函數極限幾個簡單結論的推導
2016-05-11 18:10:11呂希元
科教導刊·電子版 2016年7期
呂希元
摘 要 函數極限是指函數的自變量在其定義域內以某種形勢無限變化時，函數無限趨近于某個常數的結果，它是一類非常重要的變化過程，本文主要介紹以函數極限的幾個性質作為前提延伸出的函數的幾個結論，并加以適當的證明。
關鍵詞 函數極限 鄰域 點x0處的極限 無窮遠處的極限 單側極限
中圖分類號：O171 文獻標識碼：A
1函數的極限
1.1函數在x0點的極限的定義
若f（x）在x0點某鄰域有定義（但可能不包含x0本身），A是一個常數， >0， >0，s.t0<|x x0|< 時，有|f（x） A|< 成立，就稱A是f（x）在x0處的極限，記作：f（x）=A。
1.2函數在x0點的極限的性質
定理1：設f（x）=A，g（x）=B，且A>B，則存在 >0，當0<|x x0|< 時，有f（x）>g（x）。
證明：由f（x）=A，則 =， 1>0，使0<|x x0|< 1時，有|f（x） A|<，即： 同理：g（x）=B，則 =， 2>0，使0<|x x0|< 2時，有|g（x） B|<，即： 取 =min{ 1， 2}>0，則有：g（x）< 定理2：設f（x）=A，則存在 >0，當0<|x x0|< 時，f（x）有界。 證明：由f（x）=A， =1， >0，當0<|x x0|< 時，有|f（x） A|<1，即：A 1 定理3：若f（x）=A的充要條件是對任何以x0為極限的數列xn，xn≠x0，有f（xn）=A。 證明：必要性：由f（x）=A，則 >0， >0，當0<|x x0|< 時，有|f（x） A|< 。又由f（xn）=x0，則 >0， N∈N*，當n>N時，有0<|xn x0|< ，從而有|f（xn） A|< 成立。 充分性：用反證法，假設f（x）≠A，則 >0， >0， x，當0<|x x0|< 時，有|f（x） A|≥ ，分別取 為1，，，…，，…時，得到x1，x2，…，xn，…滿足下式： 0<|x x0|<1時，|f（x1） A|≥ 0<|x2 x0|<時，|f（x2） A|≥ …………………………… 0<|xn x0|<時，|f（xn） A|≥ …………………………… 由此，當n→∞ 時，xn=x0且xn≠x0，而f（x）≠A與已知矛盾，從而充分性成立。 定理4：若f（x）=A，g（x）=B，則f（x）·g（x）=A·B。 證明：由f（x）=A，則 >0， 1>0，當0<|x x0|< 1時，|f（x） A|< ，且 2>0，當0<|x x0|< 2， M>0有|f（x）≤M|。同理，由g（x）=B，則 >0， 3>0，有0<|x x0|< 3時，有|g（x） B|< 成立。取 =min{ 1， 2， 3}，有：0<|x x0|< 時，|f（x）·g（x） AB|=|f（x）·g（x） f（x）·B+f（x）·B AB|≤|f（x）|·|g（x） B|+|B|·|f（x） A|<（M+|B|）· 成立。 1.3函數在正無限遠處極限的定義 設 >0， X>0，當 x>X時，有|f（x） A|< 成立，記作f（x）=A。 2幾個簡單的函數極限的結論 2.1結論及其簡單的證明 結論1：若f（x）=A，g（x）=B，并且存在 >0，當0<|x x0|< 時，有f（x）≥g（x），證明：A≥B。
