利用三角形相關知識證明線段相等的常用方法

章建斌

可以說證明兩條線段相等是初中幾何證明中比較基本的題目。證明兩條線段相等看似簡單，但所適用的定理也比較多，要想熟練掌握，其實也不是一件容易的事情，為此，現就從三角形相關知識出發進行探究，僅供同學們參考。

一、利用兩三角形面積相等地，等底必等高，等高必等底證明

在三角形中需要證明等底或等高時，可以利用面積相等證明。

[例1]求證：等腰三角形兩腰上的高相等。

證明：如圖1，在等腰中，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E

∵，而AB=AC，∴BD=CE

二、利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明線段相等

如果所證兩線段所在的圖形能構成直角三角形，并且可能構成斜邊及斜邊上的中線，用上面方法一時證不出來，可以考慮此法。

[例2]如圖2，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，EC和DF相交于G，連接AG，求證：AG=AD。

證明：作DA、CE的延長線交于H

∵ABCD是正方形，E是AB的中點

∴AE=BE，∠AEH=∠BEC，∠EBC=∠EAH=90°

∴△AEH≌△BEC（ASA）∴AH=BC，AD=AH

又∵F是BC的中點

∴Rt△DFC≌Rt△CEB

∴∠DFC=∠CEB

∴∠GCF+∠GFC=∠ECB+∠CEB=90°

∴∠CGF=90 ∴DGH=∠CGF=90°

∴△DGH是Rt△ ∵AD=AH

∴AG==AD

三、利用等腰三角形三線合一證明線段相等

若要證明兩條線段在同一直線上并且有共同端點，可以考慮此法。

[例3]如圖3，已知△ABC為Rt△，D為，DEAC于E，DF⊥BC于F。求證：AE=CE，BF=CF，證明：連結CD

∵D為RtABC的斜邊AB的中點

AD=CD=BD

∴△ADC與△CDB均為等腰三角形

又∵DE⊥AC，DF⊥BC

∴AE=CE，BF=CF.（等腰三角形底邊上的高線平分底邊）

四、利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等

如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。

[例4]如圖4，

在△ABC中，∠ACB=90°，角平分線BE與高CD相于F，求證：CE=CF.

證明：在Rt△DBF與Rt△BCE中

∵∠DBF=∠CBF，∴∠DBF=∠CEF

又∵∠DBF=∠CFE，∴∠CFE=∠CEF

∴CE=CF（等邊對等角）

五、利用三角形內心性質證明線段相等

題中如有多條三角珙內角角平分線，可以考慮是不是能用內心的性質。

[例5]如圖5，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的中線，∠B、∠C的平分線交于H，求證：H到AB、BC、CA的距離相等。

證明：AB=AC，AD是BC邊上中線

∴AD平分∠ADC且AD⊥BC，而∠B、∠C的平分線交于H

∴H是△ABC內心，∴所以H到AB、BC、CA的距離相等

六、利用全等三角形的性質證明線段相等

利用全等三角形證明線段相等是比較常用方法。如果兩條線段分別在不同三角形中，它們所在三角形看似全等，或者通過簡單處理看似全等，可以優先考慮此法。

[例6]如圖6，C是線段AB上一點，△ACD和△BCE是等邊三角形。求證：AE=BD。

證明：∵△ACB和△BCE都是等邊三角形

∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°

∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°

∠BCD=∠BCE+∠DCE=120°

∴AC=CD，CE=CB

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=DB

總之：證明線段相等的方法還有很多，如利用平行四邊形的性質、三角形中位線，中垂線等等，方法眾多，不一一列舉，教師應把握住幾何證明題的關鍵、尋找有價值的解題方法，因勢利導、另辟蹊徑，從而提高學生的數學能力，為學生的成長奠定基礎。