（2- 1）2來表示，從而列出等量關系，求出c值.

回顧問題2的解決過程，請大家思考：在拼成的各種方案中，列出的這些等量關系的依據有什么共同特點嗎？

設計意圖：1.體會面積割補的思想和方法，讓學生經歷從特殊到一般的探究過程；2.將新問題轉化為已經解決的問題來處理，從數和形兩個角度觀察、思考、對比，從而認識問題的本質.

問題3最后提出一個最具有挑戰性的問題，如果將直角邊1和2改成a和b，你還能找到a、b和c的關系嗎？

課堂活動：學生拼圖，教師巡視，并提醒學生方案是否可行，列出的關系式是否正確，最后請兩位同學到黑板前整理，講解解決方案，進而得出結論a2+b2=c2.

情況1：

情況2：

師生用自己的語言概括直角三角形三邊的等量關系，得到勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

設計意圖：教師通過不斷追問，引發學生對拼成的新的特殊圖形與原直角三角形相互轉化及圖形實質的理解，意在讓所有學生都能夠從中受到啟發，分享智慧，提高思維能力.

環節三：簡單應用

如果已知b的長為8，c的長為10，求a的值.

這說明a、b、c中，知道其中兩個量才能求出第三個量.

環節四：反思總結

教學內容：勾股定理揭示了直角三角形的三邊關系，同時也成為了用代數方法解決幾何問題的研究典范，在歷史的長河中，各國對勾股定理的研究從未停止，方法達幾百種，課下大家可以繼續研究其他證明方法.一堂課的時間那么短暫，但相信本節課的學習一定會給你留下許多美好回憶，誰能總結本堂課你的收獲與體會？

課堂活動：師生共同回顧研究過程，體會從特殊到一般的研究方式，面積的割補法，數形結合的思想.

設計意圖：將所學知識納入到已有的知識結構中，形成新的知識體系.

環節五：布置作業

1.梳理勾股定理的多種證明方法；

2.閱讀教材，闡述教材中勾股定理的得出與課堂上的探究有何不同？

【評析】

從凌亂到靈動——實現真正意義的學生學習勾股定理在歷史上曾經是世界難題，而今天我們要用一節課的時間研究它，所以我們不能完全按照科學家的研究思路進行研究.數學界前輩張奠宙老先生曾經說過，數學有三種形態：原始形態、學術形態和教育形態.原始形態是數學家創造時的形態，彎彎曲曲的；學術形態是科學家表達自己成果的形態，板起面孔的；而教育形態則是用學生容易接受的方式整理的，又有利于學生發展的形態.張老師這節課就是采用教育形態來展開教學的，突出表現在以下幾點：

一、問題讓學習發生

本節課張老師在課前先帶領學生做了熱身活動，待學生的士氣被激發起來后，課堂上的系列問題探究正式開始.

張老師設置的一系列問題是以從特殊到一般的方式來研究直角三角形的三邊關系.這些問題具備這樣幾個特點：第一個問題是本節課的課眼，是本節課教學的主線，直接觸及數學的本質，并貫穿本節課的始終；第二個問題具有挑戰性，有一定的開放度和自由度，給學生獨立思考、合作學習留下了充分的探索空間；第三個問題能激發學生的興奮度，學生被這個非常有意思的“偉大事物”深深吸引，全身心投入到問題的研究中來.

二、合作讓學習實現

本節課展開了三次小組合作學習.我們采取抽樣調查的方式來觀察課堂中合作學習的情況，最后再將每個人的觀察結果匯總，通過分析看出：

第一，合作學習的內容恰當.由于教師提出的問題具有一定挑戰性、探究性、發散性、矛盾性，所以學生獨立解決起來十分困難，其中既有本節課的難點，又有學生在質疑中提出的問題.并且拼圖法及面積的割補思想也不是學生常規解決數學問題的思路，需要學生之間的合作.所以，本節課教師召集學生開展合作學習的時機非常恰當.

第二，合作學習的要求明確.每次合作學習前教師都明確提出合作學習的內容和目標，讓學生知道任務之后，組織組員有序地開展討論、交流，動手操作、探究.這樣做避免了學生亂說話和小組合作學習的盲目性，充分體現了小組合作學習的實效性，也使那些膽怯、被動的學困生積極參與到學習中來，充分體現了自身的價值.

第三，靈活多樣的合作方式取得了非常好的合作效果.每次合作之前，張老師都是先讓學生獨立思考，再組織學生合作交流.學生思考后產生合作的欲望，使得每位學生都能說出自己的想法，都能對問題的解決貢獻自己的一份力量，避免了把合作變成優生講、差生聽的假合作.另外，當學生合作解決仍有困難時，張老師采取了合作—交流—再合作的形式，有效提高了合作的效率.

第四，教師深入小組參與合作.在小組合作學習活動期間，教師通過巡視，對活動中出現的問題及時指導，使合作的效果更好.

第五，學生深度參與.合作學習是否落到實處，關鍵要看組員的參與狀況、互助、互學情況、交互的質量，這些都決定著合作學習的效果.

本節課的三次合作學習，學生的參與深度是有差異的.第一次合作學習的效果略差，而第三次合作學習雖然沒有給學生獨立思考的時間，但是效果卻是最好的.看來合作學習建立在每個個體有一定的想法的前提下，效果才會更好.

三、放手讓學習深入

實現真正意義上的學生學習，教師應做到真正的放手，把學習權還給學生.這一點是教師最難做到的.究其原因，教師有“三怕”：一怕學生答不上，冷場；二怕時間不夠，壓堂；三怕出現教師預想不到的生成.張老師的這節課真正做到了放手，做到了：

等待——給學生獨立思考留出時間；

關注——給學生合作交流營造空間；

傾聽——給學生闡述理由創造機會；

追問——給學生質疑爭辯、發現問題、提出問題搭設平臺；

評價——給不同層次的學生鼓足勇氣.

正如日本教育學者佐藤學所做的比喻，好的教學就如接住學生“投過來的球”，即“接住”每個學生的發言，并能與那些傾心“投球”的學生的想法產生共振，不論學生向你拋出一個精美的彩球、棘手的刺球、偏離軌道的歪球，或是一閃即逝的擦邊球，教師都應恰當地接住.這節課張老師在一些問題的解決中，設置了一些追問，但筆者認為，在問題2這一難點問題的突破上，教師的迂回還不夠，若教師再多一些層層深入的追問，引發學生之間的質疑、爭辯，從而產生數學思維層面的深度對話，讓更多的學生體會到解決問題的關鍵所在，效果會更好.

總之，我們期待的課堂應該讓學生真興奮，走向真研究，在課堂由凌亂到靈動的過程中，讓學生獨處、傾聽、合作、互動、質疑、碰撞，體會再創造的樂趣——創建一個真正的學習共同體空間，這樣，真正意義的學生學習就實現了！

編輯/王一鳴

E- mail:51213148@qq.com

【英語篇】