有關折弦定理的幾個推論

吳文龍

摘 要：折弦時常應用于初中數學競賽試題中，對數學競賽的輔導與學習具有良好的作用，證明了著名的“阿基米德折弦定理”的逆定理及幾個推論，以后可直接運用。

關鍵詞：折弦；定理；推論

在同一圓上有公共點的兩條弦組成一條折弦。折弦時常應用于初中數學競賽試題中，對數學競賽的輔導與學習具有良好的作用，值得研究和探討。下面討論幾個有關折弦的命題。

命題1：如圖，若弦AB、BC組成⊙O的一條折弦，BC>AB，D是弧ABC的中點，DE⊥BC，垂足為E，則E是折弦ABC的中點，即CE=BE+AB.

此命題即著名的“阿基米德折弦定理”。此命題的證明是不難理解的，有此定理的11種證法。

該定理常規的證明方法有以下幾種：

阿基米德折弦定理證法1：補短法

如圖，延長DB至F，使BF=BA

∵M是弧ABC的中點

∴∠MCA=∠MAC=∠MBC

∵MBAC四點共圓

∴∠MCA+∠MBA=180°

∵∠MBC+∠MBF=180°

∴∠MBA=∠MBF

∵MB=MB，BF=BA

∴△MBF≌△MBA

∴∠F=∠MAB=∠MCB

∴MF=MC

∵MD⊥CF

∴CD=DF=DB+BF=AB+BD

阿基米德折弦定理證法2：截長法

如圖，在CD上截取DG=DB

∵MD⊥BG

∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC

∵M是弧ABC的中點

∴∠MAC=∠MCA=∠MGB

即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA

又∠MGB=∠MCB+∠GMC

∴∠BMA=∠GMC

∵MA=MC

∴△MBA≌△MGC

∴AB=GC

∴CD=CG+GD=AB+BD

阿基米德折弦定理證法3：垂線法

如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H

∵M是弧ABC的中點

∴MA=MC

∵MD⊥BC

∴∠MDC=90°=∠H

∵∠MAB=∠MCB

∴△MHA≌△MDC

∴AH=CD，MH=MD

又∵MB=MB

∴Rt△MHB≌Rt△MDB

∴HB=BD

∴CD=AH=AB+BH=AB+BD

命題2：如圖，若弦AB、BC組成⊙O的一條折弦，BC>AB，D是折弦ABC的中點，DE⊥BC，垂足為E，則E是弧ABC的中點，即CE=AB+BE.

此命題是命題1的逆命題，就稱“阿基米德折弦逆定理”。證明也不難理解，延長CB到A′，使BA′=BA，連接CE、EA′、AA、EA即可得證。

這兩個定理體現了數學的和諧美，由這兩個定理不難聯想到以下兩個有用命題。

命題3：如圖，若弦AB、BC組成⊙O的一條折弦，BC>AB，P是弧AC的中點，PQ⊥BC，垂足為F，交⊙O于Q，AQ交BC于R，則

（1）CF=RF；

（2）PB垂直平分AR；

（3）AB=BR.

證法：連接CQ，先證△CQF≌△RQF，得到CF=RF；

再證△ABS≌△PBS，得到PB垂直平分AR，AB=BR.

命題4：如圖，若弦AB、BC組成⊙O的一條折弦，BC>AB， D是弧ABC的中點，P是弧AC的中點，DE⊥BC，垂足為E， PQ⊥BC，垂足為F，交⊙O于Q，AQ交BC于R，則

（1）BE=CF；

（2）AB=EF；

（3）DE∥QF， DE=QF；

（4）DB∥AQ.

此命題可由命題1和命題3加以證明，證明過程略。

參考文獻：

[1]周春荔，張寧生.數學奧林匹克教材（普及版）[M].北京：首都師范大學出版社，1994.

[2]張昕.一道初中競賽題的證法探討[J].中學數學教學參考，1999（3）：32-33.

？誗編輯 孫玲娟