“直線與圓的位置關系”說課案

霍志峰

今天我說課的題目是人教A版必修二第四章第二節《直線與圓的位置關系》，本節課我將基于教什么、怎么教、為什么這么教，從以下五個方面闡述我的教學設想。

一、教材分析

直線與圓的位置關系是對圓的方程應用的延續與拓展，又是后續研究圓與圓的位置關系及直線與圓錐曲線的位置關系等內容的基礎。在直線與圓的位置關系的判斷方法的建立過程中蘊含著諸多的數學思想方法，這對進一步探索研究后續內容有很大的啟發與示范作用。因此本節課具有承上啟下的作用。

二、學情分析

初中學生已經直觀討論過直線與圓的位置關系，前階段又學習了直線與圓的方程及圓的有關性質，雖然對這部分內容比較熟悉，但對如何利用坐標法判斷直線和圓的位置關系和數形結合思想的應用還有待探究和提高。

三、目標分析

1.教學目標

知識與技能：掌握根據直線和圓的方程判斷它們位置關系的方法；熟練運用直線和圓的位置關系解決有關問題。

過程與方法：通過觀察實際中的問題情境，將之化歸為判斷直線和圓的位置關系問題，逐步形成用代數方法解決幾何問題的坐標法思想；領悟數形結合的魅力，提高發現問題，分析問題，解決問題的能力。

情感、態度與價值觀：關注知識的生成過程，使學生養成問問題的習慣及勇于發現、主動探索的精神，讓學生感受學習的成功與快樂。

2.教學重點、難點

重點：利用方程判斷直線和圓的位置關系的方法。

難點：直線和圓的位置關系的靈活運用。

四、教法、學法分析

1.教法分析：運用啟發式教學方法，創設問題情境，調動學生求知欲，激發學生的探究心理。

2.學法分析：貫徹以學生為主體的探究式學習。通過自學、觀察、嘗試演算獲取知識，在探究過程中，學生的分析、歸納和推理能力得到提高。

五、教學過程分析

環節一：創設情境，引入新課

我國對釣魚島周圍30 km的圓形區域實行警戒防御，現發現在釣魚島正西70 km處有艘日本船，前往釣魚島正北40 km處，若日本船只沿直線行駛，請問同學們我國是否采取軍事行動予以驅趕？

【設計意圖】通過對引例的改編，利用釣魚島創設情境，引入新課，提高學習興趣，體驗數學與生活的密切聯系。

環節二：探索研究，構建新知

問題1：你能用初中的平面幾何知識解決這個問題嗎？

問題2：能否用直線與圓的方程來解決這個問題？

【設計意圖】通過問題引領方式，引導學生主動回顧初中所學直線與圓的三種位置關系及判斷方法，進而引發新知識增長點，為接下來例1的學習做好鋪墊。

問題3：例1：已知直線l：3x+y-6=0和圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線和圓的位置關系；若相交，求交點坐標。

【設計意圖】方法一：代數法，方法二：幾何法，讓學生體會兩種方法的優缺點，培養學生思維的全面性。

環節三：反思過程，提煉方法

方法一：①聯立；②消元，判斷方程解的個數；③定位置關系。

方法二：①求圓心、半徑，計算圓心到直線的距離；②比較距離與半徑的大小；③定位置關系。

【設計意圖】學生在教師的點撥下，根據例1的探究與板演展示，自己總結歸納解題方法。由特殊到一般，符合學生的認知規律。

環節四：課堂演練，強化方法

1.解決引入中的問題。

2.判斷直線3x+4y+2=0與圓x2+y2-2x=0的位置關系。

3.已知直線y=x+2，圓C：x2+y2-2y-4=0，判斷直線與圓有無公共點，若有，求其坐標。

【設計意圖】讓學生獨立完成，鞏固和檢測學生對直線和圓位置關系的掌握情況，巡視解決可能存在的疑難點，并讓其思考：（1）這道題還有別法嗎？（2）這道題是否可以引申？

環節五：變式演練，深入探究

變式1：求例1中直線與圓所形成的弦長AB。

變式2：由點A（-2，2）引圓C：x2+y2=9切線，求切線方程。

變式3：求圓C：x2+y2+4y-21=0上的點到直線x+y-10=0的最大距離和最小距離。

【設計意圖】通過變式演練，提高學生從不同方面掌握直線與圓的位置關系，進一步體會數形結合思想的優越性。

變式4：例2：過點M（-3，3）的直線被圓C：x2+y2+4y-21=0截得弦長為4，求直線方程。

【設計意圖】通過例2的學習，培養學生舉一反三的能力，進而提高學生分析、解決問題的能力和思維的嚴密性。

環節六：課堂小結，分享收獲

1.直線和圓的位置關系的判斷方法？

2.研究直線與圓的位置關系的主要方法？

3.本節課留給你印象最深的是什么？數形結合思想是我們高中數學學習的重要思想，作為課堂的延伸你能否總結一下我們所學的哪些內容還滲透數形結合思想？

【設計意圖】新課程強調尊重學生的差異，鼓勵學生的個性發展，所以課堂小結我設置總結性內容及開放性問題，期望這些問題使學生體驗學習數學的快樂。

環節七：分層作業，自主探究

必做題：課本P132 習題4.2 A組1，2，3。

選做題：已知C：（x-2）2+（y-2）2=5的一條弦AB過點（3，1），且長為4，求直線AB的方程。

自主探究題：判斷圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0與圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0的位置關系。

【設計意圖】讓學生鞏固所學內容并自我檢測與評價，讓不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，并為下一課時學習圓與圓的位置關系埋下伏筆。

當然，在實際教學中，可能會受到若干因素干擾，這就要求老師沉著冷靜，適時適度調整教學設計，以保證教學任務的順利完成。最后以華羅庚的一首詩結束本次說課。

數缺形時少直觀，形少數時難入微。

數形結合百般好，割裂分家萬事休。

參考文獻：

周建偉.巧用直線與圓的位置關系解題[J].數學教學研究，1999（5）.

？誗編輯 孫玲娟