周期到達隊列的高負荷極限

張鮮娜

摘 要 在周期到達的Gt/GI/s隊列中，研究常規的顧客人數的高負荷極限。我們假設到達計數過程由累積隨機過程構成，累積隨機過程滿足泛函中心極限定理和確定性累計率函數是周期函數的積分。對于確定到達率函數的三個不同刻畫，研究三個不同的高負荷極限。

關鍵詞 高負荷極限 周期到達率隊列 周期隊列的高負荷極限

中圖分類號：O226 文獻標識碼：A

1研究的背景和目標

關于隊列的高負荷極限問題，國內外學者做過了大量的研究。本文主要研究到達過程具有周期到達率的Gt/GI/s隊列在高負荷條件下的泛函弱大數定律和泛函中心極限定理。

2到達過程模型

設周期隨機到達計數過程為：A（t）≡N（∧（t）），t≥0，其中N為滿足泛函中心極限定理的隨機計數過程。在D空間中，當時n→∞，，其中，表示在D空間中[0，∞）上左極限存在的右連續實函數依分布收斂，Ba是一個標準（轉移率為0，方差為1）布朗運動。A是累積到達率函數，并滿足∧（t）≡ （s）ds，t≥0其中 為周期到達率函數，故 ≡t-1∧（t）。

3 Gt/GI/s模型常規的高負荷極限

設服務強度為 （ <1），令 = ，對每一個 ，有 =1。令A （t）≡N（∧ （t）），t≥0，Q ≡{Q （t）：t≥0}（Q （t）為在t時刻，系統 中的顧客數）。

下面我們定義累積到達率函數：

（t）≡（1- ）[∧ （1- ）-2t]-（1- ）-2 ∧f（t），t≥0，對每一個 （0< <1），假設在D空間中當 ↑1時，（t）→∧d（t），其中∧f和∧d分別為累積到達函數， f=1， d=0。

A （t）≡（1 ）2A （（1- ）-2t）和Q （t）≡（1- ）-2Q （（1- ）-2t），t≥0

定理3.1（泛函弱大數定律）除以上條件外，在空間中，當 ↑1時，有Q （0） q（0），其中q（0）是非負實數，則在D空間中，當 ↑1時，有A ∧f且Q （q（0）+∧f e）。

證明：在D空間中，有（1- ）-2N（（1- ）-2t） t；由上述定義的累計到達率函數可得：在D空間中，有（1- ）-2∧ （（1- ）-2t） ∧f（t）。利用A （t）≡N（∧ （t）），t≥0及連續映射定理可知：在D空間中，當 ↑1時，有A ∧f。

運用服務過程的泛函弱大數定律得到純收入過程的泛函弱大數定律，再利用連續映射定理和單映像映射定理可得：在D空間中，當 ↑1時，有Q （q（0）+∧f e）。

定理3.2（泛函中心極限定理）除以上情況外，在R空間中，當 ↑1時，∧f（t）≡t且（t） （0），其中（0）是與到達服務過程無關的非負實隨機變量且P（（0）<∞）=1，則在空間D中，當 ↑1有 caBa+∧d e， （（0）+caBa+∧d e csBs）。其中Bs是布朗運動且Bs，Ba與（0）相互獨立，從而（B為布朗運動）。

證明：由于在D空間中，當 ↑1時有

=（1 ）[N（∧ （（1- ）-2t））-（1- ）-2 t]

=（1- ）[N（∧ （（1- ）-2t））-∧ （（1- ）-2t）+∧ （（1- ）-2t）

-（1- ）-2 t+（1- ）[（1- ）-2 t-（1- ）-2t]

caBa（t）+∧t（t）-t

故有 caBa+∧d-e。又在D空間中，當 ↑1時有（1- ）-2∧ （（1- ）-2t） t，應用參考文獻[1]中的定理1（a）得 （（0）+caBa+∧d e csBs）。

推論3.1（非刻畫到達率函數）如果∧ （t）= ∧（t），那么定理3.2中恒有∧d（t）≡0，t≥0。

證明：由周期過程知：當 ↑1時，∧ （（1- ）-2t）-（1- ）-2 t=o（1）；因此，當 ↑1時（1- ）[∧ （（1- ）-2t）-（1- ）-2 t]→0，（對t一致）；從而，定理3.2中恒有∧d（t）≡0，t≥0。

4總結

本文主要研究 ↑1且服務臺數固定的周期到達隊列的高負荷極限。定理3.1證明了可預測確定的可變性這一情況；引理3.1證明了不可預測隨機的可變性這一情況；定理3.2證明了具有上述兩種性質的可變性這一復雜情況。當可變性具有兩種形式時，極限過程相對復雜，但這一刻畫可以提供有用的洞察力，有助于我們理解仿真模擬。

參考文獻

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