選修4系列考點預測

童其林

新課標數學全國一卷一直是河南、河北、山西高考使用的數學試卷，2015年加入了考試大省——江西，2016年高考又增加使用新課標數學一卷的省份：廣東、湖北、陜西、福建、安徽.如此多的省份參加全國一卷的考試，作為使用此卷的老師和考生，就很有必要研究新課程全國卷1的命題特點，打有準備之仗，比如全國一卷比較重視課本內容的融會貫通，中檔題占的比重較大，題型較為穩定，等等.本文主要對選修4的考情進行簡要分析，重點對選修4的考點進行預測，希望考生對此內容的復習備考有幫助.

一、考情分析

全國數學一卷后面的三道選做題，即選修4～1幾何證明，選修4～4坐標系與參數方程，選修4～5不等式選講，考生只要做一道就可以了，滿分10分.一般每道題都有2問，難度中等或偏下（一般來說，比廣東省自主命題此內容時的題目難一些），是考生的拿分題.雖然選做題在整份試卷中排在最后，但一般要先于20，21完成，確保得滿分.拿下了這個易得分的問題后，再攻克難題，可為自己贏得更好的成績奠定基礎，樹立信心.

二、考綱要求

1. 幾何證明選講

（1）理解相似三角形的定義與性質，了解平行截割定理.

（2）會證明和應用以下定理：

①直角三角形射影定理；

②圓周角定理；

③圓的切線判定定理與性質定理；

④相交弦定理；

⑤圓內接四邊形的性質定理與判定定理；

⑥切割線定理.

2. 坐標系與參數方程

（1）了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.

（2）了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.

（3）能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程.

（4）了解參數方程，了解參數的意義.

（5）能選擇適當的參數寫出直線、圓和橢圓的參數方程.

3. 不等式選講

（1）理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：

①|a+b|≤|a|+|b|（a，b∈R）；

②|a-b|≤|a-c|+|c-b|（a，b∈R）.

（2）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：

|ax+b|≤c；|ax+b|≥c；|x-c|+|x-b|≥a.

（3）通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.

三、考點預測

（一）幾何證明選講預測

熱點一：理解相似三角形的定義與性質，了解平行截割定理

例 1. 如圖，AB是圓O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交圓O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F.

（Ⅰ）求證：DE是圓O的切線；

（Ⅱ）若=，求的值.

解析：（Ⅰ）如圖，連接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC，∴OD∥AE.

又∵AE⊥DE，∴OD⊥DE. 又OD為半徑，∴DE是圓O的切線.

點評：由于平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，所以（Ⅱ）也可以從OD∥AE直接得到. 值得注意的是，相似三角形的定義與性質是幾何證明選講考查的重點之一.

熱點二：會證明和應用直角三角形射影定理、切割線定理

例2. 如圖，已知⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB是Rt△ABC的斜邊，點P為AB的延長線上一點，且PC與⊙O相切，過點C作AB的垂線，垂足為D.

（Ⅰ）求證：OC2=OD·OP；

（Ⅱ）若PA=9，PC=3，求線段CD的長.

解析：（Ⅰ）證明：因為PC與⊙O相切，所以OC⊥PC，即∠OCP=90°=∠CDO，又∠COD=∠POC，∴△COD∽△POC，∴OC2=OD·OP.

（Ⅱ）由切割線定理，得PC2=PA·PB，解得PB=1.

所以AB=8，即Rt△ABC的外接圓半徑r=4，因為PC與⊙O相切，所以OC⊥PC，在Rt△POC中，由面積法得OC·PC=PO·CD，解得CD=.

【點評】問題（Ⅰ）即要重新證明直角三角形射影定理，其實考綱要求的六個定理都要會證明.本題考查的是圓的切線的性質，相似三角形的判斷，切割線定理的應用.

例3. 如圖，P為⊙O外一點，PC交⊙O于F，C，PA切⊙O于A，B為線段PA的中點，BC交⊙O于D，線段PD的延長線與⊙O交于E，連接FE. 求證：

（Ⅰ）△PBD∽△CBP；

（Ⅱ）AP∥FE.

證明：（Ⅰ）如圖，∵PA切⊙O于A，BA2=BD·BC，∵B為線段PA的中點，∴PB=BA，∴PB2=BD·BC，∵∠PBD=∠CBP，∴△PBD∽△CBP.

（Ⅱ）∵△PBD∽△CBP，∴∠BPD=∠C，∵∠C=∠E，∴∠BPD=∠E ，∴AP∥FE.

熱點三：會證明和應用圓的切線判定定理與性質定理

例4. 如圖，已知C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G.

（Ⅰ）求證：F是BD的中點；

（Ⅱ）求證：CG是⊙O的切線.

證明：（Ⅰ）∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，∵HE=EC，∴BF=FD，∴ F是BD中點.

（Ⅱ）如圖，連接CB、OC，

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.

在直角三角形DCB中，∵F是BD中點，CF是斜邊BD的中線，所以CF=BD=BF，∴∠FCB=∠CBF，又∠CBF=∠CAO=∠ACO，∴∠OCF=∠OCB+∠BCF=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，

∴CG是⊙O的切線.

點評：注意使用已得到的結論，用到的知識點為：兩三角形相似，對應線段成比例；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 解答此題還要注意學會看圖，有些圖形旋轉之后，元素之間的關系是不變的，但可能增加了讀圖的難度.

熱點四：會證明和應用圓內接四邊形的性質定理與判定定理

例5. 如圖，AE是圓O的切線，A是切點，AD⊥OE于D，割線EC交圓O于B、C兩點.

（Ⅰ）證明：O、D、B、C四點共圓；

（Ⅱ）設∠DBC=50°，∠OBC=30°，求∠OEC的大小.

解析：（Ⅰ）證明：連接OA、OC，則OA⊥EA.由射影定理得EA2=ED·EO.

由切割線定理得EA2=EB·EC，

故ED·EO=EB·EC.

又∠OEC=∠OEC，所以△BDE∽△OCE，

所以∠EDB=∠OCE.

因此O，D，B，C四點共圓.

（2）因為∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，結合（Ⅰ）得∠OEC=180°-∠OCB-∠COE=180°-∠OBC-∠DBE=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）=∠DBC-∠OBC=20°.

點評：（Ⅰ）由EA、EC分別為切線和割線，可利用切割線定理，由EA為切線，AD⊥EO，在Rt△EOA中可利用射影定理，這樣可得到邊的比例關系式.要證O、D、B、C四點共圓，只需證明對角互補或外角等于內對角，結合條件與結論可考慮證明三角形相似，即△BDE∽△OCE.

（Ⅱ）給出∠DBC與∠OBC的大小，欲求∠OEC的大小，由外角定理∠OEC=∠DBC-∠BDE，由OB=OC知∠OBC=∠OCB，溝通兩者的橋梁是（Ⅰ）的結論，∠BDE=∠OCB，于是獲解.實際上本小題即證明∠OEC=∠DBC-∠OBC.

熱點五：會證明和應用圓周角定理、相交弦定理

例6. 如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E，證明：

（Ⅰ）BE=EC；

（Ⅱ）AD·DE=2PB2.

證明：（Ⅰ）連接AB，AC. 由題設知PA=PD，故∠PAD=∠PDA.

因為∠PDA=∠DAC+∠DCA，∠PAD=∠BAD+∠PAB，∠DCA=∠PAB，所以∠DAC=∠BAD，因此BE=EC.

（Ⅱ）由切割線定理得PA2=PB·PC.

因為PA=PD=DC，所以PD2=（PD-BD）·2PD，∴PD=2BD，∴DC=2PB，BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC，

所以AD·DE=2PB2.

點評：解答幾何證明問題，應保持清醒的頭腦，不斷追問：已知是什么，未知是什么，用什么溝通.

【方法點撥】這一部分主要命題方式是將圓的有關角、比例線段或圓內接四邊形和三角形相似結合，求角，求線段長，證明元素之間的關系等，注意依據條件和結論選擇思維方向，如：①給出切線時，常作輔助線是作過切點的半徑，考慮方向是切割線定理，直角三角形射影定理、弦切角與圓周角的互化等；②給出平行線時，主要考慮角的關系及三角形相似；③有關圓的問題，求線段長時，常考慮相交弦定理、切割線定理、射影定理、垂徑定理；④證明比例線段，主要通過三角形相似.

（二）坐標系與參數方程預測

熱點一：了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況

例7. 已知曲線C的極坐標方程是？籽=1，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為x=1+，y=2+t，（t為參數）.

（Ⅰ）寫出直線l與曲線C的直角坐標方程；

熱點二：極坐標系下點坐標、曲線方程互化及性質處理，直角坐標系下曲線參數方程互化及性質處理

例8.（Ⅰ）在極坐標系中，P是曲線ρ=2sinθ上的動點，Q是曲線ρ=1上的動點，試求|PQ|的最大值；

（Ⅱ）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為x=2+2t，y=1-t（t為參數），橢圓C的參數方程為x=2cosθ，y=sinθ（θ為參數），試在橢圓C上求一點P，使得點P到直線l的距離最小.

解析：（Ⅰ）ρ=2sinθ化為直角坐標方程為x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=12.

ρ=1化為直角坐標方程為x2+y2=1，兩圓圓心距為1，兩圓半徑均為1，所以PQ的最大值為1+2×1=3.

熱點三：能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程

例9. 在直角坐標系xOy中，圓C1：x2+y2=9，圓C2：（x-3）2+y2 = 9.

（Ⅰ）在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓C1，C2的極坐標方程，并求出圓C1，C2的交點坐標（用極坐標表示）；

（Ⅱ）求圓C1與C2的公共弦的參數方程.

2. 求簡單曲線的極坐標方程的方法

①設點M（ρ，θ）為曲線上任意一點，由已知條件，構造出三角形，利用正弦定理求解OM與θ的關系；

②先求出曲線的直角坐標方程，再利用極坐標與直角坐標的變換公式，把直角坐標方程化為極坐標方程.

3. 求曲線參數方程的一般步驟

第一步，畫出軌跡草圖，設M（x，y）是軌跡上任意一點的坐標.畫圖時要注意根據幾何條件選擇點的位置，以利于發現變量之間的關系.

第二步，選擇適當的參數，參數的選擇要考慮以下兩點：①曲線上每一點的坐標x，y與參數的關系比較明顯，容易列出方程；②x，y的值可以由參數唯一確定.

第三步，根據已知條件、圖形的幾何性質、問題的物理意義等，建立點的坐標與參數的函數關系式，證明可以省略.

4. 參數方程與普通方程的互化

（1）參數方程化為普通方程——消去參數

消去參數的常用方法有：①先由一個方程求出參數的表達式（用直角坐標變量表示），再代入另一個方程，即代入法；②利用三角函數中的恒等式消去參數，運用最多的是sin2α+cos2α=1，即三角公式法；③整體觀察，對兩式進行四則運算（運用較多的是兩式整體相除），或先分離參數再運算.總的來說，消參無定法，只要能消參，方法可靈活多樣，多法齊用.

（2）普通方程化為參數方程——選參數

一般來說，選擇參數時應考慮以下兩點：①曲線上每一點的坐標（x，y）都能由參數取某一值唯一地確定出來；②參數與x，y的相互關系比較明顯，容易列出方程.參數的選取應根據具體條件來考慮.可以是時間，也可以是線段的長度、方位角、旋轉角，動直線的斜率、傾斜角、截距，動點的坐標等.

在二者互化的過程中，要注意等價性，注意其中曲線上的點的橫、縱坐標的取值范圍是否因為轉化而發生改變，如果發生改變則它們所表示的曲線就不是同一曲線.

（三）不等式選講預測

【方法點撥】1. 解絕對值不等式要掌握去絕對值符號的方法，必要時運用分類討論的思想，有時也可利用絕對值的幾何意義解題.去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等.這幾種方法應用時各有側重，在解只含有一個絕對值的不等式時，用公式法較為簡便；但是若不等式含有多個絕對值時，則應采用分段討論法；應用平方法時，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運用.因此，在去絕對值符號時，用何種方法須視具體情況而定.

2. 在對不等式證明題進行分析，尋找解（證）題的途徑時，要提倡綜合法和分析法同時使用，如同打山洞一樣，由兩頭向中間掘進，這樣可以縮短條件與結論的距離，是數學解題分析中最有效的方法之一.

3. 作差比較法一般適用于式子為多項式、對數式、三角式結構；作商比較法一般適用于式子為乘積、冪結構.

4. 運用“f（x）≤a？圳f（x）max≤a，f（x）≥a？圳f（x）min≥a”可解決恒成立問題中的參數范圍問題.

5. 注意區分a

責任編輯 徐國堅