“SSA”全等條件的深度探究オ

陳月紅

學習完《全等三角形》一章我們可以對“兩個三角形至少需要具備多少條件時，才能說兩個三角形全等呢？”這個問題給予明確的回答，判定兩個三角形全等的條件至少需要三個，可以是基本事實“SAS”，“ASA”，“SSS”以及由“ASA”結合“三角形內角和定理”得到的推論“AAS”，直角三角形中特殊的“HL”而“AAA”無法判定三角形全等，可以很容易舉出“大小不同的等邊三角形”為反例，那么只剩下一種“神秘的SSA”沒有進行深入的研究，我們只知道SSA可以舉出不全等的反例，如“等腰三角形在底邊上任取一個非中點的點，連接頂角上的頂點與該點，分成的兩個三角形滿足SSA但顯然不全等”（見下圖1），但“HL”實際上又是特殊的SSA，那么是不是直角三角形中的SSA都能判定全等？是不是只有直角三角形中才有SSA判定全等的可能性？到底具備怎樣條件的SSA才是可以判定全等的？下面我們可以借助作圖來深入地來研究一下這個問題

一、已知原三角形是一個一般銳角△ABC，BC>AC>AB，且∠A>∠B>∠C，SSA情況共6種：

1如果已知∠A，AB，BC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠A，在一邊上截取AB長，再以B為圓心，BC長為半徑畫弧，與AC無交點，說明滿足條件的三角形是唯一的

2如果已知∠A，AC，BC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠A，在一邊上截取AC長，再以C為圓心，BC長為半徑畫弧，與AB無交點，說明滿足條件的三角形是唯一的

3如果已知∠B，AB，AC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠B，在一邊上截取AB長，再以A為圓心，AC長為半徑畫弧，與BC無交點，說明滿足條件的三角形是唯一的

4如果已知∠B， BC，AC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠B，在一邊上截取BC長，再以C為圓心，AC長為半徑畫弧，與AB有另一個交點A′，說明滿足條件的三角形不唯一

5如果已知∠C，AC，AB，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠C，在一邊上截取AC長，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，與BC有另一個交點B′，說明滿足條件的三角形不唯一

6如果已知∠C，BC，AB，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠C，在一邊上截取BC長，再以B為圓心，AB長為半徑畫弧，與AC有另一個交點A′，說明滿足條件的三角形不唯一

匯總以上條件和結論：

原三角形是銳角三角形已知角已知角鄰邊已知角對邊三角形唯一嗎？

∠AAB

∠AAC

∠BAB

∠BBC>AC不唯一（可以是鈍角三角形）

∠CAC>AB不唯一（可以是鈍角三角形）

∠CBC>AB不唯一（可以是鈍角三角形）

通過作圖，我們發現在銳角三角形中已知的SSA三個條件中，如果該角的對邊比鄰邊大，則三角形唯一確定；如果該角的對邊比鄰邊小，則三角形不能唯一確定

二、已知原三角形是一個一般的Rt△ABC，BC>AC>AB，且∠A（=90°）>∠B>∠C，SSA情況共6種，列表如下：

總結：其中四種情況與前面的結論一致，但有兩種情況雖然已知角的對邊小于鄰邊，但三角形仍唯一確定，是由于直角三角形的特殊性，兩條直角邊長度雖然短但卻是“最短”，那么作圖也仍然只有唯一交點

三、原三角形是鈍角三角形情況，與銳角三角形情況類似，結論一致

四、通過以上研究可以得到以下結論：

1、一般情況下，兩個三角形對應相等的三個條件如果是SSA，那么能否說明全等取決于選擇的角的對邊與鄰邊的大小關系，如果對邊大于鄰邊則全等，如果對邊小于鄰邊則不全等；

2、特殊情況下，如果該角的對邊小于鄰邊，但該對邊的長度是直線外一點到直線的最短距離，那么全等；

3、SSA不能說明全等的根本原因是能夠再作出一個滿足條件的點，使得三角形形狀無法確定，反例可以是一個銳角三角形和一個鈍角三角形；可以是兩個鈍角三角形，但最大的角不是對應角；可以是一個直角三角形和一個鈍角三角形等；

4、如果已知的兩個三角形能夠確定形狀，如已知的兩個三角形都是銳角三角形或都是直角三角形、都是鈍角三角形，而且最大的角是對應角，那么作圖時的點就會有選擇性，SSA就可以判定全等