空間二次代數曲面的最優有理參數化

摘 要：利用三角形網格均勻面積參數化的思想，提出了有理參數曲面上曲面片的最優參數化評判標準。根據構造具有幾何意義的二次代數曲面有理參數化方法，確定了二次代數曲面上指定曲面片的最優或逼近最優的有理參數化方程。最后通過實例對該方法與傳統方法得到的參數化結果進行了對比。

關鍵詞：代數曲面；參數曲面；均勻面積參數化；最優參數化

引言

曲面表示形式主要有參數曲面和代數曲面兩種，它們各有其內在的優點，能否將兩種形式的曲面進行有效的轉換，一直是CAGD的重要研究課題之一[1-3]。從數學意義上講，二次代數曲面的有理參數化問題已完全解決了，但還遠不能滿足工程制造、醫學研究等領域實際應用的需求。

目前，傳統的代數曲面參數化算法有很好的顯示效果，根據旋轉角度的變化構造的曲面圖形具有很好的視覺性和美觀性。但是很難做到在參數均勻選取時，能有均勻的參數化效果。三角形網格曲面參數化[4-5]一直是曲面造型領域的熱點問題，但通過三角網格對曲面進行參數化，它只是對物體形狀的逼近，且需要通過3D掃描技術獲得曲面表面的所有網格點的幾何信息，然后通過拓撲重建得到三角網格的參數化。這種方法的缺點是需要采集曲面上的所有點并存儲到計算機內，并且這種參數化得到的網格也不是均勻的。

文章利用三角形網格均勻面積參數化的思想，提出了衡量有理參數曲面上曲面片的最優參數化評判標準。提出了具有幾何意義的二次代數曲面有理參數化的構造方法，且通過該方法，得到了二次代數曲面上任意曲面片的最優或逼近最優的有理參數化方程。大量實例表明，文章方法計算量小，效率高，效果好。

1 問題描述

設f（x，y，z）是關于x，y，z的三元二次多項式，方程f（x，y，z）=0定義了一個二次代數曲面C。S是曲面C上的三角形曲面片，其三個角點為Vi，j，k，平面Hi，j，k分別經過角點Vj和Vk，Vi和Vk，Vj和Vi，邊界線Li，j，k是平面Hi，j，k與二次曲面C的交線，三個角點Vi，j，k所在平面為H，i，j，k=1，2，3，且互不相同。如圖1所示。

事實上，在確定三角曲面片S的三個角點的參數為（0，0），（0，1），（1，0）后， 當M點遍歷C-S時，就得到了對應于S的所有二次有理參數方程。因此，上述參數化方法實際上確定了S的二次有理參數方程的幾何意義。特別，當平面H1，H2，H3的交點恰好在曲面C上，并將其取為M時，曲面片S所對應的參數范圍為以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的直角三角形；當平面H1，H2，H3的交點在曲面C外，此時，曲面片S所對應的參數域曲邊三角形是只有一邊為曲邊的曲邊三角形。

4 最優參數化

根據上節二次代數曲面有理參數方程的構造方法，若要得到曲面S的最優有理參數化方程，只需找到點M，使其對應的？祝（P（u，v））最小。首先找出曲面片S上的三條關鍵曲線，利用文獻[6]和文章代數曲線的參數化算法，得到最優時對應的點Mi（i=1，2，3）；然后利用Mi構造曲面片S的最優參數化方程。基本步驟如下：

（1）記平面Hi，j，k兩兩相交的交線分別為gij，gjk，gik，Vi，j，k兩兩相連的中點分別為Vij，Vjk，Vik，則過gij和Vij，gik和Vjk，gik和Vik的平面為Ei，j，k，稱Ei，j，k與S的交線di，j，k為曲面片S的三條關鍵曲線。求交線di，j，k的最優有理參數化方程，找到對應的最優參數化點Mi，j，k，其中i，j，k=1，2，3且互不相同。（2）記點Mi，j，k所構成的三角形的重心為Q0，記角點Vi，j，k所構成的三角形的重心記為V0，連接V0Q0，與曲面C交于兩點，則在曲面C-S上的一點即為曲面片S的最優參數化點M。（3）將M帶入公式（1）（2）（3），得到的就是曲面片S的最優參數化方程。

5 實例分析

6 結束語

文章提出了衡量空間代數曲面最優有理參數化的評判標準。理論上，最優有理參數化方程可求，但是計算量非常大。文章根據二次代數曲面有理參數方程的幾何意義，構造出了二次代數曲面上任一三角曲面片的十分接近于最優的有理參數化方程，所用計算量小，效率高。但由于曲面本身的性質決定，其參數域范圍是一個由三條二次曲線組成曲邊三角形，在使用時會帶來不便。因此，在實際應用中，可以選擇用平面Hi，j，k與曲面的交點所對應的參數域（只有一邊為曲邊的曲邊三角形），來尋找最優。

參考文獻

[1]孟祥旭，徐延寧.參數化設計研究[J].計算機輔助設計與圖形學報，2002（11）：1086-1090.

[2]白曉亮，張樹生，劉軍.基于網格簡化的參數化方法[J].計算機輔助設計與圖形學學報，2004，16（12）：1743-1749.

[3]王相海.一類三次隱式代數曲面參數化研究[J].計算機研究與發展，2003，40（6）：821-824.

[4]厲玉蓉，張彩明.三角網格上的代數曲面重建[J].計算機輔助設計與圖形學報，2007，19（4）：460-463.

[5]姚建強，何援軍.三角網格曲面的球面參數化[J].工程圖學學報，2010，4.

[6]厲玉蓉，胡芳剛.平面二次代數曲線的最優參數化[J].圖學學報，2012，33（2）：49-52.

作者簡介：侯倩（1988-），女，碩士，主要研究方向為計算機圖形學。