如何建立正確的圖形表象

任寧

【摘 要】學生對幾何形體特征的理解，對周長、面積、體積的計算，往往是離開了這些幾何實體，而依賴于頭腦中對物體的形狀、大小和相互位置關系的形象的反映，這就要求學生具有一定的空間觀念，因而在“圖形的認識”教學中，幫助學生形成正確的空間表象尤為重要。以“圓的認識”教學為例，通過有針對性的前測活動，關注學生的已有活動經驗，使學習過程能夠更加貼合學生的學習路徑，通過別具匠心的環節設計，引導學生通過觀察比較，建立正確的圖形表象，借助操作感知，把握圓的本質內涵。

【關鍵詞】圓的認識 圖形表象 本質內涵

一、“圓”是什么

（一）教材中的圓

關于圓的嚴格定義，有一些不同的表述形式，以下列舉兩種初中教材中圓的定義。靜態定義：在同一平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓。動態定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓。

小學教材一般沒有對圓下嚴格的定義。以常見的三種版本的教材為例，人教版（見圖1）和蘇教版（見圖2）教材都是直接出示了生活中一些圓形的物體圖案（摩天輪、水波紋、光盤、鐘面等）引出圓；北師大版（見圖3）教材是通過判斷“哪種套圈游戲最公平”，憑學生已有的生活經驗（每個人到中心的距離相同）引出圓。

（二）學生眼中的圓

“圓”是生活中較為常見的幾何圖形，但是在生活中，“圓”常常不以本來面目示人。對于低段學生來說，從小就被告知太陽是圓的、地球是圓的，然后就逐漸把“圓”和“球”混淆在一起。后來，又被告知硬幣是圓的、紐扣是圓的，又混淆了“稍扁的圓柱形物體”和“圓”。而對于高段學生來說，經常會有老師在教學“分數的認識”的時候，拿著一張圓形紙片說：“把這個圓平均分成……”這時，又把“圓面”和“圓周”混為一談（雖然圓形紙片嚴格意義上來說是圓柱形，但這里姑且先看作圓面）。以上這些認識誤區都在筆者的預料之中，但也有意料之外的發現，筆者對本校50名學生進行了前測，有22名學生認為橢圓也是圓，經過訪談得知，他們的理由類似于“鯨魚是魚，那么橢圓就是圓”。

綜上所述，雖然學生對圓非常熟悉，但是熟悉之中卻有很多陌生之處，也有很多誤解。因此，筆者認為“圓的認識”一課應該重點關注以下兩個方面的內容：通過觀察比較，建立正確表象；借助操作感知，把握圓的本質。

二、“圓”怎么教

（一）處處滲透，充分對比，建立正確圖形表象

1.“圓周”or“圓面”

對于六年級的學生來說，“球”和“圓”的區別自然已經不是問題，但對圓是一條“封閉曲線”還是一個“圓面”這個問題卻仍然模棱兩可。因此，在本課中應該適時地向學生滲透“圓是一條封閉曲線”這一事實。

【片段一】

課件出示一些生活中的物體（如圖4：奔馳車車標、車輪、硬幣、方形鐘面）。

師：我們已經認識了怎樣的圖形是圓，那你能在這些圖形中找到圓嗎？

學生上臺用教鞭指一指每個圖形中的圓在哪里。

……

最后課件隱去實物圖形，留下圓的幾何圖案。

就像小學階段的大多數數學概念一樣，圓的概念不直接進行定義，而是采用直觀描述的方式直接告訴學生：像這樣的圖形就是圓。由于是直接從常見的物體中引出幾何圖形，那么從實物到圖形的抽象過程是必不可少的。特別是本例中的硬幣，學生在之前可能會以為硬幣就是一個圓，而在隱去實物圖留下幾何圖形之后，才能讓學生進一步認識到硬幣的輪廓線是圓，從而對圓這種圖形有更加科學的認知。

在小學教材里對于直徑一般是這樣進行定義的：通過圓心并且兩端都在圓上的線段。可是教材對于什么是“圓上”卻沒有進行告知。對“圓上”的理解實則有助于學生進一步區分“圓周”和“圓面”，因此我們可以在學生學習直徑、半徑時予以滲透。

【片段二】

師：（出示圖5）哪些是半徑？哪些是直徑？（生答略）

師：為什么這些不是呢？

生：這條OB的端點沒有在圓上。

師：你能來指一指圓上在哪里嗎？（生指圓周）

師：B這個端點不在圓上，那是在哪里呢？

生：圓內。

師：那這條GH呢？

生：H這個端點在圓外。

師：是啊，圓的半徑是一條線段，有兩個端點，其中一個在圓心，另一個在圓上。

師：那么這條MN為什么不是直徑呢？

生：因為它沒有通過圓心。

由于生活經驗的負遷移，許多學生都會誤認為圓周內的部分就是“圓上”。本環節讓學生結合直徑、半徑的定義自主區分圓上、圓內、圓外，進而再次明確“圓是一條封閉曲線”的事實。

2.“靜態”and“動態”

如文始所述，圓的定義有靜態和動態之分。對于小學生來說，自然不必知曉這兩種定義的文字描述，但是我們可以在具體的學習環節中讓學生感悟兩種定義的區別。

【片段三】

課件出示一些生活中的物體（奔馳車車標、車輪、硬幣、方形鐘面）。（同片段一）

……

師：（指著方形鐘面）這里有圓嗎？

生：沒有。

生：有的，如果分針轉動一圈就會形成一個圓。

師：大家能想到他說的圓嗎？請你上來指給大家看。

生：（用手勢指出分針轉動后針尖所經過的軌跡）這就是圓。

師：（課件演示分針的動態，抽象出圓）太厲害了，連這樣隱藏的圓都被你找到了。

靜態的圓容易感知，動態的圓不好發現。為了指向性更加明確，這里特意設計了方形的鐘面，逼迫學生排除鐘面形狀的干擾從另外的角度去尋找圓，進而利用課件動畫演示分針轉動形成的圓，讓學生直觀理解動態定義的圓——“在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形。”在這里滲透圓的動態定義，讓學生通過觀察發現隨著針尖的轉動慢慢形成一個圓，向學生傳達了“圓是點的集合”這樣一個本質，對于學生建立正確的圖形表象大有裨益。

3.“規范”+“嚴謹”

學會畫圓是本節課的重要目標之一，在六年級學習畫圓之前，學生在生活中已經大量接觸過畫圓，會用圓形物體的邊沿畫圓，但是也會有一些認識上的誤區，需要糾正，以幫助學生形成正確規范的表象。

【片段四】

師：我們知道了圓是這樣的封閉的曲線圖形，那么怎樣才能把圓畫出來呢？

課件依次出示前測結果：

（1）用圓形物體畫。

師：怎么用圓形物體來畫圓？

生：比如拿一個茶杯蓋子，用鉛筆描著畫圓。

師：大家以前畫過嗎？

生：畫過。

（2）用量角器來畫。

師：（出示一個量角器）這個能畫圓嗎？ '生：把兩個量角器合起來就可以畫了。

師：（課件出示兩把量角器，如圖6）這樣能畫出一個圓嗎？請你試一試。

生：不行，要把中間那些空白的部分去掉。

在這里設計“用量角器畫圓”環節，是基于學生的學情。在前期的試教過程中，經常有學生提及用量角器畫圓，在部分學生的印象中，量角器就是一個半圓，合起來自然是一個圓了。因此，這里有必要通過學生親自動手嘗試和課件的演示糾正這個錯誤的認知，使學生感悟數學的嚴謹性。

（二） 操作感知，切換表象，把握圓的真正本質

1.不同畫法，抽象本質

在學生沒有學習本課之前，基本都知道用圓規能夠畫圓（雖然不一定畫得規范正確），但是很少有接觸過用釘繩工具畫圓。而釘繩工具畫圓的方法能夠更好地幫助學生理解圓的兩個要素——定點、定長，以及直觀地看到“半徑”——繩子，通過兩種畫法的對比，可以使學生頭腦中的圖形表征得以顯性化，充分體悟圓的本質。

【片段五】

課件出示兩種畫圓方法的圖（如圖7）。

師：想一想，剛才用這兩種方法畫圓的過程有什么一樣的地方？（生獨立思考，同桌交流）

生：在畫圓的時候，都有一個點要固定住。

師：這個點在用圓規畫圓時是——針尖；在用釘繩工具畫圓時是——磁釘。

生：還有這段距離不能變。

師：這段距離在用圓規畫圓時是——針尖到筆芯的距離，在用釘繩工具畫圓時是——繩子的長度。

師：是啊，通過兩種畫圓方法的比較，我們知道了畫圓就是要先“定點”，再“定長”。（板書：定點、定長）

在比較兩種看似不同實則相似的畫圓方法的過程中，學生通過觀察分析、歸納概括，溝通半徑、圓心和畫圖工具之間的聯系，找到了畫圓方法的本質——定點、定長。在后續的練習中，也會出現這樣的題目——“畫一個直徑為4cm的圓，那么圓規兩腳間的距離是（ ）”，讓學生在靜態的圖像和動態的操作間反復切換，以此來進一步鞏固學生對圓的認知，為更好地理解圓的相關知識奠定了基礎。

2.細節糾偏，鞏固本質

用圓規畫圓是最基本的方法，每個學生必須學會。在成人眼中輕而易舉的事情，在學生手中卻并不如此。在前測中發現學生在操作圓規的時候總有各種各樣的問題存在，合理利用學生的典型錯誤，可以鞏固對圓的本質的認知。

【片段六】

學生獨立嘗試用圓規畫幾個不同的圓。

師：（出示前測中具有代表性的畫得不好的2個圓，如圖8）你認為畫成這樣的原因是什么？

生：第一個是在畫的時候，針尖動了一下，所以畫不好了。

師：那說明在畫圓的時候，針尖——不能動。（板書：針尖固定）

生：第二個是在畫的時候圓規的兩個腳動了一下。

師：你能上來給大家演示一下是怎么動了一下嗎？（生動手演示）

師：圓規的腳這樣動了一下，也就是說——圓規兩腳間的距離發生了變化。那么在畫圓的時候，我們要做到圓規兩腳間的距離不能變。（板書：距離不變）

師：（示范用圓規畫圓，講解要點）先在紙上找一個點，用針尖固定，兩腳分開一定距離，圓規稍微傾斜，右手捏住把柄旋轉一周。

學生再次模仿畫圓。

在掌握了用圓規畫圓的基本方法后，總能發現學生還會出現錯誤。筆者基于學生多次畫圓的操作經驗，回顧前測中出現的問題，通過討論和分析，發現圓規畫圓過程中的問題癥結所在，進而再次強化對圓的本質認知，反過來可以規范畫圓的方法。

3.首尾呼應，內化本質

在一些學生的已有經驗里，“圓”就是光滑的曲線，因此在前測中有超過四成的學生認為橢圓也是圓，以致在課的一開始就出現了“橢圓是特殊的圓”還是“圓是特殊的橢圓”的爭論。

【片段七】

師：（課件出示前測數據，如圖9）全班所有學生都認為第二個圖形是圓，有22人認為第一個圖形是圓形。你有什么想法？

生：第一個是橢圓，不是圓。

師：認為是橢圓的同學有什么想法？

生：橢圓也是圓，是一種特殊的圓。

師：（對認為橢圓不是圓的學生）那你們為什么認為橢圓不是圓呢？

生：……

師：（板書課題）今天我們學了圓，就會知道答案了。

根據訪談了解，認為“橢圓也是圓，是一種特殊的圓”的學生，他們是從字面上去理解的，類似于“鯨魚也是魚”的思路，并沒有真正去思考兩者之間的關系。課始，很難向學生解釋這個問題，不如暫時擱置，以期后續解答。

在北師大版的教材中，下圖這個套圈游戲用在課的引入環節，這里筆者把它用作課后的練習，來呼應前測中學生的認識誤區，鞏固學生對圓的本質認知。

【片段八】

師：（出示圖10）你認為哪種比賽方式最公平？能用剛學的知識來解釋嗎？

生：第三種，因為這種方法比賽的時候，每個人和中心的距離都是一樣的。

師：（課件演示圓心到圓上的距離相等）這就是墨子說過的“一中同長”，你能說說一中同長指的是什么嗎？

生：一中就是指圓心，同長就是指半徑或者直徑。

師：現在你能來跟那22位同學解釋一下為什么橢圓不是圓了嗎？

生：因為它的半徑不是一樣長。

師：假如說橢圓是有半徑的，在哪里？（課件出示若干條從橢圓的中心點到橢圓上的線段）一樣長嗎？

生：不一樣長。

師：如果是圓的話，那么這些線段應該是一樣長的。

通過直觀的游戲，讓學生再次鞏固圓的本質——到定點的距離等于定長的點的集合，從而與課始的問題首尾呼應，解決了部分學生的疑問，也讓學生充分感受到了數學和生活的緊密聯系，從而提高學習數學的興趣。

“圓的認識”這節課已經進行了很多不同角度的研究，一千個教師就有一千種不同的上法，不同的教學設計承載了各自不同的教學意圖和教學目標，精彩紛呈，各有所長。本課中，筆者通過有針對性的前測活動，關注學生的已有活動經驗，使學習過程能夠更加貼合學生的學習路徑，通過別具匠心的環節設計，關注知識的本質，使學生形成正確的圖形表象，進而深入地感悟概念的內涵。

（浙江省奉化市莼湖鎮中心小學 315500）