教學策略決定教學效率

劉江

近日拜讀了梁勤旺老師的《由一道教參棄選題談數學解題反思》（《中小學數學》（初中版2015年1-2期））以及祝立新老師的《解題勿犯條件性錯誤》（《中小學數學》（初中版2016年1-2期））兩篇文章，兩位老師分別從“解題后反思的重要性”及“解題時勿犯條件性錯誤”兩個角度談了自己的看法，本人收獲很多，感觸頗深，對老師們的嚴謹治學也深表欽佩。但兩位老師對該題的一些教學策略本人不敢茍同，本人將從該題在實際教學中不同的教學策略導致不同教學效率的角度談談自己的看法，望同行指正。

教參棄選題原題呈現：已知，求的值。

接著作者給出了三種解法：

解法一（教參解法）：由已知得x≠0，

∵，∴，

∴，∴；

∴，

∴

作者點評（要點）：解法不循常規，靈活運用倒數的意義和整體代換的思想而簡潔求解。

解法二（學生解法）：由已知得，∴Δ<0，∴原題錯誤。

作者點評（要點）：解法二結構完整，思路連貫，解答過程完美無缺。

解法三（整體帶入法）：

∵，∴，

∴，得，

∴。

在實際教學中，如果采用解法一的解題策略進行教學，雖然解法一“不循常規、活用倒數意義、運用整體思想”，但又有多少學生能夠在有限的時間內經過如此復雜的變形而順利得到解答呢？同時，如果學生要問：老師，你為什么要這樣變形？你是怎樣想到的呢？試問老師們，你將如何幫助學生解答心中的疑惑呢？本人認為解法一雖然解法漂亮，技巧性高，但對于學生來說不是通解通法，不符合學生的自然思維規律，因為這種需要具有復雜的層次思維，較強的構造意識才能順利解答此題。

我認為學生運用解法一解答此題必須經過這樣幾個復雜的思維過程：

第一步：將已知取倒數：；

第二步：逆用分式加減法則：；

第三步：用等式性質變形得整體：；

第四步：將代數式取倒數：；

第五步：逆用分式加減法則：

；

第六步：分析兩個整體與的關系；

第七步：將化為；

第八步：代入計算；

第九步：將計算結果取倒數。

請問：如此復雜的層次思維，有多少學生能夠順利理清？如果不是在第五步出現，又有多少學生知道前面三步的變形目的？因此，使用這種解法進行教學，即使學生掌握了運算的方法，也必是“知其然而不知其所以然”的機械式模仿學習，這樣的教學又有何高效可談？

同時，在實際教學中，如果采用解法三的解題策略進行教學，同樣也會讓學生在學習中云里來，霧里去，學生根本不知道“為什么要運用已知構造x2+1，并且還要將它進行平方呢？”，直到構造出分母x4+x2+1，學生可能才有所明白，在這里，學生可能會問：“老師，你是怎么知道要去構造x2+1的呢？你又是怎么知道要將x2+1進行平方呢？你又是怎么知道x4+x2+1的值能與分子x2進行略分呢？”。請問老師們，你又將如何回答學生呢？

本人認為，解法三和解法一都是技巧性很高的解題方法，以這些方法進行課堂教學，是純粹為“教方法”而教，完全脫離學生實際，會導致學生機械性的模仿學習，這樣的教學根本未考慮學生“在想什么”，未考慮學生“最自然的解題思維”，在課堂教學中大多會出現教師自編、自導、自演的課堂，學生在課堂上成了接收的機器，請問：這樣的課堂效率在哪里？。

那么，對于這道教參棄選題，學生在解答時到底在想什么？他們最自然的解題思維又是什么呢？本人認為解法二才是學生“最自然的解題思維”，也是祝老師在《解題勿犯條件性錯誤》中提到的“它是課程改革極力提倡的通法同解”，因為學生在解題時，在已知的情況下，很自然的想到“先求出x，然后將x的值代入”，這也是學生“最自然的解題思維”。我也贊成祝老師的觀點：第一、這種解法的突出問題是可能使時后面代入求值時運算繁瑣。第二、在已知條件的前提下，該方程實數范圍內無法解答。但老師們忽略了一個問題：方程在化為整式方程后是一個一元二次方程，不管這個方程在實數范圍內有解還是無解，對于初二學生來說超出了課程標準的范圍，無法求解一個一元二次方程。從這一角度來看，恐怕也是教參棄選的原因之一吧。

縱觀作者給出的這三種解法，本人認為在課堂教學中都是不適宜的，都會導致課堂教學的低效性。那么這類題目對于初二學生來說在課堂教學中是否有“適合學生自然思維的符合課標要求的解題方法呢？

下面對這類題目介紹一種解法，供大家參考。為體現命題的嚴謹性，本文采用祝老師在文中改編的一道題目來說明。

題目：已知，求的值。

誠如祝老師所說，如采用解法二（通解通法、符合學生的自然思維），求解出方程的解（暫且不談超出課標要求）是兩個較復雜的無理數，然后分別代入，經過復雜的運算（含有復雜無理數的四次方）得到相同的結果。在這種運算強度和難度都較大的情況下，教師應該順勢組織學生嘗試新的解法，但我認為不宜引導學生嘗試使用解法一（原因前面已論述），不妨引導學生觀察代數式中字母的次數，發現出現了x4，如何消去x4呢？鼓勵學生大膽運用“降次”思想，先消去x4（符合學生的自然思維：次數高了先降低次數），降低字母的次數再看，如何消去x4呢？需要先構造x4，如何構造呢？可由x2平方得到x4。具體如下：

解：∵，∴x2-x+1=2x，

∴x2=3x-1，∴x4=（3x-1）2=9x2-6x+1，

∴==做到這里，學生的思維可能又堵上了，不妨引導學生再次“降次”嘛，又將x2=3x-1代入，∴====，此時再引導學生觀察分子與分母的關系，約分即得結果為。

此種解法，運算強度不大，符合學生課標要求（不必求解一元二次方程），符合學生的自然思維（字母次數高了，想辦法降低），兩次運用“降次”思想將字母從四次方降低到一次方，運用“構造”的思想分別構造出x2和x4，最后運用“整體”思想將分子與分母約分得到解答。在實際教學中，采用這種解法的教學策略，既對學生強化了“降次”思想和“構造”意識，也滲透了“整體”思想，又降低了運算強度，在這樣的教學策略指導下的教學效率能不高嗎？

教師在教學中不能一味的追求“獨特方法”和“高超技巧”，脫離學生實際，在“臆想”中教學，這樣的教學必然是低效的甚至是無效的。