用好教材，培養學生的建模能力

鄭三香

[摘 要] 課程標準指出，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.因此日常教學中培養學生的建模能力顯得尤為重要.本文就如何利用好教材培養學生的建模能力談談幾點體會.

[關鍵詞] 教材 培養 建模能力

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0010

數學來源于生活，又服務于社會各個領域.新課標精神力求改變學生學完數學知識后無法用或不會用、甚至覺得毫無用處的局面.因此，日常教學活動中培養學生的建模能力，使學生學會數學建模顯得尤為重要.

對復雜的實際問題進行分析，發現其中可以用數學語言來描述的關系或規律，把這個實際問題轉化成一個數學問題，這就稱為數學模型.數學建模的一般過程大致為：實際問題抽象成數學模型、對模型進行求解、對模型解答翻譯回實際問題中驗證.整個流程完成了從實際問題到數學模型，再從數學模型回到實際問題的循環、完善的過程.

筆者就如何利用好教材培養學生的建模能力談談幾點體會.

一、在知識點的學習過程中讓學生體驗建模過程

數學教材中的概念、定理、公式等都是從現實世界中經過逐步抽象、概括而得到的數學模型.這些知識的抽象過程其實就是數學的建模過程.教師在教學這些內容時可以有意識地帶領學生體驗這一過程，從而培養他們的建模能力.如在學“角”的概念時，教材中舉了鐘面上的時針與分針、棱錐相交的兩條棱、三角尺兩條相交的邊線的實例，教師可以引導學生把它們抽象成有公共端點的兩條射線，再讓學生把抽象得到的圖形畫出來，就得到了角的圖形，用文字表述出來就是“角”的概念.又如在學“等式的性質”時，教材采用了在平衡的天平兩邊同時增（減）相同的量天平還能保持平衡的實例，教師可引導學生把天平兩邊的物體質量分別用字母a、b表示，增（減）的質量用字母c表示，把“平衡”抽象成“=”號，于是就建成了等式性質的模型.

二、在例（習）題的教學過程中訓練學生的建模能力

1.從解簡單的建模題入手，樹立學生的信心

初中數學教材中常見的建模類型不少.如方程模型、不等式模型、函數模型、三角模型、統計模型等.但筆者在教學實踐中發現，當學生遇到生活化的數學問題需要建模來解決時，經常會感到底氣不足，不知從何下手.其原因是缺乏解建模題的成功體驗.因此要樹立他們的信心，就應該讓他們從解簡單的建模題開始.教材中習題的編排其實是有這種意圖的.如人教版初中教材“一元一次方程”這章中安排了一道題：“甲種鉛筆每枝0.3元，乙種鉛筆每枝0.6元，用9元錢買了兩種鉛筆共20枝，兩種鉛筆各買了幾枝？”.這些問題生活背景簡單，語言直接，模型明顯，解決起來要經歷數學建模的過程.教師要用好這些練習，讓學生在解決這些問題中得到充分鍛煉，為解決復雜的建模問題打下基礎，獲得成功的體驗，同時樹立信心.

2.從文字冗長的建模題中培養學生的信息處理能力

生活化的數學問題往往文字冗長、數據眾多、信息量大、專業術語多，問題背景涉及生活的各個領域.如七年級的應用題就有電信資費問題、商品利潤問題等.因此教師在平時教學時對教材習題中出現的一些專有名詞如與商品銷售有關的“營業額、營業成本、利潤及利潤率、折扣率”與儲蓄有關的“本金、利息、利率、期數、本息和”等應作出詳細的說明，同時要讓他們弄清楚其間存在的數量關系.在具體教學這類題時可以從以下幾方面著手培養學生的建模能力.

（1）讓學生學會提煉有用信息

【例1】 （人教版教材）甲、乙兩商店以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案.在甲店累計購買100元商品后，再購買的商品按原價的90%收費；在乙店累計購買50元商品后，再購買的商品按原價的95%收費.顧客怎樣選擇商店購物能獲得更大優惠？審題時可引導學生仔細讀題，理解題意，提煉出這些有用信息：“兩店標價同.購物額>50元后再購商品乙店九五折；購物額>100元后再購商品甲店九折”.同時要求學生在草稿紙上寫下來.題目內容簡化后，再作進一步分析建模就變得更容易了.

（2）讓學生學會借助表格來分析

對于有些數量關系復雜、數量間有聯系的題目，教師可以讓學生學習借助表格來分析整理數據，從而能從復雜的數量關系中清楚地找到有關系的量，為建立數學模型掃清障礙.

【例2】 （人教版教材）長青化工廠與A，B兩地有公路、鐵路相連.這家工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運回工廠，制成每噸8000元的產品運到B地.已知公路運價為1.5元/（噸·千米），鐵路運價為1.2元/（噸·千米），且這兩次運輸共支出公路運費15000元，鐵路運費97200元.這批產品的銷售款比原料費與運輸費的和多多少元？因為銷售款與產品數量有關，原料費與原料數量有關，所以設產品重x噸，原料重y噸.列表分析如下：

學生通過列表分析整理數據，相等關系一目了然，為建模開辟了道路.

（3）讓學生學會借助圖形來分析

【例3】 （人教版教材）參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加聚會？設有x人參加聚會，筆者引導學生把參加聚會的人數x抽象成直線上的點的個數，每一個點都分別和除了它本身以外的點組成一條線段，因為重復計算，則握手的次數相當于該直線上線段的數目，于是由建立幾何模型得到 x（x-1） 2 =10

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三、在解決實際問題中鍛煉學生的建模能力

《課程標準及解讀》中指出：數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數據、進行運算、推理和證明，數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象.因此我們可以結合教材讓學生利用所學的數學知識來解決生活中的實際問題，鍛煉學生的建模能力.例如，人教版教材《銳角三角函數》這章中安排了“制作測角儀，測量樹的高度”的數學活動.教師可以布置學生以小組為單位帶上自己制作的簡易測角儀、皮尺等測量工具到操場上測一棵樹的高度.學生們經測量取得了所需要的數據：仰角α、測量者到樹根的距離m、測量者的身高h，回到教室根據所學的解直角三角形的知識，小組交流、討論、畫圖、建模，得到了要測樹的高度用公式表達為h+m·tanα（注：如圖所示，∠ADE=α、BC=m、CD=h）.

又如還可以讓學生用角的知識制作正五角星，用統計知識對一次半期考試全班的數學成績進行數據分析等等.教材中提供了豐富的學生活動題材，只要教師多創造機會放手讓學生用數學知識去解決生活中的實際問題，他們的建模能力就能在解決問題中不斷提高.

當然，教師首先必須吃透教材的各個版塊，領會教材設計的意圖，從中挖掘建模教學的素材，認真鉆研建模教學的方法，才能充分發揮教材的建模教育功能，使學生的建模能力得以提高.

（責任編輯 黃桂堅）