“手拉手”

鈕曉杰

全等三角形這一章的學習全部結束后，周末在家復習，我發現了一系列的問題，實在讓我興奮，于是便迫不及待地整理出來了，現和同學們分享！

問題引子：如圖1，在△AEC、△ADB中，∠EAC=∠DAB=90°，AE=AC，AD=AB，連接BE、DC，請說明線段BE、DC的關系.

思考過程：這題很特別，圖中有兩個等腰直角三角形，這兩個三角形很好玩，直角頂點是公共的，它們就像“手拉著手的好朋友”一樣，肯定會擦出火花. 老師在課上都是邊讀題邊在圖中標注，我為了方便觀察，也把相等的邊和角用彩筆標注出來（很遺憾，電子稿看不出來，說明一下：AE、AC用紅色標注，AD、AB用藍色標注），因為研究的是BE、CD的關系，所以我把目光落到△EAB、△CAD上，正好分別有紅邊、藍邊各一條，現在“邊”的條件用光了，就得挖掘“角”的功效了，而我只能證相等兩邊的夾角相等，因為如果我選其余的角，那就是典型的“邊邊角”結構，這是不能證明三角形全等的. 怎么辦呢？還有兩個直角沒有用呀！兩個直角之間隔了個∠BAC，各自加上這個銳角，不就有兩個相等的鈍角了嘛，正好是“SAS”結構，可證出△BAE≌△DAC，所以BE=DC. 思考歷程結束了嗎？并沒有. 題目問的是“BE和DC的關系”，應該包括數量關系和位置關系（這是我們同學常常犯錯的地方，考慮問題不全面），相等僅僅是數量關系. 我目前知道的特殊的位置關系無非是平行和垂直，觀察這幅圖，我猜想應該是垂直. 所以，我需證∠DFB是直角，也就是證∠FBD+∠FDB=90°. 剛才的那對全等三角形是一把利器，要把它的價值發揮到最大，全等帶來的∠ABE=∠ADC讓我成功地把∠FBD“割開”，變成∠ADC+∠ABD，再加上∠FDB，就變成∠ADB+∠ABD=90°，所以BE、DC的位置關系是垂直，于是最終得出結論：BE、DC垂直且相等（當然，我們也可以充分運用“基本圖形”：對于△ADG、△BGF，結合全等三角形帶來的∠ABE=∠ADC，可以得到∠DAG=∠BFG=90°）.

更大發現：我們不是為了做題而做題，更應該發現問題背后的價值.本題從靜態的角度看，是兩個有著公共頂點的等腰直角三角形組成了一對全等的三角形，而從動態的角度看，是△BAE繞A點逆時針旋轉90°到△DAC. 這是老師說過的基本圖形“手拉手”問題，我梳理了一下我目前遇到的問題，有些問題表面與它不一樣，其實本質完全相同，我們只要會做一題，就會做很多類似的題目了，這可能就是老師常常說的舉一反三吧.下面來看兩個例子：

例1 如圖2，在等邊三角形ACB、CDE中，連接AD、BE.

（1） 求證：AD=BE；（2） 求∠AFB的度數.

例2 如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°，得到△AED，連接BE、CD交于點F.

（1） 求證：△ABE≌△ACD；（2） 求∠ACD的度數.

怎么樣，同學們，這兩個問題看著似乎與前面的不一樣，其實它們是一樣的哦！隨著學習的深入，“手拉手”的圖形肯定會有很多，其他基本圖形也將會很多，我很期待，你們呢？

【教師點評】小作者能在剛剛結束全等三角形的學習之后，聯想到“手拉手”的圖形，如此觸類旁通的學習能力值得推崇. 另外，他能把課堂上學習標注的習慣用好，這對他日后增強識圖能力，提供了有力的保障. 以上兩點真心希望其他小讀者也能做到！

（指導教師：姜鴻雁）