例談?dòng)?jì)算教學(xué)中不同表征方式的運(yùn)用

王少平

小學(xué)生以直觀形象思維為主，抽象邏輯思維能力不強(qiáng)，這就決定了他們接受數(shù)學(xué)知識(shí)的過程是以線性的方式進(jìn)行的，從而使其思維表征也以鮮明的線性方式經(jīng)歷動(dòng)作表征、圖像表征，最后到符號(hào)表征。如何順應(yīng)小學(xué)生的這一思維特點(diǎn)，促進(jìn)計(jì)算教學(xué)過程中各環(huán)節(jié)之間的邏輯聯(lián)系？本文以“兩位數(shù)乘一位數(shù)”為例，探究線性思維方式下計(jì)算教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中多種表征方式的靈活運(yùn)用，以促進(jìn)小學(xué)生對(duì)算理的理解與計(jì)算方法的掌握。

一、借助動(dòng)作表征加強(qiáng)對(duì)算理的直觀感知

教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，教師安排學(xué)生用擺小棒的方法得出“48×2”的結(jié)果，學(xué)生的擺法如下：

這種擺法是正確的，但還不能讓人一眼就看出結(jié)果。怎樣才能讓人一眼就看出結(jié)果呢？于是學(xué)生繼續(xù)操作小棒，便有了下面的操作（見圖2）：

學(xué)生們理由是：“……右邊的8根加8根等于16根，16里面有1個(gè)十和6個(gè)一，把1個(gè)十捆起來得到一捆，放到左邊8捆的下面，就是9捆，即90，加上右邊的6根，就是96根。”

兩位數(shù)乘一位數(shù)，計(jì)算時(shí)先把一位數(shù)與兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘，滿十要向前一位進(jìn)位，算法相對(duì)于算理是抽象的，小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生抽象概括能力較弱，當(dāng)他們借助具體的小棒來進(jìn)行實(shí)際操作時(shí)，這種抽象的算法就在擺小棒中直觀地呈現(xiàn)出來。在擺小棒的過程中，抽象的算法被具體可觸摸的小棒所代替，但又不失小棒的可操作性，有力地幫助學(xué)生在知識(shí)形成的感知階段加強(qiáng)了直觀感性認(rèn)識(shí)，建立起正確明晰的算法表象。

二、 借助圖像表征形成內(nèi)在思維影像

操作完小棒之后，教師給學(xué)生布置任務(wù)：“不看小棒圖，在頭腦中回想一下，剛才是怎樣得出‘48×2的結(jié)果的？”

學(xué)生閉上眼睛開始在腦中回想擺小棒的過程，并按照教師的要求把自己回想出來的內(nèi)容說給同桌同學(xué)聽。

這一回想的過程，學(xué)生擺脫了具體可感的小棒實(shí)物，僅依托操作過程中形成的動(dòng)作表征在自己的頭腦中通過回想形成“實(shí)物影像”。這一過程實(shí)際上就是擺脫具體實(shí)物，原有的模型（小棒圖）消失，自己制作原來實(shí)物的心像。因?yàn)榛叵氲倪^程是把原來的操作過程以心像的形式在頭腦中呈現(xiàn)，所以說在這一過程中活躍的是學(xué)生的內(nèi)在思維。通過“想一想”使操作環(huán)節(jié)中大量的過程性信息得以整體地表征出來，從而為將要進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動(dòng)有一個(gè)整體的把握。同時(shí)，使學(xué)生個(gè)體可以在頭腦中建立起牢固的“兩位數(shù)應(yīng)分別與整數(shù)相乘，再把乘得的積相加”這一計(jì)算影像。如果說，操作中形成的動(dòng)作表征是幫助學(xué)生在知覺上獲得了大量信息，那么圖像表征則通過回想建立“兩位數(shù)乘一位數(shù)”方法的心像，二者的結(jié)合為學(xué)生進(jìn)行抽象層面上的創(chuàng)新思維提供了可能。這就意味著通過回想建立起的圖像表征成為由動(dòng)作表征過渡到符號(hào)表征的中介。

三、 借助符號(hào)表征抽象概括算法

學(xué)生在頭腦中回想并相互交流之后，教師讓學(xué)生結(jié)合擺小棒和在頭腦中回想的過程，用豎式把計(jì)算過程記錄下來。學(xué)生結(jié)合已有的“不進(jìn)位的兩位數(shù)乘一位數(shù)”經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立思考寫出豎式，呈現(xiàn)如圖3：

這兩個(gè)豎式的書寫過程既再現(xiàn)了動(dòng)作表征的全過程，又使圖像表征得以外顯，是學(xué)生內(nèi)在思維的真實(shí)展現(xiàn)。同時(shí)，這兩道豎式溝通了動(dòng)作表征和圖像表征之間的聯(lián)系，既體現(xiàn)了“48×2”就是2個(gè)40與2個(gè)8的和這一直觀算理，同時(shí)又體現(xiàn)了用4和8分別與2 相乘再把積相加的算法。無論是從操作的角度還是從思維的角度，這種以數(shù)字符號(hào)表征的方式是最好的記載方式。因?yàn)樗瓤梢栽佻F(xiàn)外在操作的過程，也可以再現(xiàn)內(nèi)在的思維過程。同時(shí)，其簡潔的記錄形式?jīng)Q定了它是一種具有普遍性的表征方式，易于在學(xué)生頭腦中儲(chǔ)存。

為了解決本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)——“進(jìn)位”問題，隨后教師讓學(xué)生比較上面兩道豎式在計(jì)算中的相同之處，同時(shí)聯(lián)系動(dòng)手操作時(shí)是如何將16根小棒變成一個(gè)十和6個(gè)一的，有效地引導(dǎo)學(xué)生理解“進(jìn)位”的必要性，從而將豎式簡化（圖4）。

這時(shí)，學(xué)生的思維不再依賴于模型和影像，而是以符號(hào)作為思維活動(dòng)的材料，形成了以符號(hào)為表征的具有普遍性的算法，這也標(biāo)志著學(xué)生的思維已經(jīng)向抽象概括邁出了一大步。

算理的直觀性和算法的抽象性之間存在一定矛盾，小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的線性思維特點(diǎn)容易造成學(xué)習(xí)中各個(gè)環(huán)節(jié)的不連貫、出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間缺少邏輯聯(lián)系的弱點(diǎn)。像上面的案例那樣，在教學(xué)中循序漸進(jìn)，靈活借助各種數(shù)學(xué)表征方式，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)不同的表征方式靈活轉(zhuǎn)化，則可以不斷促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的提升。當(dāng)然，學(xué)習(xí)的不同環(huán)節(jié)運(yùn)用何種表征方式并不是固定的，應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)選擇合適的表征方式，靈活運(yùn)用，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與內(nèi)化。