一次函數教學的幾個關鍵點

胡鎮茂

一次函數是初中階段數學的重點內容，它是學好其它函數知識的基礎；也是初中數學中比較難學、比較抽象的一塊內容，不僅令許多學生望而生畏，覺得“頭疼”“難啃”的內容，同時也讓不少教師在教學過程中左右為難。教學中老師雖然講的很努力，但學生做作業時仍會遇到很多困難。一次函數是刻畫現實世界變量間關系的最為簡單的一個模型，學好一次函數對以后進一步學習其它函數有著至關重要的作用！以下就一次函數的教學談一些我的建議。

一、透徹理解函數和一次函數概念內涵

變量和變量之間關系的內容，非形式化地開始對函數內容的學習，學生感受現實世界中變量和變量之間存在的各種各樣的關系及其規律，了解表示這些關系的基本方法，在此基礎上建立函數的概念，進一步構建“數”與“形”的模型.首先，理解和吃透函數概念的內涵。在一個變化過程中，兩個變量x和y，對于x的每一個值y都有唯一的值和它對應，這時y叫做x的函數，x叫做自變量。在函數概念中，凸顯“唯一性”，正是展現函數的深層內涵。在深刻理解函數概念基礎上，要抓住一次函數概念y=kx+b（k≠0）的本質，k、b為常數，且k≠0，自變量x的次數為1。

例如：已知y=（k-2）xk2-3+1，當k為何值時，y是x的一次函數？

解：設k2-3=1，得k=±2，

但當k=2時，比例系數k-2=0，不合要求，所以只取k=-2

二、揭示函數與圖象的辯證關系，滲透數形結合思想，領會k、b值的正負對一次函數y=kx+b（k≠0）圖象的影響

函數解析式及其圖象都是函數的表示形式，均揭示了函數與自變量的互動性，它們之間有著必然的聯系。解析式決定圖象，而圖象直觀反映了解析式中函數與自變量的變化規律，同時具有互補性。圖象補充了解析式沒有的直觀性、形象性，而解析式填補了圖象沒有的完整性、準確性。在一次函數y=kx+b（k≠0）中，k、b的不同取值決定著不同的函數解析式，從而決定不同的函數圖象，特別k、b值的正負對圖象影響相當明顯。

（1）k>0時，圖象必過一、二象限，從左到右，圖象上升，y隨x的增大而增大；k<0時，圖象必過二、四象限，從左到右圖象下降，y隨x的增大而減小。

（2）b>0時，圖象交y軸于正半軸；b<0時，圖象交y軸于負半軸。

因此，在教學中讓學生深刻領會k、b值的正負對函數圖象的影響，是學生對一次函數實質理解的一個關鍵。還應注意學生容易出現“一次函數的圖像都是一條直線”的誤區

在一次函數教學中要將生活實際與一次函數做到有機結合，從而培養學生運用函數解決實際問題的能力。在畫實際問題的一次函數圖像時，要注意圖像受自變量的取值范圍的條件限制，而不是“一次函數的圖像都是一條直線”，有時圖像可能是一條線段或射線或有限個點組成。

三、比較一次函數與正比例函數，滲透類比思想，培養知識遷移能力

正比例函數y=kx（k≠0）是一次函數y=kx+b（k≠0，k、b為常數）的特殊情形，有它的特殊性；直線y=kx（k≠0）過原點（0，0），但兩者都有"圖象都是一條直線"的共性。

教學中通過舉例子、列表格比較正比例函數和一次函數性質及圖象，借助類比，把握它們的共性和正比例函數的特殊性；通過函數知識遷移，利用它們的共性，解決一次函數相關問題。

例如：把直線y=3x向下平移2個單位得到的直線解析式是……。

解析：直線y=3x向下平移2個單位，說明所得的直線與直線y=3x平行，且與y軸交于（0，-2），若設所求直線解析式為：y=kx+b，

則k=3，b=-2，

故所求的解析式為y=3x-2。

四、掌握一次函數解析式求法，滲透待定系數法思想

求一次函數y=kx+b（k≠0）的解析式，關鍵是確定常數k、b的值，那么又怎樣確定呢？我們知道，一次函數y=kx+b（k≠0，x為全體實數）的圖象是一條直線，而“兩點”可確定一條直線。因此，在教學中讓學生明確，只要求出直線上兩點坐標，再利用待定系數法建立關于k、b的方程組，即可求出k和b的值。

例如：已知一次函數過點A（-1，-5）和點B（2，1），求此函數解析式。

解：設所求的一次函數解析式為y=kx+b，

因為一次函數過A（-1，-5）和點B（2，1），所以-k+b=-5，且2k+b=1

即：k=2， b=-3

故所求的函數解析式為y=2x-3

五、揭示一次函數與一次方程（組），不等式（組）聯系，運用函數觀點解決方程、不等式問題

運用一次函數觀點解決一次方程（組）、不等式（組）的問題時，學生只會一味地想到去解一次方程（組）、不等式（組）而忽視數形結合的思想。有的教師在教學中可能很少培養學生用函數的觀點認識數學問題，用變化和對立的眼光分析問題，加強各種知識間的聯系。這時作為教師，我們應該培養學生運用數形結合的思想來解決問題，通過一次函數圖像的交點來解一次方程（組）、不等式（組），給學生以形象、直觀的印像。

（1）一次函數與一次方程、不等式關系：“解方程kx+b=0”相當于“x為何值時，一次函數y=kx+b的值為0”；“解不等式kx+b>0（或<0）”等價于“x為何值時，一次函數y=kx+b的值大于0（或小于0）”。

例如：利用一次函數圖象解不等式2x-4≥0。

解：設y=2x-4，過（0，-4）和（2，0）畫直線，∴由圖象可知，當x=2時，y=0；當x>2時，y>0，∴不等式2x-4≥0的解為x≥2

（2）一次函數與二元一次方程組的關系：從“數”的角度看：

解方程組：

{y=k1x+b1

y=k2x+b2

相當于x為何值時一次函數y=k1x+b1的值與一次函數y=k2x+b2的值相等；從“形”角度看，解方程組相當于求兩直線的交點坐標。

例如：利用一次函數圖象解方程組

{x-y=5

y+x=3

解：由原方程組得y=x-5 ①

y=-x+3 ②

畫出①、②的函數圖象，交點坐標為（4，-1），則方程組的解為

{x=4

y=-1

總之，在一次函數的教學中，既要借助于類比思想，又要用數形結合的方法進行教學，只有這樣教學效果才會更加顯著，學生學的才會更愉快。不能僅僅著眼于具體題目的解題過程，而應不斷加深對相關數學思想方法的領會，從整體上認識問題的本質。數學思想方法是通過數學知識的載體來體現的，對于它們的認識需要一個較長的過程，即需要教材的滲透，也需要教師的點撥，最后還需要學生自身的理解和感悟。結合函數內容學習可以對數形結合的方法順勢自然地理解，并逐步加以靈活運用，發揮從數和形兩個方面共同分析解決問題的優勢，并在這一過程中培養學生的數學思想方法。