數形結合在高考題中的應用

朱琦

摘要：數形結合是中學數學中重要的數學思想方法之一，它也是解答高考數學試題一種常用方法與技巧。本文通過比較數形結合思想的試題在歷年高考中的比重，以及典型例題，闡述了數形結合思想在解題中的作用。

關鍵詞：數形結合；高中；解題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-864X（2016）03-0000-01

引言：

我國已故著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”這恰恰體現了“數與形”不可分割的關系。“數與形”反映了事物兩個方面的屬性，在數學發展過程中，數與形常常結合在一起，內容上互相聯系，方法上互相滲透，并在一定的條件下互相轉化。縱觀多年來的高考試題，它對數形結合的思想與方法有著較高的要求，巧妙運用這一思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果。

一、數形結合思想與高中數學教學

（一）從新課程數學內容的特點來看數形結合思想。

新高中數學課將精選出代數、幾何等基礎知識綜合為一門學科，這樣有利于精簡教學內容，有利于數學各部分內容相互的聯系，有利于數學思想方法的相互滲透。新教材充實了平面向量和空間向量，這些改革都有利于“形”與“數”的結合。

（二）數形結合思想在高中數學教學中的作用。

1.有助于學生形成和諧、完整的數學概念。

2.有助于拓展學生尋找解決問題的途徑。

3.有助于學生數學思維能力的發展。

4.利用數形結合，喚起學生對數學美的追求。

二、數形結合思想在高考解題中的應用

1.數形結合思想在平面幾何和立體幾何中的應用。

例：（2007年四川卷） 是同一平面內的三條平行線， 與 間的距離是1， 與 間的距離是2，正三角形 的三頂點分別在 ， ， 上，則三角形 的邊長是（）

2.數形結合思想在集合問題中的應用。

集合運算中常常借助于數軸、venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，運算快捷明了。

例：（2008年北京卷）已知全集 ，集合A= ，B= ，那么集合 等于（）

3.數形結合思想在圓錐曲線中的應用。

例：（2010年天津卷） M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足： .

求點P的軌跡方程。

4.數形結合思想在三角函數問題中的應用。

有關三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數圖像來處理，數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法。

例：（2013年浙江卷）方程 ， 的實數解的個數是（）

A.2 B.3 C.4 D.以上均不對

5.數形結合思想在平面向量問題中的應用。

向量集數與形于一身，既包含代數的抽象性又包含了幾何的直觀性，因此數形結合思想是解決向量問題的有力工具。

例：已知向量 ， ，則向量 的長度的最大值是

6.數形結合思想在方程問題中的應用。

處理方程時，把方程的根的問題看作兩個函數圖像的交點問題。

例：實系數方程 的一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求 的取值范圍

7.數形結合思想在不等式中的應用。

在有些不等式的證明過程中，根據已知條件的結構特點，聯想它所表示的幾何圖形的意義，通過圖形啟發思維，找到簡潔的證明思路。

例：不等式 解集為_________。

8.數形結合思想在數列中的應用。

數列是一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題是借助函數的圖象進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。

例：設等差數列 的前 項和為 ，若 ，則 的最大值為_________。

小結：

數形結合思想在每年高考的選擇題、填空題都會涉及到數形結合思想來快速解答，而壓軸題也會涉及到數形結合思想。因此，對數形結合的活學活用是進一步提高分數的關鍵。

抓住數形結合思想不僅能提高學生數形轉化能力，而且可以提高學生的思維能力。俗語有云“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終生。

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