基于數學建模的運籌學案例教學

徐鳳

【摘要】運籌學是一門實踐性很強的重要基礎課程，然而目前運籌學教學在教學理念、觀點以及具體的教學方法和手段上仍存在一些問題。文章以數學建模分析為基礎，采用案例教學法，提出運籌學案例教學具體實施方案，從而激發學生學習興趣，增強學生的數學應用意識，培養學生的數學思維和建模能力。

【關鍵詞】運籌學 案例教學 數學建模

“運籌學”課程是數學專業和管理類專業的核心課程之一。該課程教學的主要任務是使學生理解運籌學中優化決策的思想。在掌握基本的數學理論的基礎上，需要具備建模和計算的能力，采用案例教學法。數學建模是運籌學中不可或缺的一部分，課程教學中應當突出以數學建模分析為基礎的案例教學法。

一、運籌學中的數學建模

數學建模是通過對具有實際背景的問題的分析，了解研究對象的內在規律。然后用數學的語言和方法把這種規律描述出來。并對其進行求解運算得出結果，為決策者提供量化決策依據的過程。如今數學建模在各行各業中得到了廣泛的應用。在當代數學中的地位也日益突現。隨著計算機技術的發展，產生了更多的數學方法用于解決實際問題，一般只需給出問題的數值解或近似最優解便達到了應用的目的。運籌學是研究解決實際問題的數學方法的一門應用科學運籌學在解決實際問題的過程中形成了自己的工作步驟： （1）提出和形成問題； （2 ）建立模型；（3）求解；（4）解的檢驗；（5 ）解的控制；（6 ）解的實施。要解決問題，首先要通過分析引入決策變量，然后構建目標函數和約束條件，建立相應的數學模型。所以，建立模型是運籌學解決問題過程中關鍵的一步，數學模型從研究對象上看，可分為確定性模型和隨機性模型：從決策變量之間的關系看，可分為線性模型和非線性模型。以及靜態模型和動態模型。運籌學中針對不同類型的模型提出了相應的算法，例如求解線性規劃的單純形法，求解最短路問題的Dijkstra算法等。隨著運籌學的發展，有些分支逐步發展起來，其中很多理論和方法已廣泛應用于包括生產管理、工程技術、經濟分析、軍事作戰等領域。

二、運籌學案例教學

運籌學具有較強應用性及研究內容的多樣性、交叉性等特點。案例教學是比較適合它的一種教學方法。案例教學是一種以學生為中心對現實問題和某一特定事實進行交互式探索的過程。進行案例教學，首先要建立相應的案例庫。通過選擇具有代表性的案例，激發學生的興趣，引導學生積極思考，案例教學的實施過程中，始終要保持以學生為主體，使得學生有動力發揮他們的主觀能動性去思考問題，給出的案例背景要易于理解，讓學生經過思考討論后能夠建立數學模型。要注重學生計算機應用能力的培養。給學生利用計算機進行求解的時間條件和硬件條件。教學中發現在建立問題的數學模型之后，大多數學生都希望立即進行求解，以驗證自己建立的模型是否能得到合理的結果。這就達到了以數學建模分析為基礎，激發學生求知欲的目的。學生會在求解中發現問題，從而進一步思考。此時老師要給予適當的引導，使其最終能夠得到最為合理的結果在運籌學案例教學實施過程中，計算機輔助教學是一個重要的環節，運籌學課程是數學實驗或數學軟件課程的后續課程。數學實驗一般只學習應用一種軟件，如Matlab或Mthematica。在本課程教學中應當介紹其它的一些軟件的應用。如Excel中的規劃求解，Li ngo等這幾種軟件具有易于編程的特點。

運籌學包含規劃論、網絡優化、排隊論、存儲論等諸多相對獨立的內容，受課時限制不可能將所有內容納入案例教學范圍，需要結合學生的知識背景及專業方向確定開展一體化教學的內容。以安徽財經大學的金融數學專業為例，授課對象所在的學校以財經類專業背景比較突出，學生一般投資的基礎知識，且很多學生將面向金融行業就業，因此選擇投資決策問題作為案例。開發方案優選問題是在既定投資、成本、產能等約束條件下，以利潤、產量或采收率等最大為決策目標的規劃問題，可在規劃理論學習之后開展。案例選定之后，老師的任務是詳細講解案例材料，引導學生積極思考，引出需要解決的現實決策問題，激發學生分析并解決問題的興趣和動機；學生的任務是認真傾聽老師講解，獨立思考，可針對疑惑提出問題由老師來解答，此階段尚未劃分小組，不設置討論環節以免個體想法過早受到干擾。

分組討論是最廣泛采用的案例教學形式，然而本文的一體化教學模式除了討論之外，數學建模和上機實驗環節也都需要以小組為單位完成，合理劃分小組對教學質量至關重要。可以考慮學生知識背景、學習態度、組織能力三方面因素來劃分小組成員：由于學生選課方案和知識結構存在差異，每個小組內要分配至少1名具有案例材料相關知識背景的學生；將學習態度認真和不認真的學生區分并交錯分組，否則態度不認真的學生劃分到一組很可能出現不能完成教學任務、無法評定成績的局面；每組分配1名組織協調能力和責任心強的學生擔任組長。另外，小組成員數量要合理，具體人數可結合工作量的大小和難度決定，根據教學經驗每組5～6人為宜，人數過多不便管理且搭便車現象難以避免，人數過少不能營造團隊研討氛圍且小組成員負擔較重。分組之后以小組為單位開展組內研討，小組成員自行設定建模的假設條件和具體決策目標，并建立初步的數學模型。小組研討過程中教師要控制秩序，禁止小組之間相互交流想法，以免建模結果趨同。建立初步模型之后小組成員要參照建模要求進行自查，盡可能杜絕形式上的低級錯誤，自查之后再將模型交由老師進一步檢查，以確保數學模型上機求解之前沒有明顯的邏輯錯誤，能夠順利通過上機計算。

三、結束語

教學過程中通過案例分析培養學生數學建模能力，在建模過程中激發學生學習興趣，取得了較好的效果。筆者體會，“運籌學”課程教學中以數學建模分析為基礎采用案例教學法，可以加強學生的數學應用意識，培養學生的數學思維和建模能力，增強學生學習的興趣和創新能力，培養學生寫作能力及團隊協作能力。

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項目來源：安徽財經大學教研項目（acjyyb2015107）.