函數值域的誤解與分析

張錫斌

摘要：學生在解題中出錯是學習活動的必然現象，老師對錯例的處理是解題教學的正常業務，并且錯例剖析具有正例示范所不可替代的作用，兩者相輔相成構成完整的解題教學。

關鍵字：函數，值域，案例

以下是我在教學中發現的有關"求函數的值域"的例題，拿出來供大家研討。

一、出示例題

上例是求函數的值域的一種較常用的方法、即"配湊法"，學生易于掌握，但教學中發現有學生在解答其它例題時也采用此法，如：

二、案例分析

上述學生對例2、例3的誤解即反映出學生在解題教學的積極一面，又反映出學生對知識的系統性與思維的全面性的不足，下面作一扼要的分析。

對學生的誤解的合理之處，其一是反映出學生已掌握"配湊法"求函數的值域的要點，另一就是學生具備了舉一反三的思想。

不足之處就是忽視知識的系統性、嚴密性。同時，習慣性思維在腦海中也根深蒂固，從而導致知識（或公式）的生般硬套。細推敲，可以從以下幾方面分析：

①知識性錯誤：表現在對函數性質的把握上，例一中分母X-1其值域為R，其性質就只需考慮X-1≠0。而例2中涉及指數函數y=a （0﹤a ≠1） 的值域問題，不僅僅是只考慮分母不為0，而且要考慮a ﹥0 這一隱含條件，同時例3中分母x +x-1也需考慮其最小值問題，而學生籠統只要求分母不為0，顯然屬于思維不全面。

②邏輯性錯誤：由于例1的存在，故讓很多學生錯誤的認為，如例2、例3類型的題目均可用"配湊法"來解題，這種邏輯思維顯然是錯誤的，很多問題是要求具體問題具體分析。

③心理性錯誤：表現在人的思維定勢及經驗主義。往往很多學生在老師講解某題的特殊解法后，學生把這種解法掌握后，所以在做其它題目不去考慮其它題目的具體特點，往往憑經驗或憑已有固定的思路把這些題目和老師講的例題等同其來，這完全是心理作用在作怪。

④缺乏拓展思維：學生應認識到有很多數學問題，解法不唯一，應提倡學生對同一題目思考多種解法，若多種解法的答案不同，便可自己發現問題，進而進一步思考，從而去偽存真。同時眾多的解法中，也宜來用更為簡單較好的。如上述例2，事實上也可用反解法解之：

此解法顯然比前面的解法要簡潔。

以上事實說明，學生的學習過程，是以自身已有的知識和經驗為基礎的活動，其"對而不全"的解法，正是學生對很多數學問題中暴露出的通病，我們即要賞識這種建構活動的合理性，又需在教研活動中完善它。