淺析圓中的數(shù)學(xué)思想方法

蔡華遠(yuǎn)　程玉林

【摘 要】圓是中考的重點(diǎn)，也是熱點(diǎn)，解題方法多種多樣，令不少同學(xué)感到變幻莫測，其實(shí)解決圓問題還是有法可依的，本文從2015年各省中考題中來分析，圓的解答中所用到的特殊與一般，化歸與轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等思想方法，以供參考。

【關(guān)鍵詞】圓；特殊與一般；化歸與轉(zhuǎn)化；數(shù)形結(jié)合

圓知識概念較多，問題形式多樣。同時(shí)圓是中考的重點(diǎn)，也是熱點(diǎn)。圓的問題具有較高的綜合性，解題方法也多種多樣，令不少同學(xué)感到變幻莫測，其實(shí)解決圓問題還是有法可依的，只要我們認(rèn)真分析中考題，把握圓中的數(shù)學(xué)思想方法，看清問題的本質(zhì)，求解時(shí)就可以得心應(yīng)手，游刃有余。

一、特殊與一般

特殊與一般的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想之一，有些特殊問題的解決，需要我們通過一般性規(guī)律的研究來處理；而對于具有一般性的問題，我們也常常通過考察其特殊情況（如特殊取值等）揭示其一般規(guī)律，這種特殊與一般的思想往往貫穿于整個解題過程之中，通過特殊化能使我們認(rèn)識問題更加全面，而將問題一般化能使我們認(rèn)識問題更加深刻。

例1：（2015廣東佛山）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別相交于點(diǎn)E、F.（1）若∠E=∠F時(shí)，求證：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=42°時(shí)，求∠A的度數(shù)；

（3）若∠E=α，∠F=β時(shí)，且α≠β，請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大小.

解：（1）∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，

∴∠E+∠ECD=∠F+∠FCB，∠ADC=∠ABC；

（2）∵∠A+∠BCD=180°，∠ECD+

∠BCD=180°，∴∠A=∠ECD，由（1）知∠ADC=∠ABC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°-42°=48°；

（3）由（2）知∠A=∠ECD，∵∠EDC=∠A+∠F，∠EDC+∠E+∠ECD=180°，∴2∠A+∠E+∠F=180°，∵∠E=α，∠F=β∴ .

點(diǎn)評：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等量代換即可求得結(jié)果；（3）是把（2）特殊情形推廣到一般結(jié)論，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A=∠ECD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理有2∠A+∠E+∠F=180°，再解方程即可。

二、化歸與轉(zhuǎn)化

化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題，將難解的問題通過變化轉(zhuǎn)化為已解決的問題。化歸與轉(zhuǎn)化思想在中考中占有十分重要的地位，數(shù)學(xué)問題的解決，總離不開化歸與轉(zhuǎn)化。例如解決圓中線段與角問題時(shí)，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為圓中直角三角形或相似三角形來解決。

例2：在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C（0，-3），動點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，1），連結(jié)OQ、CQ，當(dāng)∠CQO最大時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解：如圖，記?OQC的外心為M，則M在OC的垂直平分線MN上（MN與y軸交于點(diǎn)N）.連接OM、CM，則 ，MC=MO=MQ，

∴ ，

∴ 的值隨著OM的增大而減小.

又∵OM=MQ，

∴當(dāng)MQ取最小值時(shí) 最大，

即MQ⊥直線y=1時(shí)，∠CQO最大，此時(shí)，⊙M與直線y=1相切.

∴MQ=NF=2.5，MN= =2，

∴Q1（2，1）.根據(jù)對稱性，另一點(diǎn)Q2（-2，1）也符合題意。

綜上所述，Q1（2，1），Q2（-2，1）.

點(diǎn)評：利用圓周角與圓心角的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角最值問題，再利用三角函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為線段最值問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線與圓相切這一特殊位置關(guān)系。

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。其中“以形助數(shù)”是指借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的。“以數(shù)輔形”是指借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)為手段，形作為目的。

例3（2015湖北天門）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB與AC的延長線交于點(diǎn)M，∠COB=∠APB.

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）當(dāng)OB=3，PA=6

時(shí)，求MB，MC的長.

解析：（1）證明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO=90°

∵∠BOC+∠AOB=180°，且∠BOC=∠APB∴∠APB+∠AOB=180°.

∴在四邊形AOBP中，∠OBP=360°-90°-180°=90°

∴OB⊥PB∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線.

（2）解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，B切⊙O于點(diǎn)B，∴PA=PB.

∵∠OBM=∠PAM=90°，∠M=∠M

∴△MBO∽△MAP.

∴

設(shè)MB=x，MC=y，則

∴ 解得x=4，y=2.即MB=4，MC=2.

四、分類與整合

在解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)被研究的問題包含了多種情況時(shí)，就必須抓住主導(dǎo)問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究。這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合—分—合”的解決問題的思想，就是分類與整合思想。

例4（2015湖北襄陽）點(diǎn)O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，則∠BAC的度數(shù)為（）

A.40° B.100°

C.40°或140° D.40°或100°

解析：當(dāng)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外部時(shí)， 。故選C。

五、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)形式，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，使問題得到解決。方程思想是將所求的量設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其它各量，根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系，列方程（組），通過解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進(jìn)行研究，以求得問題的解決。函數(shù)與方程是整體與局部、一般與特殊、動態(tài)與靜止等相互聯(lián)系的，在一定條件下，它們可以相互轉(zhuǎn)化。

例5（2015江蘇南京）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分別與⊙O相切于E、F、G三點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)M，則DM的長為（）

A. B.

C. D.

解析：設(shè)GM=x，由勾股定理得（3+x）2

=42+（3-x）2

解得 ，所以 .故選A.

數(shù)學(xué)思想方法是解題的核心，只有不斷地歸納，總結(jié)，掌握規(guī)律，才能提高解題能力。

作者簡介：

蔡華遠(yuǎn)，泉州第三中學(xué)數(shù)學(xué)教師，中學(xué)二級，碩士研究生學(xué)歷。

程玉林，晉江陳埭民族中學(xué)數(shù)學(xué)教師，中學(xué)二級，碩士研究生學(xué)歷。