一分思考，一分收獲

周軍高

問題：一輛自行車在一條平直的公路上行駛，公路各處的路況均相同。現有一種輪胎，若將其安裝在這輛自行車的前輪處，則行駛5000 km后報廢；若將其安裝在這輛自行車的后輪處，則行駛3 000 km后報廢。如果自行車安裝一對新的這種輪胎，行駛一定路程后，我們將前后輪胎交換位置。使這對輪胎能同時報廢，那么這輛自行車最多能行駛多遠？

分析：對于這個問題，要想直接分析出相關的數量關系并不容易，不妨設出未知數。借助式子分析相關的數量關系，并列出方程進行求解。

所以這輛自行車最多能行駛1875+1875=3750（km）。

思考1：前面列方程的依據是每個輪胎的剩余量除以其單位路程內的磨損量得到的路程相等，這是本題中隱含的一個相等關系，也是解決問題的關鍵。細心的同學會發現。在前面的結論中，自行車在換胎前后行駛的路程相等（都是1875 km），這是巧合，還是隱含的內在規律呢？帶著疑問，我們探索如下。

由此可知，兩個輪胎同時報廢的話，自行車在換胎前后行駛的路程相等。這不是巧合。而是隱含的內在規律！有了這個內在規律，解答此題就容易多了。

新解法1：得到自行車在換胎前后行駛的路程相等這一結論的過程從略。

設自行車行駛x km后交換前后輪胎的位置。則又行駛x km后兩個輪胎同時報廢。

新解法2：設換胎前后自行車行駛的路程分別為x km、y km。

所以這輛自行車最多能行駛3 750 km。

思考3：再觀察新解法2的方程組中未知數的系數，不難發現，我們不需要解方程組，只要將兩個方程相加就可以求解問題。

新解法3：設元、構造方程組的過程同上。

將方程組中的兩個方程相加。得

所以這輛自行車最多能行駛3 750 km。

思考5：以上幾種解法都是基于設每個輪胎的磨損總量為單位1，這樣設起來簡單，但計算時稍顯煩瑣（因為有較大的分母），能否換一種方法，使得計算較為簡便呢？

新解法5：設每個輪胎的磨損總量為15 000k（因為5 000和3 000的最小公倍數是15 000），則自行車每行駛1 km，前輪、后輪處輪胎的磨損量分別為3k、5k。再設換胎前后自行車行駛的路程分別為x km、y km。

所以這輛自行車最多能行駛3750km。

思考6：隨著研究的深入，問題中隱含的規律愈加明顯，所發現的新解法也越來越多。越來越巧妙。再看新解法5的方程組中的3、5、8、15 000，突然有一種靈感，又得到一種新解法。

新解法6：如果準備8個（4對）新輪胎。不管是在前輪處還是在后輪處，每個輪胎只要報廢了就換新的，那么，前輪處共報廢3個新輪胎，行駛的最遠路程為15 000 km，后輪處共報廢5個新輪胎，行駛的最遠路程為15 000 km。從而可知。4對新輪胎最多能行駛15 000 km，這樣，一對新輪胎最多能行駛15 000÷4=3 750（km）。

下面針對這類問題給出一般結論：一輛自行車在一條平直的公路上行駛，公路各處的路況均相同。現有一種輪胎，若將其安裝在這輛自行車的前輪處，則行駛akm后報廢；若將其安裝在這輛自行車的后輪處，則行駛6 km后報廢。如果自行車安裝一對新的這種輪胎，行駛一定路程后，我們將前后輪胎交換位置，使這對輪胎能同時報廢，那么這輛自行車最多能行駛2ab/a+bkm。這個結論我們似乎見過，請同學們做一做下面的練習題，相信大家一定會有所感悟！

1.一輛汽車先從甲地到乙地，再沿原路返回。若汽車從甲地到乙地的速度為akm/h。返回時的速度為6 km/h。則汽車往返甲、乙兩地的平均速度是多少？

2.小明從火車站回家。前一半時間乘公共汽車，后一半時間步行，已知乘公共汽車行完全程需要ah，步行走完全程需要6 h，那么小明從火車站到家需要用多長時間？

3.有一項工作，甲單獨做需要口天完成。乙單獨做需要6天完成。現在要求前一半時間由甲單獨做，后一半時間由乙單獨做，則完成這項工作需要多少天？