探究一次函數(shù)模型的應(yīng)用

陳曉燕

[摘 要] “來源于生活，應(yīng)用于生活”是數(shù)學(xué)本質(zhì)所在. 將生活中的問題抽象為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)模型來解決問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的重要體現(xiàn). 本文抽象出地鐵票價(jià)、乘客量與盈利之間的關(guān)系，通過變式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用展開探究，使得數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中有了用武之地.

[關(guān)鍵詞] 一次函數(shù)；模型應(yīng)用；地鐵票價(jià)；盈利；虧損

在學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)提出這樣的問題：老師，學(xué)了這個(gè)知識(shí)有什么用？如果我們回答：為了解題，為了考試. 顯然沒有說服力. 就目前我們所學(xué)的知識(shí)，難道真的找不到它的用武之地嗎？本文以筆者所上的一節(jié)“一次函數(shù)模型應(yīng)用”課為例來說明函數(shù)的應(yīng)用.

在本次課之前，筆者所教授的班級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)與一次函數(shù)，教學(xué)片段展示如下.

問題1：你能用我們學(xué)過的函數(shù)模型近似地描述“某地鐵線路的盈利額與乘客量之間的關(guān)系”嗎？

生：首先應(yīng)確定票價(jià)，設(shè)票價(jià)為a，設(shè)盈利額為y，乘客量為x，則可用正比例函數(shù)模型，即y=ax來描述.

師：大家同意該生的觀點(diǎn)嗎？

生：結(jié)合實(shí)際情況來看，地鐵運(yùn)營要有固定的成本，所以當(dāng)乘客數(shù)x=0時(shí)，利潤y應(yīng)為負(fù)值，所以它應(yīng)該是一次函數(shù)模型，即y=ax+b.

師：好，我們來回顧一下一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).

生：一次函數(shù)的關(guān)系式是y=kx+b，其圖像是一條直線. 當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大. 若b>0時(shí)，則直線過第一、二、三象限，如圖1所示；若b<0時(shí)，則直線過第一、三、四象限，其圖像如圖2所示.

當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，若b>0時(shí)，則直線過第一、二、四象限，如圖3所示；若b<0時(shí)，則直線過第二、三、四象限，其圖像如圖4所示.

師：在這里k起到什么作用？

生：反映了直線的傾斜程度，當(dāng)k>0時(shí)，k越大，直線越陡峭；k越接近于0，直線越平緩. 當(dāng)k<0時(shí)，k越小，直線越陡峭；k越接近于0，直線越平緩.

師： 那么這個(gè)函數(shù)的圖像大致形狀是什么樣的？

生：如圖2所示.

師：同學(xué)們是否有異議？

生：函數(shù)是有定義域限制的，乘客量應(yīng)是正整數(shù)，而且是有限的，所以該函數(shù)的圖像應(yīng)為在某條線段上的一些整點(diǎn).

師：非常好！為了研究方便，我們就近似地用直線來表示這個(gè)函數(shù)的圖像.

評(píng)析：通過問題的引入，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系所學(xué)知識(shí)與生活問題建立關(guān)聯(lián). 但要注意生活問題因有其實(shí)際意義，故不能直接套用所學(xué)數(shù)學(xué)模型，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整. 將生活中的數(shù)學(xué)問題構(gòu)造出的模型，大多為一種符號(hào)模型，即把題目中的已知量、未知量、常量、變量分別列出，再添加題目的各種約束條件，進(jìn)而得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)論.

問題2：如果目前這條線路處于虧損狀態(tài)，你們有什么辦法令其扭虧為盈嗎？

生：提高票價(jià).

師：雖然簡(jiǎn)單粗暴，但確實(shí)是行之有效的辦法. 如果提高了票價(jià)，那么函數(shù)的圖像有什么變化？

生：提高票價(jià)，即直線的傾斜程度變得更陡峭，如圖5所示.

師：當(dāng)然，票價(jià)提高多少，還需要做科學(xué)的調(diào)查，我們?cè)诖讼炔蛔錾钊胙芯? 還有沒有其他的辦法？

生：降低成本.

師：你很有奉獻(xiàn)精神. 如果降低了成本，函數(shù)的圖像又會(huì)有什么變化？

生：票價(jià)不變，說明直線的傾斜程度不變，直線向上平移，如圖6所示.

師：當(dāng)然實(shí)際情況可能不像我們所想象的那樣簡(jiǎn)單，地鐵公司可能有更科學(xué)的定價(jià)方案.

評(píng)析：通過對(duì)問題1進(jìn)行變式，由函數(shù)模型與實(shí)際問題的關(guān)系，利用函數(shù)模型實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際問題的處理，從而提出有針對(duì)性的策略.

問題3：請(qǐng)同學(xué)們思考一下，如果我們也近似用一次函數(shù)模型來表示，那么隨著票價(jià)的增加，乘客量會(huì)有什么變化？

生：票價(jià)越高，乘坐地鐵的人就會(huì)越少. 設(shè)票價(jià)為x，乘客量為y，則y=kx+b（k<0）.

師：若票價(jià)與乘客量之間的關(guān)系如圖7所示，則票價(jià)為多少時(shí)，盈利額最大？

生：由圖知，當(dāng)票價(jià)x=1時(shí)，y=10；x=5時(shí)，y=2.將其代入直線方程y=kx+b，得k+b=10，5k+b=2， 解得k=-2，b=12.所以函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+12.

師：能否求出盈利額的最大值？以及當(dāng)盈利額最大時(shí)，票價(jià)應(yīng)定為多少？

生：設(shè)盈利額為L，成本為B，則有L=x（-2x+12）-B. 因此當(dāng)票價(jià)x=3時(shí)，盈利額最大，最大值為18-B.

師：函數(shù)模型確定以后，我們就可以用于決策方案的確定. 當(dāng)然具體問題的處理不像我們所設(shè)想的這樣簡(jiǎn)單.

評(píng)析：把生活問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型后，再根據(jù)要求對(duì)該模型進(jìn)行求解.通常情況下，把實(shí)際應(yīng)用問題數(shù)學(xué)化之后，生活問題便成為普通的數(shù)學(xué)問題了.

問題4：該地鐵公司決定實(shí)行按照乘車?yán)锍谭侄斡?jì)價(jià). 方案如下：

乘坐地鐵方案6公里（含）內(nèi)3元；

6公里至12公里（含）4元；

12公里至22公里（含）5元；

22公里至32公里（含）6元；

32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.

已知在某段線路上，任意一站到A站的票價(jià)不超過5元，現(xiàn)從那些只乘坐該線路地鐵，且在A站出站的乘客中隨機(jī)選出120人，他們乘坐地鐵的票價(jià)統(tǒng)計(jì)如圖8所示. 如果從那些只乘坐該線路地鐵，且在A站出站的乘客中任選1人，試估計(jì)此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元的概率.

生：記事件A為“此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元”. 由統(tǒng)計(jì)圖可知，得120人中票價(jià)為3元、4元、5元的人數(shù)分別為60，40，20.

所以票價(jià)小于5元的有60+40=100（人）.

故120人中票價(jià)小于5元的頻率是=.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

所以估計(jì)此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元的概率P（A）=.

師：使用市政交通一卡通刷卡，每自然月內(nèi)每張卡支出累計(jì)滿100元以后的乘次，價(jià)格給予8折優(yōu)惠；滿150元以后的乘次，價(jià)格給予5折優(yōu)惠；支出累計(jì)達(dá)到400元以后的乘次，不再享受打折優(yōu)惠.

某同學(xué)上學(xué)，需要乘坐地鐵15.9公里到達(dá)學(xué)校，每天上下學(xué)共乘坐兩次，每月按上學(xué)22天計(jì)算. 如果該同學(xué)每次乘坐地鐵都使用市政交通一卡通，那么他每月第21次乘坐地鐵里時(shí)，他刷卡支出的費(fèi)用是________元；他每月上下學(xué)乘坐地鐵的總費(fèi)用是_______元.

生：該生每天的上下學(xué)的費(fèi)用分別為5元，即每天10元. 10天后花費(fèi)100元，第21次乘坐地鐵時(shí)，價(jià)格給予8折優(yōu)惠，此時(shí)花費(fèi)5×0.8=4元.

10天后的費(fèi)用為100元，再過6天后花費(fèi)8×6=48元，此時(shí)合計(jì)花費(fèi)148元.

第17天上午累積花費(fèi)148+4=152元，從第17天的下午開始車費(fèi)為5×0.5=2.5元. 此時(shí)到22天結(jié)束還需要要乘車11次，需要花費(fèi)2.5×11=27.5元.

故合計(jì)152+27.5=179.5元.

答案為4；179.

評(píng)析：通過仔細(xì)審視題目信息，弄清題目中的每一個(gè)詞語的含義，深入挖掘其中所涉及的隱含信息；再將題目中生活、生產(chǎn)中的語言準(zhǔn)確地用我們所學(xué)數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，分清條件和結(jié)論，理順題目中各種數(shù)量之間的關(guān)系，聯(lián)想歸結(jié)為自己所熟悉的某種基本數(shù)學(xué)關(guān)系.

總之，應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)可遵從如下步驟：首先，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行模型概括：探究實(shí)際生活問題中各變量間的關(guān)系，并用x，y分別表示問題中的變量；其次，確立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，建立的函數(shù)模型即為函數(shù)的解析式；最后，求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際生活問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，準(zhǔn)確選擇相應(yīng)的函數(shù)知識(shí)求模型的解，并將所得結(jié)論應(yīng)用到實(shí)際問題中.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用不僅局限于此. 數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，我們要善于觀察身邊的事物，用所學(xué)的知識(shí)去解決生活中的問題，讓數(shù)學(xué)變得不再枯燥. 筆者在此拋磚引玉，希望對(duì)讀者有所啟發(fā)，共同探究應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問題，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)有所用、學(xué)以致用.