動點問題與函數圖象

左加亭

動點問題是最近幾年中考的一個熱點題型，所謂“動點問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線上運動的一類開放性題目.

解決函數圖象中的動點問題時，首先要抓住動點的瞬間狀態，或者相對靜止時的狀態，再尋找它們的數量關系，以及幾何圖形的相對位置關系，做到動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題.

例1 （2015黔南州卷）如圖1，在矩形MNPQ中，動點R從點N出發，沿N→P→Q→M方向運動至點M處停止.設點R運動的路程為x，△MNR的面積為y，如果y關于x的函數圖象如圖2所示，則當x=9時，點R應運動到（ ）

A.M處 B.N處 C.P處 D.Q處

精析 根據三角形的面積變化情況，可得R在PQ上時，三角形面積不變，可得答案.

解答 點R在NP上時，三角形面積增加，點R在PQ上時，三角形面積不變，點R在QM上時，三角形面積變小，點R在Q處，三角形面積開始變小.故選D.

點撥 本題考查了動點函數圖象，利用三角形面積的變化確定R的位置是解題的 關鍵.

例2 （2015荊州卷）如下圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點P從B點出發以3cm/s的速度沿著邊BC-CD-DA運動，到達A點停止運動；另一動點Q同時從B點出發，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達A點停止運動.設P點運動時間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），則y關于x的函數圖象是（ ）

精析 首先根據正方形的邊長與動點P、Q的速度可知動點Q始終在AB邊上，而動點P可以在BC邊、CD邊、AD邊上，再分三種情況進行討論：①0≤x≤1；②1

解答 由題意可得BQ=x.①0≤x≤1時，P點在BC邊上，BP=3x，則△BPQ的面積為BP·BQ，則y=·3x·x=x2，則A選項錯誤；②1

點撥 本題考查動點問題的函數圖象，利用數形結合、分類討論是解題的關鍵.

例3 （2015本溪卷）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點P是斜邊AB的中點，點M從點C向點A勻速運動，點N從點B向點C勻速運動，已知兩點同時出發，同時到達終點，連接PM、PN、MN，在整個運動過程中，△PMN的面積S與運動時間t的函數關系圖象大致是（ ）

精析 首先連接CP，根據點P是斜邊AB的中點，可得S△ACP=S△BCP=S△ABC；然后分別求出出發時，點N到達BC的中點、點M也到達AC的中點時，結束時，△PMN的面積S的大小，即可推得△PMN的面積大小變化情況是：先減小后增大，而且是以拋物線的方式變化，據此判斷出△PMN的面積S與運動時間t的函數關系圖象大致是哪個即可.

解答 連接CP，如下圖：

∵ 點P是斜邊AB的中點，

∴ S△ACP=S△BCP=S△ABC，出發時，S△PMN=S△BCP=S△ACP.

∵ 兩點同時出發，同時到達終點，

∴ 點N到達BC的中點時，點M也到達AC的中點，

∴ 此時S△PMN=S△ABC.

結束時，S△PMN=S△ACP=S△ABC.

故△MPQ的面積大小變化情況是：先減小后增大，而且是以拋物線的方式變化，

∴△PMN的面積S與運動時間t的函數關系圖象大致是：

故選A.

點撥 此題主要考查兩個動點問題與函數圖象，函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

（編輯 孫世奇）