提高學生列方程解決實際問題能力的思考與實踐

蔡曉紅

《義務教育數學課程標準（2011年版）》實施了幾年，有關問題解決的新教材內容呈現形式多樣，除文字敘述外，還有表格、圖畫、對話等形式，并設置了有多余條件或開放性的問題，這對培養學生學習能力和思維靈活性大有裨益，但同時也加大了學生解題的思考難度。為了降低學生解決實際問題的思考難度，拓寬學生解決實際問題的思路，小學數學五年級引入了列方程解決問題的方法。

用列方程的方法來解決實際問題不僅是問題解決的一種策略，更是一種重要的數學思想方法。要培養學生列方程解決實際問題的意識，就要引導學生突破思維定勢障礙，讓學生對列方程解決實際問題經歷“有用——會用——愛用——活用”的過程。具體地說，就是通過對教學的精心設計和安排，讓學生對比兩種思維模式的區別，體會利用方程解題是變逆向思維為順向思維的優勢，提高學生分析數量關系能力。這樣，學生就能根據題目的特點，對等量關系進行分析，選擇最佳的解題方法，為以后學習解決更復雜的應用題打下牢固的基礎，為繼續深入學習提供動力。

1. 有用：用算術方法與列方程解決實際實際問題的對比，凸顯后者的優越性

算術方法是將未知量放在特殊位置，設法通過已知量列出綜合算式求出未知量；而列方程解法是把所求的未知量用字母代替，客觀上已將未知量轉化成已知量，這樣就把所求的未知量與已知量放在平等的地位，從中找出各數量之間的關系，最后利用某一個相等的關系列出方程。算術解法比較強調類型、有模式；列方程解法應用知識比較靈活，注重數量關系分析。部分學生在剛開始學習列方程解應用題時，易受算術解題方法的干擾，解決問題的思路依然停留在算術法上，導致他們先用算術解法，再把它倒推成方程，出現了一種為滿足題中要求用方程解答而用方程的現象。一方面說明了學生受算術法的影響太深，形成了思維定勢，習慣于利用算術法解決問題；另一方面說明用方程解決問題的題目讓學生在比較算術法和列方程解決問題時，體會不到列方程解決實際問題的優越性。故教師教學時應設計有較強針對性的題目。如“某班有女生38人，比男生的2倍多4人，男生有多少人？”這類題目用算術方法解答，能正確解答并明白每個步驟的意思的學生約占全班2%。但若用列方程解決，可先找出等量關系：女生人數=男生人數×2+4；再進行分析：38=？×2+4；從而列出方程：2x+4=38。在算術方法與列方程解決問題的思考過程的對比中，經歷多次的錯誤后，學生初步體會到這類題目用算術解法是一種“逆向思維”，列方程解答是“正向思維”。從思維角度看，列方程解決問題比算術解法的思路更清晰。

2. 會用：學會抓題中的等量關系，掌握列方程解決實際問題的方法

列方程解決實際問題的難點在于能根據實際問題找出數量間的相等關系。學生找不到題中的等量關系就不能正確解題，而等量關系式變化很多，從不同的角度可以找出不同的數量關系式，從而列出不同的方程。故教師應重點教給學生從實際問題中分析數量關系的方法（如從關鍵句中找等量關系、從基本數量關系進行分析、從計算公式找等量關系，等等），讓學生掌握解決問題的基本規律，形成正確的解題思路。這樣不僅僅是教會學生列方程解決問題，而且使學生掌握解決問題的一般方法：找等量關系，選擇方法（算術或方程）。

3. 樂用：用同一等量關系解決多道題，體會列方程解決實際問題的實用性

在日常教學中有的學生會問：這道題要用方程來解答嗎？這就表明學生并沒有真正掌握列方程解決問題的要領，還沒有意識到列方程解決問題實質是分析題目后因需要而選用的方法。為了使學生體會列方程解決問題的優越性，可設計一組這樣的題目：

（1）兩列火車從AB兩站相向而行。一列快車從A站開出，平均每小時行79千米；同時一列慢車從B站開出，平均每小時行40千米。經過3小時相遇。問這段鐵路長多少千米？

（2）兩列火車從相距357千米的AB兩站相向而行。一列快車從A站開出，平均每小時行79千米；同時一列慢車從B站開出，平均每小時行40千米。問經過多少小時兩車相遇？

（3）兩列火車同時從相距357千米的AB兩站相向而行。一列快車從A站開出，平均每小時行79千米；一列慢車從B站開出，經過3小時兩車相遇。問慢車平均每小時行多少千米？

（4）兩列火車同時從相距357千米的AB兩站相向而行。一列慢車從B站開出，平均每小時行40千米；一列快車從A站開出，經過3小時兩車相遇。問快車平均每小時行多少千米？

這4道題都可以借助同一基本數量關系“速度和×相遇時間=路程”來解答。

（1）速度和× 相遇時間=路程

（79+40）× 3= ？

（2）速度和× 相遇時間=路程

（79+40）× ？= 357

（3）速度和× 相遇時間=路程

（ 79+ ？）× 3 = 357

（4）速度和× 相遇時間=路程

（ ？ + 40）× 3 = 357

上面的分析會讓學生意識到：在（1）題的數量關系里， 未知數量在等號的一邊，已知數量在等號的另一邊時，就用算術方法解答較方便；而（2）～（4）題等號的某一邊既有已知數量，也有未知數量，用列方程的方法解答更有優勢。引導學生逐步學會根據問題特點，靈活選擇比較簡便的算法，在提高解決實際問題能力的同時，可以避免學生根據題目問什么就設什么這一現象的出現，從而讓學生從分析中正確選擇未知元，有效地掃除列方程過程中的思維障礙，增加解題的靈活性。這樣就使學生在自身解題的需求中樂用列方程解決問題，在多次的成功解題中不知不覺地愛上運用列方程解決問題。

4. 活用：用列方程解決較復雜的問題，培養學生思維的靈活性

由于利用方程解決實際問題具有思考過程比較直接、簡明的特點，能使某些實際問題的解決化難為易。學生對于一些奧數題向來就有畏難的情緒，在學習列方程解決問題后，可讓學生嘗試解決一些以前認為是難題的題目，如雞兔同籠、盈虧問題等。如果用算術的解法列式，不但思考費勁，而且解題思路常常迂回曲折，局限性較大，能解答此類題往往是尖子生們的“專利”。而學習列方程解決問題后，此類題變得簡單易懂甚至連后進生也能正確解答，這就大大增強他們學習數學的興趣和信心。

用方程解決實際問題是小學數學的一個重要內容，是發展學生思維品質的有效途徑。學會列方程解決問題方法，有利于減少學習困難，克服解決實際問題的畏難情緒，有效地提高學生解決實際問題的能力。

注：本文系2015年廣州市教育科學“十二五”規劃課題（名師專項課題）《小學數學問題解決教學中教師PCK的研究》（課題批準號：1201543221）的研究成果之一。

責任編輯 羅 峰