線性代數(shù)課中案例式教學(xué)的應(yīng)用

趙軍產(chǎn) 趙艷

線性代數(shù)是高職理工類、經(jīng)濟(jì)類等專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，也是描述和分析實(shí)際問題的一個(gè)必要工具，具有較強(qiáng)的邏輯性和廣泛的實(shí)用性。

根據(jù)筆者所在高校教務(wù)處的調(diào)查，線性代數(shù)成為學(xué)生最易掛科的課程之一，這一方面與學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高有關(guān)，另一方面也和教師授課模式以及選擇的教材有關(guān)。現(xiàn)在我們選用的教材，基本以線性代數(shù)基礎(chǔ)理論講解為主，并且給出的理論證明較多，由于課時(shí)安排的限制，教師基本按照書上的理論進(jìn)行授課，很少給學(xué)生們提供實(shí)際案例進(jìn)行分析。然而線性代數(shù)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)處理、經(jīng)濟(jì)模型、密碼學(xué)、圖論等學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用。因此，在教學(xué)過程中，有目的地引入案例進(jìn)行教學(xué)，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深他們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。

運(yùn)用以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，教師針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，事先根據(jù)學(xué)生的專業(yè)情況選擇合適的案例，可以有效喚起學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣。教師可在關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行引導(dǎo)和啟發(fā)，讓學(xué)生們積極討論，發(fā)表各自的觀點(diǎn)，教師再對(duì)他們的想法進(jìn)行點(diǎn)評(píng)分析，使學(xué)生們的學(xué)習(xí)始終處于“問題—思考—探索—解答”的積極狀態(tài)，這不僅能加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，更重要的是培養(yǎng)了他們從不同角度解決問題的能力。

筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)具體的案例，通過案例來講授線性代數(shù)中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。線性方程組的求解是線性代數(shù)課的主要內(nèi)容，現(xiàn)在大多數(shù)教科書直接給出列方程組的數(shù)學(xué)公式，接著對(duì)其對(duì)應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行初等變換，進(jìn)而討論方程組解的情況。這種講解方式會(huì)使學(xué)生們感到求解線性方程組比較抽象和枯燥，如果以城市中幾個(gè)關(guān)鍵路口的交通網(wǎng)絡(luò)流量來建立方程組，再進(jìn)行求解分析，會(huì)大大提高學(xué)生們的興趣。

案例一：交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問題

交通擁堵的問題是各大城市發(fā)展過程中面臨的首要問題，對(duì)城市交通網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是提高車輛通行能力的重要方法。分析和評(píng)價(jià)城市道路網(wǎng)中每條道路、每個(gè)交叉路口的車流量是首要工作。城市某交通路口單行線如圖1所示， 其中數(shù)字表示上下班高峰期監(jiān)測(cè)到的每小時(shí)該路段按箭頭方向行駛的車輛數(shù)。

教師要求學(xué)生根據(jù)實(shí)際車流量信息設(shè)計(jì)流量控制方案，必要時(shí)可以設(shè)置單行線，提高車輛通行能力，避免交通出現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間擁堵。教師可請(qǐng)學(xué)生們根據(jù)車流量信息建立線性方程組，同時(shí)為確定車輛通行的準(zhǔn)確信息，思考還需要對(duì)哪些道路的車流量進(jìn)行監(jiān)控？此外，當(dāng)x4=400時(shí)，確定x1、x2、x3的值；若x4=150，思考圖中單行線的設(shè)計(jì)是否合理？

【模型建立】 根據(jù)道路交通實(shí)際通行情況，讓學(xué)生們注意下面兩個(gè)假設(shè)條件。第一，每個(gè)箭頭代表的都是單行道路；第二，進(jìn)入每個(gè)路口的車輛和駛離的車輛相等。接著引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用上面兩個(gè)條件建立線性方程組，尤其是讓他們注意到進(jìn)入和駛離的車輛相等這一關(guān)鍵假設(shè)。再根據(jù)上圖車流量統(tǒng)計(jì)情況，對(duì)①、②、③、④四個(gè)路口進(jìn)出車輛數(shù)量建立如下線性方程組：

【模型求解】線性方程組的求解是線性代數(shù)重點(diǎn)研究的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生們?nèi)绾芜\(yùn)用消元法解方程組，相應(yīng)地通過初等變換化其對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為行最簡(jiǎn)形式，結(jié)果如下：

為了確定唯一未知量，只需增添x4統(tǒng)計(jì)的值即可。

當(dāng)x4=400時(shí)，確定x1=300，x2=200，x3=100。

若x4=150，則x1=50，x2=450，x3=150<0。這表明單行線“③？邛④”應(yīng)該改為“③？鄺④”才能有效緩解擁堵。

通過本案例的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生們來說，線性方程組不再是抽象的數(shù)學(xué)公式，而是可以用來解決實(shí)際問題的工具。這一過程有助于加深學(xué)生們對(duì)方程組的建立和求解這一過程的理解，更好地掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教師還可以結(jié)合他們感興趣的話題設(shè)計(jì)案例，比如女孩子普遍比較關(guān)心自己的體重，我們可以用減肥食譜的配置這個(gè)案例來講解線性方程組解的判斷和求解。

案例二：減肥食譜的配置

隨著人們生活水平的提高，越來越多的人開始注意日常飲食情況，下面的表格列出了三種食物中每100克蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量，表中最后一列是劍橋大學(xué)醫(yī)學(xué)院工作人員給出的每日所需的基本營(yíng)養(yǎng)處方。提出問題：如果一個(gè)人每天使用這三種食物作為主要食物，那么他應(yīng)該吃多少就能達(dá)到營(yíng)養(yǎng)要求。

【模型建立】 設(shè)香蕉的用量為x1個(gè)單位（100g），口蘑的用量為x2個(gè)單位（100g），瘦牛肉的用量為x3個(gè)單位（100g），表中的三個(gè)營(yíng)養(yǎng)成分列向量為：

即香蕉食用157g，口蘑食用56g，瘦牛肉食用55g，就能保證一個(gè)人每日所需的綜合營(yíng)養(yǎng)量。

最后讓學(xué)生們展開討論，從網(wǎng)上搜索常見食物營(yíng)養(yǎng)成分表，尋找三種常見食物，給自己制定一份健康的套餐。通過這個(gè)案例的學(xué)習(xí)，學(xué)生們對(duì)線性組合的概念有了更深的理解，同時(shí)也掌握了線性方程組有唯一解的判定，以及如何借助MATLAB軟件求解線性方程組。

在線性代數(shù)的案例式教學(xué)中，教師要根據(jù)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，有目的地設(shè)計(jì)一些案例，使學(xué)生們通過案例不僅學(xué)會(huì)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也了解到其應(yīng)用背景，擴(kuò)大視野，提高學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣，這對(duì)于提高線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量是非常有益的。

（責(zé)編 陳 穎）