橢圓性質中的定值探究

王中學

圓錐曲線優美、和諧，尤其是橢圓。它有許多內涵豐富，應用廣泛的幾何性質，吸引著數學愛好者樂此不疲地去研究它、發掘它、拓展它[1]。本文主要是研究橢圓中的一些定值，定性問題。

結論一：

已知橢圓x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0），右焦點F為（c，0），過點F的直線交橢圓于點A、B.

若AF=mFB（m>1），且直線l的傾斜角為a（0

證明：易知橢圓的右準線l1：x=a2[]c，作BB1⊥l1，AA1⊥l1，垂足分別為B1、A1，再作BD⊥AA1交AA1于點D.

由橢圓的定義得：|BF|[]|BB1|=e，|AF|[]|AA1|=e.

∴|AD|=|AA1|-|BB1|=1[]e（|AF|-|BF|）=m-1[]e|BF|

又|AB|=|AF|+|BF|=（m+1）|BF|

∴cosa=cos∠BAD=|AD|[]|AB|=1[]e m-1[]m+1即e cosa=m-1[]m+1.

例1：（2010全國Ⅱ，理）已知橢圓C：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）的離心率為3[]2，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A、B兩點，若AF=3FB，則k等于（）A.1B.2C.3D. 2

解答：B.由結論1可知e cosa=m-1[]m+1，又m=3，e=3[]2，∴3[]2 cosa=3-1[]3+1=1[]2，∴cosa=3[]3，又k=tana=2.

結論二：

已知橢圓x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0），A、B為橢圓上相異的兩點，且OA⊥OB，若圓o：x2+y2=r2與直線AB相切，則r=a2b2[]a2+b2.

證明：①當直線AB斜率不存在時，則直線AB的方程為：x=m.

設A（x1，y1），B（x2，y2）.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0

∴x1=x2=m，y1=-y2=m.

又點A在橢圓上，

∴m2[]a2+m2[]b2=1m2=a2b2[]a2+b2=r2

②當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為：y=kx+m

即kx-y+m=0.則r=|m|[]1+k2r2=m2[]1+k2

又y=kx+mx2[]a2+y2[]b2=1（b2+a2k2）x2+2mka2x+a2m2-a2b2=0

設A（x1，y1），B（x2，y2）.∴x1+x2=-2mka2[]b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2[]b2+a2k2.

由OA⊥OB⊥得x1x2+y1y2=0∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0

即（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=0

將x1+x2=-2mka2[]b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2[]b2+a2k2 代入上式并化簡得：

（a2+b2）m2=a2b2（1+k2）m2[]1+k2=a2b2[]a2+b2=r2

綜上，r2=a2b2[]a2+b2即r=a2b2[]a2+b2.

例2.（2009山東卷理）

設橢圓E：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）過M（2，2），N（6，1）兩點，O為坐標原點。

（1）求橢圓E的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。

解：（1）因為橢圓E：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）過M（22），N（6，1） 兩點，

所以4[]a2+2[]b2=16[]a2+1[]b2=1解得1[]a2=1[]81[]b2=1[]4所以a2=8b2=4

∴橢圓E的方程為x2[]8+y2[]4=1。

（2）由上述結論可知該圓存在，且圓的方程為：x2+y2=8[]3。|AB|的取值范圍省略。

結論三：

已知橢圓x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0），直線l：x=m（-a

證明：由題意可設直線l1的方程為：

y-n=k（x-m）k≠0.

則直線l2的方程為：y-n=-k（x-m）

∴y-n=k（x-m）x2[]a2+y2[]b2=1

（b2+a2k2）x2-（2mk2a2-2a2nk）x+a2（m2k2-2nmk+n2-b2）=0

設P（xp，yp），Q（xQ，yQ）

∴xp+m=2mk2a2-2a2nk[]b2+a2k2

∴xp=mk2a2-2a2nk-b2m[]b2+a2k2，yp=n+k（xp-m）

同理：xQ=mk2a2+2a2nk-b2m[]b2+a2k2，yQ=n-k（xQ-m）

∴kpQ=yp-yq[]xp-xQ=k（xp+xQ）-2mk[]xp-xQ=2k（a2k2m-b2m）[]b2+a2k2-2mk[]-4a2nk[]b2+a2k2

=2a2k2m-2b2m-2m（b2+a2k2）[]-4a2n=-4b2m[]-4a2n=b2m[]a2n

例3.（2009遼寧卷理）

已知，橢圓C過點A（1，3[]2），兩個焦點為（-1，0），（1，0）。

（1）求橢圓C的方程；

（2）E，F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。

解：

（1）由題意，c=1，可設橢圓方程為1[]1+b2+9[]4b2=1，解得b2=3或b2=-3[]4（舍去）所以橢圓方程為x2[]4+y2[]3=1。

（2）由結論四可知，直線EF的斜率為定值且斜率kEF=b2m[]a2n=3[]4×2[]3=1[]2

從上述性質中可以發現，橢圓中的定值與橢圓的長軸和短軸有很密切的關系。本性質提出的是一般規律，但其證明過程較為繁瑣，不易運用，在考試中可以以特例的形式出現，考查學生的探究能力。

參考文獻：

[1]葉良志，盧瓊圓錐曲線兩兩垂直焦點弦的一組性質.中學數學.高中版.2012.3.

[2]五年高考三年模擬.首都師范大學出版社.2011版.高考理數.橢圓的性質.