基于數學題組的兒童“整體思維”建構

朱俊華

小學數學學科的教學內容本身就具有整體性和系統性，每冊教材、每個單元、每一節課和每個知識點之間都有著內在聯系。正如布魯納所說：“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯系起來，那是一種多半會被遺忘的知識。”因此，教師在組織教學時，必須具備瞻前顧后、遷移滲透的能力，將所教授的知識模塊化，形成題組。

一、 變式貫通，數學題組讓思維走向深刻

1.比較變式，培養兒童的邏輯思維

如果學生每天接觸的數學練習的類型和方法總是一成不變，那就容易將學生的思維固定成一種模式，數學學習就會變成機械的記憶或者簡單的模仿，不利于邏輯思維的鍛煉

比如蘇教版小學數學五年級下冊“分數的意義”中有這樣一道題：有兩根2米長的繩子，第一根剪去它的，第二根剪去米，哪根剩下的長？

經統計，全班48名同學，有32名同學選擇“無法比較”，占總人數的66.7%，有11名同學選擇“一樣長”，占總人數的22.9%，只有5名同學選擇第二根剩下的長，占總人數的10.4%。筆者了解后發現，選擇“無法比較”的原因是因為之前筆者講過這樣一道題目：有兩根同樣長的繩子，第一根剪去它的，第二根剪去米，哪根剩下的長？當時同學們記住了“”和“米”是兩種不同的概念，前者沒有單位，表示兩種量之間的關系，后者是具體的數量，所以無法比較。

反思當初的教學，只是就題講題，缺少變化，導致學生只是簡單地記住了“分率和數量是兩個不同的概念，所以無法比較”的簡單結論，而對分數的意義缺乏深層次的思考和理解。顯然這樣的教學是片面的、機械的。

為了幫助學生理清關系，形成正確的認知，教師應建構題組從根本上使問題得到解決。所以在原來兩道題的基礎上，筆者又設計了以下兩題構成題組，讓學生在對比中獲得對分數意義的深刻理解。

（1）有兩根同樣長的繩子都是0.4米，第一根剪去它的，第二根剪去米，哪根剩下的長？

（2）把一根繩子剪成兩段，第一段占全長的，第二段長米，哪一段長？

通過練習、比較，學生對表示兩種量關系的分率和表示具體數量的分數有了更全面的理解。

2.正反變式，培養兒童的辯證思維

在教學蘇教版小學數學五年級下冊“圓的面積”時，教材第101頁有這樣一道練習：正方形的面積是8平方厘米，那么圖中陰影部分的面積是（ ）平方厘米（如圖1）。這個問題打破了學生的常規思維：要求圓的面積就必須先求出半徑，本題顯然無法求出半徑。通過交流，學生發現可以求出半徑的平方，問題迎刃而解。但是筆者并沒有滿足于此，而是設計了這樣一道變式題：如果圖1中陰影部分面積是37.68平方厘米，則小正方形面積是（ ）平方厘米。這樣的正反變式，不僅檢查了學生對于圓面積公式的掌握情況，更讓學生的思維走向深刻，不再糾結于求圓的面積一定要知道半徑的機械思維。

3.遞進變式，培養兒童的創新思維

教學實踐告訴我們，一個創造性思維活躍的人，遇到問題不只是從正面沿著一個方向分析研究，而是根據客觀事物的變化靈活思考，以期尋求合理的途徑解決問題。所以，教師要主動創造一個多變的思維環境，學生的創新思維才能發展。

如教學“解決問題策略——轉化”（蘇教版小學數學五年級下冊）時，筆者將書上的習題做了改編，有序出示了以下五道題目（如圖2）：中間路的寬度都是1米，要求草坪的面積是多少？

對于第①個問題，很簡單，用長方形面積減去小路（小長方形）面積。而第②個問題，同學們出現了不同的聲音，原因在于減去兩條路面積時多減去了一個小正方形的面積（兩條路重合的地方）。顯然，這個方法不是最簡便的。此時，有人提出：可以將兩條路平移到最邊上，這樣就將四塊草坪合到了一起。是啊，“化零為整”，了不起的想法，顯然接下來的幾個問題也都迎刃而解了。

課堂上，教師并沒有過多地強調轉化的策略，也沒有強調轉化策略的優越性，而是讓學生自己在解決問題的過程中一步步感受轉化策略的價值。

二、 拾階而上，數學題組使問題化難為簡

張景中院士說過：“面對數學的難題，不是刪繁就簡，而應該通過大家的努力化難為簡?！币虼?，當學生遇到難題時，教師不能簡單回避，而應該迎難而上。題組模塊就好比一把“梯子”，化難為易，拾階而上，幫助學生一步一步接近問題的本質，解決問題。

1.強化層次訓練，讓學生在由淺入深的思維聯系處長智

數學教學中，教師要不斷給學生搭建合適的臺階，讓他們在“跳一跳”就能夠得著的情況下，自主探究，發現數學的規律，從而解決新的、思維含量更高的數學問題。

蘇教版小學數學五年級上冊第81頁，有這樣一道思考題：為了鼓勵節約用電，某地規定了以下的電費計算方法：每月用電不超過100千瓦·時，按每千瓦·時0.52元收費；每月用電超過100千瓦·時，超過部分按每千瓦·時0.6元收費。小明家十月份付費64.6元，用電多少千瓦·時？

課堂上，只有幾位同學能夠獨立解決這個問題，經過調查發現，他們不理解“超過部分”是什么意思，于是筆者編制了這樣的題組：

（1）如果小明家六月份用電90千瓦·時，該付多少元電費？為什么？

（2）如果小明家七月份用電120千瓦·時，該付多少元電費？為什么？

（3）如果小明家八月份付費49.4元，用電多少千瓦·時？

通過對問題的分層研究，讓學生自己去分析、判斷和發現，在問題鏈中體驗數學探究的魅力，逐步理解分段繳費中“超過部分”的含義。

2.樹立整體意識，讓學生在知識結構的內在聯系中明理

教學蘇教版小學數學五年級下冊“分數的意義”時，筆者設計了這樣一組問題：

把12塊糖平均分給17個小朋友，每塊糖是糖果總數的幾分之幾？每人分得的糖是總數的幾分之幾？2人分得的糖是總數的幾分之幾？每人分得幾分之幾塊的糖？

師：比較前兩個問題，有什么不同？

生：前兩個問題平均分的份數不一樣，第一個問題是把單位“1”平均分成12份，每塊糖占這樣的，而第二個問題是把單位“1”平均分成17份，每人分得總數的。

師：第二個問題和第四個問題又有什么不同呢？

生：雖然都是每人分得多少，但前者是每人分得的塊數和總數之間的關系，后者是問每人分得了幾分之幾塊，是具體的數量。

……

留足時間和空間讓學生去探究、去對比、去質疑、去反思，他們對分數就有了更深、更全面的認識，尤其是表示兩種量之間關系的分率和表示具體數量的分數之間的區別和聯系，發展了學生的數學思維能力。

三、 知識建構，數學題組讓知識經歷“再造”

數學學習是探索、發現和再創造的過程，傳統的課堂教學只是注重知識的傳授，而忽視了學生的主動建構。事實上，缺乏探究和再造的課堂是有缺陷的，是缺少思維生長的。

在小學階段，有很多知識的建構一般是這樣的步驟：題組探究→發現規律→意義建構→整理歸納→得出結論。在這個過程中，題組作為自主學習的起始階段，起到了讓自主學習發生的作用。

比如：蘇教版小學數學四年級下冊的“乘法分配律”、五年級下冊的“分數基本性質”、六年級上冊“認識倒數”。

不完全歸納是小學階段經常使用的探究方法，學生通過一組題的對比研究，發現其中蘊含的數學規律，得出一般結論，再舉例驗證，豐富認知。在整個學習過程中，題組不僅起到了打開一扇“探究之門”的作用，還讓學生初步建立了數學規律的表象，為進一步的意義建構埋下伏筆。

總之，基于數學題組的教學，從題組的生成、規律的歸納、意義的建構和數學概念的“再造”，無不充滿內在思維的張力，這種思維的張力會促進學生自主地去探究、去思考、去分析、去反思，從而讓兒童獲得整體的數學思維方式。