“學”即研究
——以研究性學習引領學生數學素養的形成

曾榮

“學”即研究
——以研究性學習引領學生數學素養的形成

曾榮

研究性學習提倡用類似科學研究的方式探究并獲取和應用知識，它有利于學生學習和感受數學知識中凝聚的數學智慧，形成初步的數學學科素養。數學教學可以將研究性學習融入問題情境的創設之中、數學模型的建構之中、研究方法的探求之中、數學本質的揭示之中以及數學應用的過程之中，以幫助學生強化數學抽象的意識，提高數學建模的能力，形成科學探究的自覺，培養嚴謹推理的習慣和提升問題解決的能力。

高中數學；研究性學習；學科素養

數學教學的價值追求不僅是數學知識與方法的傳授，更重要的是數學素養的培養。數學素養是指數學學科的“四基”“四能”與“基本思維形式和思維方法”。“四基”指基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗；“四能”指發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力；“基本思維形式和思維方法”指演繹和歸納的“雙向思維”［1］。數學核心素養通常包含數學抽象、數學建模、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析等幾個方面。數學研究性學習提倡用類似科學研究的方式探究并獲取和應用知識，它有利于學生在掌握數學知識的同時，學習和感受數學知識中凝聚的數學智慧，形成初步的數學學科素養。

本文以2015年12月舉行的江蘇省高中數學青年教師優秀課觀摩與評比活動中一些課例的精彩片段為例，說明將研究性學習活動融入數學課堂教學之中以引領學生數學學科素養形成的具體策略。

一、研究性學習融入問題情境的創設之中，強化數學抽象的意識

現代數學的發展表明，數學的研究源于對現實世界的抽象，通過基于抽象結構的符號運算、形式推理、一般結論等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系與規律。數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。數學抽象是數學的基本思想，數學抽象的素養是形成理性思維的重要基礎，它貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中。在數學教學活動中，教師將研究性學習滲透于問題情境的創設之中，將有利于數學抽象意識的強化。

【案例1】“導數在研究函數中的應用——單調性”的問題情境創設（江蘇省南通中學秦霞執教）

“導數在研究函數中的應用——單調性”的教學難點是引導學生發現導數與函數單調性之間的聯系，而這兩個概念都是非常抽象的，學生很難直接感知。秦霞老師在問題情境創設階段，利用“生活中汽車燈光的指向與上下坡之間的聯系”這一常見問題，有效地完成了兩次抽象。

第一次抽象：引導學生發現道路可以抽象成函數的圖象，燈光可以抽象為切線，這樣問題就轉化為切線斜率正負與曲線上升下降的聯系。

第二次抽象：適當建系后，將曲線看做是函數y=f（x）上的一段圖象，那么切線斜率即為函數在該點處的導數，順勢猜想結論，感知導數正負與函數單調性之間的聯系，從而輕松高效地引入課題，成功激發了學生的求知欲，也體現了“生活中處處有數學”的教學理念。抽象過程如下圖1所示。

二、研究性學習融入數學模型的建構之中，提高數學建模的能力

圖1

數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的基本形式。數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，是推動數學發展的外部驅動力。數學建模突出了學生系統地運用數學知識解決實際問題的過程，幫助學生逐步積累數學活動經驗，培養學生應用能力和創新意識。在數學教學活動中，加強數學建模核心素養的培養，有利于學生養成用數學的眼光觀察現實世界的習慣，有利于學生發展用數學的思維分析實際問題的能力，有利于學生形成用數學的語言表達實際問題的能力。數學模型的建構過程，就是一種研究性學習的過程。

【案例2】“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”的數學建模過程（南京師范大學附屬中學丁菁執教）

蘇教版教材在編寫“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”這部分內容時，通過物理中的“簡諧運動”進行過渡。而“簡諧運動”在高一物理學習中尚未涉及，故這一情境無疑成了一種空中樓閣。丁菁老師在教授這部分內容時，沒有采用這種虛擬模型，而是將建模過程設計成如下兩個環環相扣的研究性學習過程。

圖1

圖2

環節1：如圖2，摩天輪的半徑為Am（A＞0），摩天輪逆時針做勻速轉動，角速度為ωrad/min（ω＞0），如果當摩天輪上點P從圖2中點P0（P0在x軸正半軸上）處開始計算時間。請在圖2所示的坐標系中，確定時刻xmin時點P的縱坐標y。

環節2：在上述問題中，如果當摩天輪上點P從圖3中點Po處開始計算時間。請在圖3所示的坐標系中，確定時刻xmin時點P的縱坐標y。

以上處理策略讓學生真實地經歷了數學建模的過程，感受到構建數學模型的必要性。同時，也讓學生領悟到函數y=Asin（ωx+φ）與y=Asinωx的內在聯系，如若將問題進一步特殊化，讓A=ω=1，則將數學模型轉化為y=sinx。這種由未知到已知，由一般到特殊的轉化的策略正是后續學習的基礎。

三、研究性學習融入研究方法的探求之中，形成科學探究的自覺

“研究性學習是指學生在教師指導下，以類似科學研究的方式去獲取知識和應用知識的學習方式”［2］。研究性學習區別于接受式學習的一個重要標志是具有較明晰的學習計劃，具有為完成這一計劃而擬定的研究方法，當然，這種計劃與方法需要在執行的過程中根據實際情況而調整。為了形成科學有效的研究方案，教師要善于運用“頭腦風暴”，集思廣益，讓學生對問題進行全面系統的分析，或將問題進行分解，使其更具體、更清晰，進而抓住主要矛盾，找到解決問題的關鍵點，確定問題的研究方向。長期這樣注重方法形成的教學，有利于學生形成科學探究的自覺，達到“授人以魚不如授人以漁”的目的。

【案例3】“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”的研究方法探求實錄（江蘇省南通中學張勤執教）

張勤老師在研究目標確定以后，順勢提出了這樣的問題：如何在函數y=sinx圖象的基礎上研究函數y=Asin（ωx+φ）的圖象？請結合以往經驗給出研究方案。這種先行組織者策略，為學生自主探究提供了廣闊的空間。學生自主提出了特殊到一般的策略，提出了“五點作圖”的方案，提出了通過圖象的變化規律來研究的方案，提出了“分而治之，各個擊破”的設想。教師并未止于學生的設想，而是進一步追問學生產生這些想法的學習基礎，與以往的研究二次函數、指數函數和對數函數的方法進行比較，強化學生科學探究的意識，這無疑對學生良好數學素養的養成是極為有利的。

四、研究性學習融入數學本質的揭示之中，培養嚴謹推理的習慣

著名數學教育家弗賴登塔爾指出：從教學認識過程的任務來看，其根本目的不在于僅僅獲得和驗證真知，更主要的是為了在一定知識經驗之上構建學生主體的新的認知活動結構和實踐行為能力，學生主體在認知過程中的建構活動本身即是一種創造的過程。通過研究性學習完成知識的建構、本質的揭示的過程，需要通過嚴謹的邏輯推理去完成。

【案例4】“導數在研究函數中的應用——單調性”的數學建構過程（江蘇省南通中學秦霞執教）

在探究導數與函數單調性之間的聯系時，如何使研究的問題既具體直觀又嚴謹規范，這是本節課教學的一個難點。秦霞老師在問題情境直觀感知、抽象猜想的基礎上，根據學生的認知規律讓學生自主舉例，獨立驗證，感悟猜想的合理性。思維活動并未止于這種直觀感悟，此時教師又從“數”的角度，借助圖4所示的邏輯鏈，進一步引導學生抓住導數和單調性的定義之間的聯系來提煉一般性的結論。整個研究過程從感知，到驗證，再到說理，既直觀又嚴謹，體現了數學研究性學習的方法性和嚴謹性。理性分析過程如圖4。

五、研究性學習融入數學應用的過程之中，提升問題解決的能力

“研究性學習是學生在教師指導下，從自然現象、社會現象和自然生活中選擇和確定研究專題，并在研究過程中主動地獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動”［3］。培養學生發現問題、提出問題，從而解決問題的能力是研究性學習的基本目標；在應用知識解決數學問題的過程中，進一步鞏固數學知識、感悟數學方法、全方位提升數學素養，則是研究性學習的基本任務。

【案例5】“導數在研究函數中的應用——單調性”的數學應用過程（江蘇省鹽城中學楊志明執教）

楊志明老師在得出導數與函數單調性的關系之后，并沒有停留在簡單套用結論解決基本問題的層面，而是立足簡單三次函數的單調性，將數學應用過程變成了一個研究性學習過程，通過不斷追問的方式步步深入，從數和形兩個角度深入研究導函數與原函數之間的關系。具體過程如下：

例題：確定函數f（x）=2x3-6x2+7在哪些區間上是增函數。（師生合作解決本題，鞏固導數法求函數的單調性）

追問1：根據剛才研究的單調性，你能否作出函數f（x）=2x3-6x2+7的示意圖？（教師在學生作圖的基礎上，通過計算機作圖驗證）

追問2：剛才我們通過導數求出了函數的單調區間，進一步畫出了函數的示意圖。反之，如果我們知道了函數的圖象，能否直接畫出導函數的示意圖呢？

追問3：通過以上研究，我們知道了如果在某區間上f′（x）＞0，那么f（x）為該區間上的增函數。反之，如果f（x）在某區間上單調遞增，那么在該區間上每一點都有f′（x）＞0成立嗎？（學生遇到一定困難，教師提示結合函數f（x）=x3進行判斷）

追問4：我們本節課解決的f（x）=ex-x和三次函數的單調性，都可以看成是基本的初等函數進行四則運算得到的，下面請同學們參照這樣的方法自己構造函數，并嘗試用導數判斷出單調性。

綜上所述，將研究性學習融入數學課堂教學，讓學生親歷知識產生與形成的研究過程，使知識發現、方法習得與素養形成有機結合與高度統一，是數學教育永恒的追求。

［1］岳輝，和學新.學科素養研究的進展、問題及展望［J］.教育科學研究，2016（01）.

［2］張肇豐.試論研究性學習［J］.課程·教材·教法，2000（06）.

［3］鐘啟泉，等.為了中華民族復興為了每位學生的發展［M］.上海：華東師范大學出版社，2001.

圖4

G633.6

A

1005-6009（2016）28-0016-03

曾榮，江蘇省南通市教育科學研究中心（江蘇南通，226000）教研員，江蘇省特級教師，正高級教師。