方程思想在初中數學中應用

石利丹

笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現的；不等式問題也與方程密切相關的。

方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），將問題中的已知量和未知量之間的數量關系通過適當設元建立起方程（組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解的思維方式。有時，還實現函數與方程的互相轉化。這種思想在代數、幾何中有著廣泛的應用。

一、方程思想在代數中的應用

1.方程思想與整式的結合

【典例分析】若最簡根式與根式是同類二次根式，求a，b.

分析：利用同類二次根式的定義可以得到根指數相等和被開方數相等的信息。從而列出一個關于a、b的二元一次方程組解得a、b。

2.方程思想與勾股定理的結合

【典例分析】小宇手里有一張直角三角形紙片ABC，他無意中將直角邊AC折疊了一下，恰好使AC落在斜邊AB上，且C點與E點重合，（如圖）小宇經過測量得知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，他想用所學知識求出CD的長，你能幫他嗎？

分析：此題以△BED為直角三角形作為隱含條件，先由勾股定理求得AB=10cm，設CD=xcm，則DE=xcm，在Rt△BED中，借助勾股定理建立方程。

∵BD=（8-x）cm，BE=4cm，

∴，

解得x=3，即CD=3cm。

3.方程思想與函數的結合

方程與函數本身就有必然的聯系，函數本身就可以看成一個方程，因此方程與函數有著相同的思路和解題方法，都是通過建立相等關系，求出未知數的值，因此函數問題的關鍵就是找出相等關系，建立變量之間的等量關系求解，要求對變量所涉及的相關知識要比較熟練，這是輕松求解函數問題的必要基礎。

【典例分析】如圖，A、B分別是x軸上位于原點左右兩側的點，點P（2，p）在第一象限，直線PA交y軸于點C（0，2），直線PB交y軸于點D，△AOP的面積為6；

求△COP的面積；

求點A的坐標及p的值；

△BOP與△DOP的面積相等，求直線BD的函數解析式。

分析：①首先利用C點坐標和P點坐標，求得SΔCOP=。②利用△AOP的面積和△COP的面積可知△AOC的面積，從而求得A（-4，0）；再利用用待定系數法求得直線AC的解析式，將P點的橫坐標代入解析式，求出P點縱坐標；③設出D（0，m），利用△BOP與△DOP的面積相等列出關于m的方程，通過解方程求出m的值；再利用用待定系數法求得直線BD的解析式，

此類問題常見的形式和解題方法是：①用待定系數法列出關于函數解析中待定系數的方程（組），通過解方程（組）求出特定系數的值。

4.方程思想與解直角三角形的結合

解直角三角形是介于代數與幾何之間的一部分內容，是充分體現數形結合的典型，這部分更應該建立相等關系，建立方程求出未知數的值。

【典例分析】（2011廣東汕頭，）如圖，小明家在A處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路。現新修一條路AC到公路l.小明測量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m.請你幫小明計算他家到公路l的距離AD的長度（精確到0.1m；）

【解】設小明家到公路l的距離AD的長度為xm.

在Rt△ABD中，

∵∠ABD=，∴BD=AD=x

在Rt△ABD中，

∵∠ACD=，

∴，即

解得

小明家到公路l的距離AD的長度約為68.2m.

解題的主要方法：（1）利用勾股定理建立方程 （2）利用三角函數建立等量關系， （3）利用圖形的性質建立等量關系 。

5.方程思想與實際問題

【典例分析】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。 求：（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？

總利潤=每件利潤×銷售量.設每天利潤為w元，每件襯衫應降價x元，據題意可得利潤表達式，再求當w=1200時x的值；

解：設每天利潤為w元，每件襯衫降價x元，根據題意得

（1）當w=1200時，，解之得.根據題意要盡快減少庫存，所以應降價20元.

答：每件襯衫應降價20元.

二、方程思想在幾何中得應用。

數與形的結合歷來都是公認的求解數學問題的理想方法，它會使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化，幾何方面的計算題便是求某些未知數的值，都可用方程的觀點去解決，一般一個未知數列一個方程，兩個未知數列兩個方程.這類問題與例方程解應用題一樣，要找出試題中所建立相等關系條件（也就是找出其中的相等關系），設適當的未知數建立方程求解，當然有的題目相等關系很容易找，而有的題目相等關系需要讀者必須具備分析問題和解決知識的能力才能從中挖掘出來，也就是要有一定的數學解題能力，現在就不同的內容怎么樣建立方程解決問題做一些講解和分析。

1.方程思想與三角形中的結合

【典例分析】如圖，D是△ABC的BC邊上一點，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數.

解題思路：可設∠1=x，則∠2=x，利用外角性質∠3=∠4=2x，然后在△ABC中利用三角形內角和找到等量關系，列出方程：，解得：x=39°，最后得出：∠DAC=24°.

2.方程思想與相似三角形結合

【典例分析】如圖，△ABC，是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點為M.

求證：

求這個矩形EFGH的周長.

解：∵四邊形EFGH為矩形

∴EF∥GH

∴∠AHG=∠ABC

又∵∠HAG=∠BAC

∴ △AHG∽△ABC ∴

（2）由（1）得設HE=x，則HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x

可得=，解得，x=12 ， 2x=24

所以矩形EFGH的周長為2×（12+24）=72cm.

主要運用相似三角形對應高之比等于相似比.設出HE為x，建立等量關系。