例題教學應從“解題”走向“思想”
——從考生對兩道高考壓軸題的不嚴密解答談起

張海強 孟 盛

例題教學應從“解題”走向“思想”
——從考生對兩道高考壓軸題的不嚴密解答談起

張海強1孟 盛2

微積分是繼歐幾里得幾何之后，數學發展史中的一個創造，極限思想則是微積分的基礎。從歷史發展來看，極限思想的建立是一個漸進的過程，因此新課程教科書為幫助學生建立極限思想作了諸多嘗試。從高考對極限思想的考查來看，結果不盡如人意，因此宜加強習題教學的研究，使習題教學從數學知識的教學走向數學思想（方法）的教學，甚至數學觀念的教學。

極限思想；漸近線；下確界；數學閱讀；習題教學

極限思想是一種重要的思想方法，是微積分的基礎，是連接初等數學與高等數學的橋梁。隨著高中對導數內容學習的深入，極限思想不可避免地從幕后走向臺前，以“正統”的姿態進入了高中教材，極限思想已然成為高中數學思想方法的重要內容。但從2010年和2013年江蘇高考對極限思想的考查來看結果不盡如人意，學生尚缺乏運用極限思想解決問題的意識和能力，極限思想并沒有在學生的頭腦中“扎根”。本文以2010年和2013年江蘇省數學高考試題中的壓軸題為例，呈現考生的不嚴密解答，并做出相關分析，基于此給出對極限思想教學的一點思考。

一、試題與不嚴密解答

試題1：（2010年江蘇高考第19題）設各項均為正數的數列｛an｝的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數列是公差為d的等差數列。

（1）求數列｛an｝的通項公式（用n，d表示）；

（2）設c為實數，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立。求證：c的最大值為

不嚴密的解答：（1）略；

（2）Sm+Sn＞cSk?m2d2+n2d2＞c·k2d2?m2+n2＞c·k2，即恒成立。

試題2：（2013年江蘇高考第20題）設函數f（x） =lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論。

不嚴密的解答：（1）略；

當0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；當x＞e時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減。

二、解法分析

上述不嚴密的解答來源于考生的高考解答，且具有普遍性。試題1是極限思想在數的角度運用的例子。從閱卷情況看，幾乎所有考生在得到后，便認為c的最大值為事實上，由于m≠n，故不是c的最小值，正因為如此可得出但為什么能取到？這關乎數集的下確界的證明，涉及極限的理論知識 （“ε-δ”定義），雖然高中學生并不具備這樣的知識，但筆者認為學生應該具有用樸素的極限思想思考這一問題的能力。試題2是極限思想在形的角度運用的例子。縱觀整個解答過程，試問兩條漸近線方程是如何確定的呢？

當x→0+時，h（x）→-∞，表明直線x=0為函數h（x）的一條漸近線（垂直漸近線）。如果說這可以從定性的角度加以理解的話，那么當x→+∞時的情形則是一個沒有學過極限理論知識（“ε-δ”定義）的高中生無法逾越的鴻溝。

三、高中知識框架下的嚴格證明

試題1的證明可以采取“歸謬法”，古希臘人的“窮竭法”蘊含了極限思想，但由于對“無限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于歸謬法來完成有關的證明，本題的證明思路正源于此，其完整過程如下：

于是，對滿足題設的m，n，k，m≠n，有Sm+Sn=

于是，只要9k2+4＜2ak2，即當

試題2的求解工具是“零點存在定理”，但其本質是以極限理論知識（“ε-δ”定義）為基礎的，不過高中階段只需會用該定理解決有關問題，因此，運用“零點存在定理”解此題可以擺脫學生對極限理論知識的依賴，其求解過程如下：

g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則a≤ex，故為所求。

②當a＜0時，由于f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，f（1）=-a＞0，且函數f（x）在［ea，1］上的圖像不間斷，所以f（x）在（ea，1）上存在零點。

③當0＜a≤e-1時，令解得x=a-1。當0＜x≤a-1時，f′（x）＞0，當x＞a-1時，f′（x）＜0，所以x= a-1是f（x）的最大值點，且最大值為f（a-1）=-lna-1

（ⅰ）當-lna-1=0，即a=e-1時，f（x）有一個零點x=e。

（ⅱ）當-lna-1＞0，即0＜a＜e-1時，f（x）有兩個零點。

實際上，對于 0＜a＜e-1，由于f（e-1）=-1-ae-1＞0，f（a-1）＞0，且函數f（x）在［e-1，a-1］上的圖象不間斷，所以f（x）在（e-1，a-1）上存在零點。

另外，當x∈（0，a-1）時故f（x）在（0，a-1）上是單調增函數，所以f（x）在（0，a-1）上只有一個零點。

下面考慮 f（x）在（a-1，+∞）上的情況。考察的符號。

當0＜a＜e-1，即a-1＞e時＜0，又f（a-1）＞0，且函數f（x）在上的圖象不間斷，所以f（x）在（a-1，ea-1）上存在零點。

又當x＞a-1時-a＜0，故 f（x）在（a-1， +∞）上是單調減函數，所以f（x）在（a-1，+∞）上只有一個零點。

綜合①②③，當a≤0或a=e-1時，f（x）的零點個數為1，當0＜a＜e-1時，f（x）的零點個數為2。

四、兩點思考

首先，極限思想的建立是一個漸進的過程。就歷史發展的角度而言，極限思想的萌芽可以追溯到古代。在古希臘、中國和印度數學家的著作中，已不乏樸素的極限思想。如《莊子·天下篇》中的名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，劉徽的割圓術和古希臘的窮竭法等。17世紀英國物理學家牛頓與德國數學家萊布尼茲以無窮小概念為基礎創立了微積分，極限思想得到了進一步的發展。到18世紀極限思想得到初步的完善，法國數學家達朗貝爾等人先后對極限作出了各自的定義。19世紀法國數學家柯西比較完整地闡述了極限概念及其理論。由認知的歷史發生原理可知，學生頭腦中極限思想的建立應符合極限思想的歷史發展過程。

教科書在內容的編排上也充分考慮了這一漸進過程，以蘇教版高中教材為例，必修一“閱讀”欄目中的含義”、必修二“問題與建模”欄目中“體積的近似計算”、“閱讀”欄目中的“祖暅原理”以及選修2-1正文中“雙曲線的漸近線的證明”等內容均為學生極限思想的建立提供了良好的素材和合理的時機。

因此，筆者以為應切實加強數學閱讀教學，而且首先從閱讀教科書開始，蘇教版高中教材中設置了“閱讀”“鏈接”“思考”“數學探究”等欄目，這些欄目的內容或有利于學生構建完整的知識的結構，或有利于擴展學生的數學視野、豐富學生的“智力背景”，或有利于參悟某種數學觀念。

其次，應當改進習題教學，立足于優化學生思維。蘇霍姆林斯基說：學生在課堂上的腦力勞動修養乃是教師勞動修養的一面鏡子。以此類推，學生在答卷上的腦力勞動修養何嘗不是教師勞動修養的一面鏡子？

試題1和試題2的不嚴密解答大多選擇 “分離參數法”，這正是平時教學和練習中濫用“分離參數法”形成的思維定勢。因此，習題教學應著力提升學生分析問題的能力，注重通性通法，淡化技巧。

試題1和試題2的不嚴密解答說明學生對極限思想渾然不知，究其原因是教師在平時教學中缺乏高觀點的指導，缺乏極限思想的滲透，因此，習題教學應從數學知識的教學走向數學思想 （方法）的教學，甚至數學觀念的教學。

試題1和試題2的不嚴密解答表現出了 “千人一面”的現狀，究其原因是教師滿堂灌的結果，扼殺了學生的主動性和創造性，學生學會的僅僅是“依樣畫葫蘆”，臣服于教師的權威，缺乏質疑的品質。因此，習題教學需要留白，以提供學生“悟”的時間和空間，彰顯個人的特色與風采。

［1］華志遠.透視高考熱點，漫話極限思想［J］.高中數學教與學，2014（17）.

［2］張海強，史豪峰.圖像固直觀，推理更精采［J］.中學數學：高中版，2014（01）.

G633.6

A

1005-6009（2016）28-0039-03

1.張海強，江蘇省宜興中學（江蘇無錫，214200）教師，高級教師，江蘇省特級教師；2.孟盛，江蘇省宜興中學（江蘇無錫，214200）教師。