張量分析教學(xué)內(nèi)容改革的研究與實踐

陳新 左建平

摘 要：張量的概念和張量分析在力學(xué)和物理學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。目前在高等院校理工科本科教學(xué)中，不可避免地涉及到《張量分析》課程或相關(guān)內(nèi)容的講授。在該課程教學(xué)中，除了訓(xùn)練學(xué)生扎實、系統(tǒng)地掌握張量的定義、本質(zhì)、運算和應(yīng)用外，還應(yīng)注重對學(xué)生綜合能力、實踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。結(jié)合筆者教學(xué)工作體會，為了提高教學(xué)效果提出了課程教學(xué)內(nèi)容改革的措施，包括優(yōu)化和拓展教學(xué)內(nèi)容、加強與先修和后修課程的聯(lián)系等。實踐證明，該方法的教學(xué)效果良好。

關(guān)鍵詞：張量分析 教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)改革

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）03（c）-0116-02

Abstract：The concept of tensor and tensor analyses has wide application in mechanics and physics.At present，teaching tensor analyses as an independent course or a chapter in relevant courses is very popular for science and engineering undergraduate students in college or university.For the course of tensor analysis，the objective is to systematically training the students to master the definition，basic characters，calculation and application of tensor algebra，as well as to improve their comprehensive，practical and innovation abilities in scientific thinking.Based on many years teaching experience of the authors，some reformation measures on the course content are proposed to improve teaching effect， which includes optimization and extension of course content and strengthen the relation with the prerequisites and subsequent courses.The application of these measures in teaching has received good effect.

key Words：Tensor analysis；The course content；Teaching reformation

自愛因斯坦以張量分析作為數(shù)學(xué)工具提出的廣義相對論獲得巨大成功后，張量分析在力學(xué)和物理學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。張量整體在坐標變換下的不變性揭示了力學(xué)物理量的本質(zhì)屬性，而張量在曲線坐標系下的微分運算則是研究非線性大變形問題的數(shù)學(xué)工具。近幾十年來，越來越多的力學(xué)文獻和教材都采用張量符號書寫，張量概念和張量分析方法已經(jīng)成為力學(xué)工作者必需掌握的數(shù)學(xué)工具。

目前，在高等院校理工科類本科生的教學(xué)中，或多或少地涉及到了張量分析的內(nèi)容。直線直角坐標系下的張量分析，包括指標符號系統(tǒng)、張量的定義、張量代數(shù)和笛卡爾張量的微分運算等內(nèi)容，已經(jīng)滲透到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)各分支學(xué)科的教材和專著中，且掌握起來較為容易，通常作為非力學(xué)專業(yè)本科生的彈性力學(xué)或流體力學(xué)等課程的某一章節(jié)進行講授。而一般曲線坐標系下的張量分析則較為復(fù)雜和抽象，初學(xué)者不易理解和掌握，通常作為力學(xué)專業(yè)本科生或理工科類（電氣、土木、水利、地質(zhì)、力學(xué)等專業(yè)）研究生的課程進行講授。

張量分析作為筆者學(xué)校工程力學(xué)專業(yè)本科生的專業(yè)必修課，教學(xué)時數(shù)為32學(xué)時。所用教材為該校宋彥琦教授編著的講義《張量及其應(yīng)用簡明教程》，內(nèi)容主要涉及到直線直角坐標系下的張量分析和一般曲線坐標系下的張量分析初步。為了培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力、實踐能力和創(chuàng)新能力、提高教學(xué)質(zhì)量，筆者及所在教研室教師結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，以培養(yǎng)學(xué)生扎實、系統(tǒng)地掌握張量的定義、本質(zhì)、運算和應(yīng)用方面的綜合能力、實踐能力和創(chuàng)新能力為目標，在課程的教學(xué)內(nèi)容上進行了優(yōu)化和改革，形成了獨具特色的教學(xué)內(nèi)容新體系。

1 突出基本概念和核心內(nèi)容

課程教學(xué)內(nèi)容包括：第1章緒論、第2章張量代數(shù)、第3章張量微分和在第4章張量分析的應(yīng)用。其中，第2章和第3章為核心內(nèi)容，第1章和第4章為拓展內(nèi)容。課程最為基本的概念當屬張量的定義。

張量作為整體在坐標變換下不變，而其在具體坐標系下的分量，當發(fā)生坐標變換時滿足一定的變換規(guī)律，稱之為協(xié)變性。整體不變、分量協(xié)變是張量定義的核心，反映了張量是真正的幾何量從而與坐標變換無關(guān)的本質(zhì)屬性。

張量作為矢量概念向高階的推廣，在坐標變換下的分量協(xié)變關(guān)系，是由其組成特點決定的。張量由基張量和其對應(yīng)的張量分量組成。張量的分量則是基張量標尺下的具體讀數(shù)，二者協(xié)調(diào)變化以保持張量的整體不變性。例如，設(shè)有新舊兩個直線直角坐標系和，對應(yīng)的基矢量分別為和。則任意的N階張量在兩個坐標系下的分量形式分別為：

上述張量定義的解讀建立了張量分析與矢量分析的內(nèi)在聯(lián)系，以此將核心內(nèi)容如指標符號系統(tǒng)、張量代數(shù)、直線直角坐標系和一般曲線坐標系下張量的微分運算等以知識單元串聯(lián)起來，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)和鞏固矢量運算相關(guān)知識的基礎(chǔ)上理解和掌握張量運算，就順理成章了。

2 加強與其他課程的聯(lián)系

筆者學(xué)校張量分析本科生課程在大學(xué)三年級上學(xué)期或二年級下學(xué)期開設(shè)。為了提高學(xué)生的綜合能力和實踐能力，在課程內(nèi)容中加強與相關(guān)課程的聯(lián)系是十分必要的。

張量分析的先修課程為高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和矢量分析，課程相關(guān)內(nèi)容包括：（1）線性代數(shù)的相關(guān)知識[1]，如行列式、矩陣運算、線性變換等；（2）高等數(shù)學(xué)和矢量分析中標量和矢量微分運算，如梯度、散度、旋度、高斯公式和斯托克斯公式等。上述內(nèi)容在張量分析中的基礎(chǔ)作用不容忽視，需要對相關(guān)知識點進行鞏固、復(fù)習(xí)和采用新視角進行解讀，加強學(xué)生融會貫通應(yīng)用所學(xué)知識的能力。

張量分析對于后續(xù)課程如流體力學(xué)和彈性力學(xué)等的作用體現(xiàn)在兩個方面：（1）實用性：利用指標記法能把繁瑣的方程寫的簡潔、緊湊、物理意義明確；（2）必要性：張量方程能滿足物理定律必須與坐標系選擇無關(guān)的特性，且曲線坐標系下的微分運算方法是研究非線性大變形問題必備的數(shù)學(xué)工具。

張量分析的先修無疑給后續(xù)課程的學(xué)習(xí)帶來了方便[2]，但也給教師的講解帶來一定的困難。要求教師重點說明張量分析在后續(xù)課程中的應(yīng)用原理，提綱挈領(lǐng)地介紹彈性力學(xué)和流體力學(xué)中相關(guān)方程的基本概念和核心思想，不過多涉及其詳細內(nèi)容，把握好講授的深度與廣度。

為此，將第四章內(nèi)容進行了大幅度調(diào)整。結(jié)合給研究生講授連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗，對固體力學(xué)和流體力學(xué)中的張量方程建立及轉(zhuǎn)換為曲線坐標系下的形式，以平衡方程為例只介紹基本方法和一般步驟，而將重點放在介紹基本方程在笛卡爾坐標系下的分量形式和不變性形式。對這些張量方程的知識背景和推導(dǎo)過程，則通過給學(xué)生下發(fā)補充講義做詳細介紹。這樣一來，即使學(xué)生當時不能完全理解，在后續(xù)課程學(xué)習(xí)中也可以進行翻閱和自學(xué)，從而將張量分析和其他課程有機地進行融合。否則，若過多地涉及各張量方程在曲線坐標系下的具體形式，不僅繁瑣、枯燥、學(xué)時不夠，還使得學(xué)生一頭霧水。

3 拓展教學(xué)內(nèi)容激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、開闊視野，增加了教學(xué)的拓展內(nèi)容。

通過查閱相關(guān)資料和文獻[3]，在第1章緒論中給學(xué)生系統(tǒng)地介紹張量分析的發(fā)展歷史。包括：（1）張量概念的起源：凱萊的抽象代數(shù)、非歐幾何、高斯的內(nèi)蘊幾何思想、黎曼的高維彎曲空間思想和流形概念；（2）張量分析的建立：貝爾特拉米的曲線微分幾何和微分形式不變量、克里斯托弗符號、里奇和契維塔的絕對微分學(xué)；（3）張量分析的應(yīng)用——愛因斯坦廣義相對論：基于微分幾何學(xué)的時空度規(guī)張量與以張量方程表達的引力方程。

此外，積極拓展課堂外的教學(xué)活動，包括開展文獻閱讀課、研討課等。例如，結(jié)合教師與張量分析有關(guān)的科研課題“張量在油井井壁穩(wěn)定分析中的應(yīng)用”，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)的張量分析知識參與課題的研究討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力。

4 教學(xué)內(nèi)容改革的實踐效果

經(jīng)過近幾年的教學(xué)內(nèi)容改革實踐，在教學(xué)中取得了顯著成效：（1）通過優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，突出基本概念和核心內(nèi)容，節(jié)約了課時，為引入拓展內(nèi)容提供了條件；（2）通過加強與先修和后修課程的聯(lián)系，提高了學(xué)生對知識的貫通和應(yīng)用能力；（3）通過拓展教學(xué)內(nèi)容，開拓了學(xué)生的視野、激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)了創(chuàng)新意識。

上述教學(xué)內(nèi)容的改革提高了教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生在張量分析基礎(chǔ)知識的掌握、應(yīng)用方面較為扎實，綜合能力、實踐能力和創(chuàng)新能力都有所提高，為該校創(chuàng)新性人才的培養(yǎng)貢獻了力量。

參考文獻

[1] 徐菲.線性代數(shù)在張量分析中的基礎(chǔ)作用[J].科技信息，2008（30）：167.

[2] 彭樂生.在力學(xué)教學(xué)中及早普及張量的建議[J].教材通訊，1985（2）：14-15.

[3] 黃勇.張量概念的形成與張量分析的建立[D].山西大學(xué)，2004.