企業戰略聯盟中多人多產品合作生產的成本分攤研究

徐鯤鮑新中(北京聯合大學，北京　100101)

企業戰略聯盟中多人多產品合作生產的成本分攤研究

徐鯤鮑新中
(北京聯合大學，北京100101)

〔摘要〕合作博弈理論在企業聯盟收益分配和成本分攤中得到了廣泛應用，但一般都是單產品問題，而多產品合作生產的成本分攤問題相關研究卻很少。本文從合作博弈的視角研究了企業戰略聯盟中各參與企業合作生產多種產品時的成本分攤問題，構建了一個多人多產品合作博弈模型，給出了博弈應滿足的公理化性質，并基于夏普利法給出了該博弈的解函數表達式，同時還給出了單位產品成本函數的表達式。使用該博弈模型首先可以實現戰略聯盟的總成本在各參與企業間的分攤，還可以將總生產成本在該聯盟生產的各產品之間進行分攤。最后用算例證明了該方法的可行性及合理性。

〔關鍵詞〕企業戰略聯盟合作博弈成本分攤夏普利值收益分配

引言

自企業戰略聯盟在20世紀90年代興起以來，其作為一種新型的管理實踐一直備受關注。企業界和理論界從經濟學、管理學、社會學等多個角度對企業戰略聯盟的組織性質、形成動因、聯盟的組建、聯盟的管理［1－3］以及聯盟的利益分配(成本分攤)、聯盟的穩定性等［4－10］內容展開了研究。聯盟合作收益分配或成本分攤的合理性是聯盟能夠保持持續穩定的基礎，國內外學者對此展開了多方面的研究。

合作博弈理論不討論理性的個人如何達成合作的過程，而是直接討論合作的結果與收益的分配。合作博弈的主要問題就在于如何在參與人中間分配由于合作而帶來的額外的收益及分配聯盟的總成本。以合作博弈為基礎的成本分配理論已經被眾多學者應用到許多實踐領域當中，運用較多的是對于一些大型公共基礎設施的成本分配問題［11］、電力通訊網絡領域的成本分攤問題［12］等。也有學者將合作博弈理論運用到企業合作聯盟的成本和利益分配中［13－15］。

戰略聯盟有多種形式，按照其合作領域，一般可以分為技術合作聯盟、研發聯盟、市場聯盟和生產聯盟等形式，本文研究的是生產合作戰略聯盟之間的成本分配問題。目前，在利用合作博弈理論來進行生產合作戰略聯盟收益(成本)分配的研究中，一般都只涉及生產一種產品的成本或收益分配(也可以理解為將生產成本函數視同為線性函數，認為生產成本函數與產量之間是線性關系)。但是，當合作聯盟生產的產品種類大于或等于2，且各產品之間的成本不獨立、生產成本函數為非線性函數時，不僅要將聯盟總生產成本在聯盟各參與企業之間進行分配，還要將聯盟總生產成本在各產品之間進行分配。而在現實生活中，產品聯盟合作生產多產品的情況很常見，比如石油產業、化工產業等，一個生產鏈所產出的產品很多，而且各產品之間的成本并不獨立。這時，若仍使用傳統的成本分攤方法計算各種產品的單位成本，所得結果的準確性就難以保證，甚至使用傳統的分攤方法根本無法進行分攤。本文基于合作博弈思想用一個博弈族描述了企業戰略聯盟中多產品合作生產的成本分攤問題，構建了多人多產品合作博弈成本分攤模型，給出了博弈應滿足的公理化性質，并基于夏普利值法給出了該博弈的解函數表達式，同時還給出了單位產品成本函數的表達式。

1　多人多產品合作條件下合作博弈相關概念的重新界定

對相同的產品集合感興趣的企業可以通過組成產品聯盟的形式或簽訂合作協議的形式合作生產以獲得所需數量的產品。無論企業間采用何種方式構建企業戰略聯盟，都要進行收益(成本)分攤，而一個公平、合理、能為聯盟中所有企業都接受的成本(收益)分攤方案，對于維持聯盟的穩定性、保證后續合作而言具有重要意義。

一般的合作博弈分配模型只涉及一種產品的分配(或者說將生產成本函數視同為線性函數，認為生產成本函數與產量之間是線性關系)，而本文所要解決的是多種產品的生產成本分攤問題，生產函數為非線性函數，因而在模型的表達上有較大區別。基于合作博弈理論的相關原理以及關于多產品合作生產的相關研究［16］，這里將重新界定合作博弈中函數、集合等要素的表達方式。

令N = { 1，2，…，n}表示大戰略聯盟，其中n為正整數，表示參與企業的個數。令P表示集合N所有非空子集的集合。令S表示參與企業之間任意組成的戰略聯盟，S?P;假定大聯盟N中的每一個參與企業都對相同的產品集M = { 1，2，…，m}感興趣，該產品集內的所有產品都可以通過執行生產項目獲得。值得說明的是，大聯盟N中的每一個參與企業都可以獨立進行生產而獲得所需要的產品量，也可以通過組成戰略聯盟合作生產以滿足所需產量。

對于每一個聯盟S?P而言，給定產品向量x ∈Rm，都有一個既定的生產成本函數fs∶Rm→R。我們定義產品向量x = (x1，x2，…，xm)∈Rm+，也就是說，參與人都只對正的產量感興趣。此外，生產成本函數fs是非線性函數，它僅取決于產品總量而不取決于產品在參與企業之間的分配方式。函數fs具有連續的一階偏導數，且f(0) = 0，也就是說在產量為零時，成本也為零。

定義y = (y1，y2，…，yn)∈Rn×m+= RNM，其中RNM是大聯盟N的產品空間，向量y = (y1，y2，…，yn)表示參與企業所需求的產量。yi= (yi1，yi2，…，yim)∈Rm+，其中，yij表示第i家企業對第j種產品的需求量。

定義1:給定成本函數f和產品向量x，定義函數c(f，x)為產品的單位成本函數:

c(f，x) = (c1(f，x)，…，cj(f，x)，…，cm(f，x) )∈Rm

其中，cj(f，x)是第j種產品的單位成本。對于任意聯盟S而言，單位成本函數c(fS，x)將生產成本fS在該聯盟所生產的各單位產品之間進行分配。

定義2:給定一個有限的參與企業集合N，多人多產品合作博弈的特征型是有序數對(N，vy)，其中，函數vy被稱為該合作博弈的特征函數，是從集合S到實數集的映射。對于任意給定的參與企業聯盟而言，vy表示該聯盟的得益(payoff)，這項得益是由于參與企業之間組成聯盟合作生產而給聯盟帶來的收益，其本質是一種成本節約。特征函數的一般表達式為:

式(1)中，表示第i個參與企業單獨生產所需產量時的成本，而表示參與企業所組成的戰略聯盟S合作生產產品所產生的總成本。由此我們可以得知，vy(S)表示:相對于單獨執行項目而言，聯盟S中的參與企業因合作而獲得的成本節約，即聯盟的得益。

此外，對于任意i∈N，特征函數vy都滿足: vy({ i} ) =0，也就是說，博弈(N，vy)是0——標準化的。

如果多人多產品合作博弈滿足超可加性條件，即:對于任意S，T∈P，且S∩T =?而言，都有vy(S∪T)≥vy(S) + vy(T)，那么我們認為該模型是適當的、可行的。

定義3:定義合作博弈(N，vy)的分配集I(N，vy)為:，且對于?i∈N，都有zi≥vy({ i } } )

從定義中可以看出，I(N，vy)是所有符合個體理性和集體理性的分配方案z的集合。集合中的每個分配方案都能將大聯盟N的得益vy(N)在所有參與企業之間進行完全分配。

定義4:函數F∶Ω→Rm是一個解，如果它給每個合作博弈(N，vy)分配以分配集I(N，vy)中的一個子集。Fi(N，vy)表示大聯盟N的總得益中分配給第i家參與企業的份額。

定義5:對于任意給定的產品向量y = (y1，y2，…，yn)∈RNM，定義投資函數G為從Ω到Rm的映射，第i個參與企業的投資額可以表示為:

第i個參與企業的投資額在數值上等價于他獨立完成生產的生產成本與他從大聯盟N中分得的得益之間的差值。其本質是第i個企業參與戰略聯盟N，為獲得其所需數量的產品最終所付出的總成本。

2　多人多產品合作博弈的公理化性質

2. 1單位成本函數的公理化性質

基于合作博弈理論的相關原理以及關于多產品合作生產的相關研究［16］，這里描述并討論多人多產品合作博弈中單位成本函數c(f，x)應當滿足的4個公理化性質(或必要性條件)，同時滿足這4個公理化性質的單位成本函數是唯一的，本文給出了該單位成本函數的一般表達式。單位成本函數c(f，x)應當滿足的4個公理化性質(公理1～4) :

公理1:可收回性公理，如果對于任意聯盟S ?P而言，都有:

則稱單位成本函數具有可收回性。上式表明:聯盟的生產成本能夠在所輸出的各單位產品之間進行完全分配。也就是說，如果聯盟S中的參與人決定要實施該開發項目，按照單位成本函數給各單位產品的成本之和應當包含且不超過生產成本fS(x)。

公理2:可加性公理。如果對于任意聯盟S?P而言，給定函數fS、gS和hS，且hS= fS+ gS，都有:

c(fS，x) + c(gS，x) = c(hS，x)

則稱單位成本函數是可加的。上式中，函數fS和函數gS表示總成本hS的兩個不同的組成部分。上式表明了c(f，x)的可加性，即:如果生產成本可以分解成不同的組成部分，那么任意產品最終的單位成本都應當是其部分成本的單位成本之和。

公理3:單調性公理。如果對于任意聯盟S?P而言，生產成本函數fS在區間{ z∈Rm∶0≤z≤x}上是非遞減的，即: x≥z?fS(x)≥fS(z)，都有: c(f，x)≥0。則稱單位成本函數具有單調性。這意味著，如果生產函數是非遞減的，那么產品的單位成本cj(f，x)是非負的。在這里，“函數fS是非遞減的”表示:對于每一種產品而言，如果生產數量增加，生產成本也會隨之增加，也就是說更低的生產成本不會生產出更多的產品。

同時滿足前3個公理化性質的單位成本函數有很多，即如果僅提出前3個條件，可能出現多種不同的分配方案。因而，第4個公理化性質(聚集不變性)要求在特定的情況下使用特殊的方法將成本分配給單位產品，其特殊性是決定單位成本函數的唯一性的一個重要因素。

公理4:聚集不變性公理。如果對于任意聯盟S?P而言，給定產品向量d = (d1，…，dm)∈Rm(d＞0)，若:

都有:

則稱單位成本函數是一個聚集不變量。上式表明單位成本函數的表達式形式不受函數fS(x)和變量x的表達形式變化影響。如果兩種產品在本質上屬于同一種產品，但由于所使用的計量單位不同(比如同一種石油的產量可以用美制加侖或英制加侖計量)，而采用不同的產品向量表示，根據本公理化性質便可判斷出這兩種產品究竟是不是同一種物質。

同時滿足上述4個公理化性質的單位成本函數的表達式是唯一的:

根據Billera和Heath兩人所提出的成本分配程序［18］，以及單位成本函數所滿足的公理1～4中的條件，我們可以證得本文所提出的單位成本函數的表達形式是唯一的，并且以式(3)的形式存在。

對于任意聯盟S而言，根據式(3)，我們可以計算該聯盟產出中各產品的單位成本。

2. 2解函數的公理化性質

根據合作博弈解函數的性質特點，這里來討論多人多產品合作博弈的解函數Fi(N，vy)所應滿足的幾個公理化性質(公理5～8) :

公理5:虛擬性公理。博弈(N，vy)的參與人被稱為虛擬參與人，如果對于任意聯盟S?N{ i}而言，都有vy(S∪{ i} ) = vy(S)。也就是說，如果一個參與人是虛擬參與人，那么他加入還是不加入聯盟對聯盟的得益沒有影響。

解函數Fi(N，vy)滿足虛擬參與人性質，簡稱虛擬性，對于博弈(N，vy)中的虛擬參與人，Fi(N，vy) = 0。也就是說，對于沒有做出貢獻的參與人——虛擬參與人，不分配給他任何得益。實際上，虛擬性公理是邊際原則的一種弱形式。

公理6:解函數Fi(N，vy)具有匿名性，如果對于任意博弈(N，vy)，任意i∈N以及任意排列π，都有:

其中，博弈πvy定義為:對于任意聯盟S?P而言，πvy(π(S) )≡vy(S)。也就是說，聯盟中處于同樣地位的參與人所分配到的得益是相同的，應該平等地對待地位相同的人。分配給某個參與人的得益應該按照其對聯盟的貢獻大小，而不管他是誰。

如果對于任意聯盟S?P而言，給定函數fS、gS和hS，且hS= fS+ gS，假定與這些成本函數相對應的博弈分別為(N，vy)、(N，v'y)、(N，v″y)，那么，根據前文中對可加性公理的表述，有:

公理7:聚合性公理。如果對于任意博弈(N，v'y)、(N，v″y)，有:

則稱解函數Fi(N，vy)具有聚合性，該公理要求任何兩個相互獨立的博弈的聯合所組成的新博弈的解是原來兩個博弈的解之和。

公理8:規模效應公理。如果對于聯盟S，T?P，且S∩T =?，都有:

則稱解函數Fi(N，vy)具有規模效應，由若干個相互獨立的較小聯盟合并而成的大聯盟的總成本小于或者等于原各聯盟的成本之和，也就是說，參與人對某個聯盟的邊際貢獻隨著聯盟的規模擴大而增加。

引理1:如果多人多產品合作博弈(N，vy)同時滿足公理1和公理8，那我們說該博弈是適當的、可行的，也就是說，該博弈滿足超可加性。

合作博弈(N，vy)是超可加的，如果對于任意聯盟S，T?P，且S∩T =?，都有:

vy(S) + vy(T)≤vy(S∪T)

該式表明，當任意兩個聯盟的交集為空集的時候，這兩個聯盟中的所有參與人組成的新聯盟的總利潤總是不小于原先的兩個聯盟的利潤之和。這種博弈稱為超可加博弈。

對引理1中結論的證明:

對于任意聯盟S，T?P，且S∩T =?，都有:

即多人多產品合作博弈(N，vy)滿足超可加性。

3　多人多產品合作博弈成本分攤模型及其求解

3. 1建立多人多產品合作博弈成本分攤模型

合作博弈成本分攤模型的建立是以3個條件為前提的，即:有效性、個體理性和集體理性［16］。多人多產品合作博弈成本分攤模型的建立也要滿足這幾個條件。

條件1:個體理性。每個參與人從聯盟總成本中分攤到的金額，要小于其獨立完成自身項目所要花費的成本，否則，從自身利益出發，該企業將不會接受成本分攤方案。即:

其中，C(i)為第i個參與人不與任何人結盟時所發生的成本數額。

條件2:有效性。聯盟成本應在成員企業之間完全分攤，即:

其中，C(N)表示n個參與人的總需分攤成本，實際上也就是所有參與人全部參加合作時所需要分攤的總成本發生額。

條件3:集體理性。在多人合作博弈中還需要滿足聯盟和理性條件，即:

同時滿足有效性、個體理性和集體理性的成本分攤方案為內部穩定合作分攤，Fi(N，vy)為穩定解，否則稱為不穩定的合作。這里得到內部穩定的多人多產品合作博弈成本分攤模型。

3. 2基于夏普利值的多人多產品合作博弈模型的解

在多人多產品合作博弈(N，vy)中，由于公理1可收回性公理、公理2可加性公理和公理8規模效應公理都得到了滿足，說明該博弈是適當的、可行的，也就是說，該博弈滿足超可加性條件。而且該合作博弈滿足虛擬性、匿名性、可加性等公理化性質，則根據Shapley在1953年的文章中給出的夏普利值表達式，將特征函數的形式替換為定義3中的形式，就得到了解函數的一般表達式。

在多人多產品合作博弈(N，vy)中，對于任一給定產品向量y = (y1，y2，…，yn)∈RNM而言，都有唯一的解F滿足公理1～8，其表達式為:

其中，對于?i∈N及?S?P而言，特征函數vy的表達式為:

成本分攤函數cj(fS，x)的表達式為:

4　　算例分析

4. 1算例假設

假定目前化工市場上有甲、乙、丙、丁4家企業，他們希望通過合作研發生產A、B兩種產品，共同占領同類產品市場。A、B兩種產品在同一生產流程中生產，共同消耗機器設備、人員工時以及生產車間發生的其他各種費用，兩種產品的成本間存在相關性，很難單獨進行核算。盡管這四家企業完全具備獨立研發生產產品A和B的實力，但為了降低成本，利用規模效應帶來的成本降低，4家企業開始尋求合作，建立了一個企業戰略聯盟，合作生產所需的兩種化工產品。

在本算例中，我們假定:參與人集合為N = { 1，2，3，4}，依次代表4家化工甲、乙、丙、丁;產品集合為M = { 1，2}，分別代表產品A和B;參與人聯盟的集合為P = { { 1}，{ 2}，{ 3}，{ 4}，{ 1，2}，{ 1，3}，{ 1，4}，{ 2，3}，{ 2，4}，{ 3，4}，{ 1，2，3}，{ 1，2，4}，{ 2，3，4}，{ 1，2，3，4} }。

對于任意聯盟S?P而言，生產成本函數fS(x1，x2)都是給定的，其中x1和x2分別表示聯盟S所需要的產品A和產品B的數量。在本算例中，假定生產成本函數的表達式為道格拉斯生產函數的形式，即: f(x1，x2) = axα1xβ2，其中α，β＞0且α +β＜1。當然，在現實中，生產成本函數要更加復雜，而且不同聯盟的生產函數一般不同，但為了簡化計算，本例中假定所有聯盟的生產成本函數相同，為f(x1，x2) = 2x0. 41x0. 52，即a = 2，α= 0. 4，β=0. 5。各企業所要求的兩種產品的數量如表1所示:

表1　企業所需產量表

4. 2成本分攤模型的應用及計算

成本分攤程序:根據算例說明中給出的數據，以及本文給出的函數表達式以及多人多產品合作博弈解的表達式，我們將分別計算出各聯盟的生產成本、產品的單位成本、特征函數vy的值，然后根據Shapley Value法計算出合作博弈的解，并且根據投資函數Gi(N，vy)的表達式求出各企業應當分攤的成本額。

表2　各成本及特征函數值結果表

表2中，第一行列示了各聯盟所要求產品A的產量x1，第二行列示了各聯盟所要求產品B的產量x2。第三行列示了根據生產成本函數表達式和一、二行數據計算的各聯盟的生產成本fS。第四行列示了根據單位成本函數計算得到的產品A的單位成本c1，第五行列示了產品B的單位成本c2。最后一行列示了根據特征函數vy的表達式所計算出的各聯盟的特征函數值。

下面以聯盟{ 1，2，3}為例列出各成本、函數值的計算過程:

①計算聯盟要求的產量x1和x2: x1=6 +3 + 4 =13; x2=4 +5 +3 =12。

②計算聯盟的生產成本fS: fS= 2×130. 4× 120. 5=19. 33，即:聯盟{ 1，2，3}的總生產成本為19. 33。

③計算產品A的單位成本c1:

即:在聯盟{ 1，2，3}中，產品A的單位成本為0. 66，產品B的生產成本為0. 89。

④計算聯盟{ 1，2，3}的特征函數值:

vy({ 1，2，3} ) =0. 61×6 +1. 14×4 +1. 03×3 +0. 77×5 + 0. 67×4 + 1. 12×3－(0. 66×13 + 0. 89×12) =1. 83

即:企業甲、乙、丙三者通過構建聯盟{ 1，2，3}而獲得了1. 83的得益，該得益的本質是一種成本節約。該節約額應在大聯盟的參與企業之間進行分配。這里運用Shapley Value法計算甲企業應分得的聯盟得益為例介紹合作博弈解的計算過程:

根據Shapley Value法計算博弈解時，按照下式求解:

在集合P中，一共有8個聯盟中包含甲企業，各聯盟的聯盟人數、特征函數、形成該聯盟的概率以及解函數的計算過程如表3所示:

表3　企業甲的Shapley Value計算過程表

根據表3中的數據，可計算出甲企業所分得的得益為:

F1(N，vy) =0. 06 +0. 08 +0. 06 +0. 10 +0. 11，+0. 10 + 0. 38 = 0. 89，即甲企業因參與各聯盟所分得的聯盟得益的期望值。同理，可以計算出其他3家企業所分得的得益分別為F2(N，vy) = 0. 53，F3(N，vy) =0. 79，F4(N，vy) =0. 56。

表3中，，yi)×yij］－Fi(N，vy)可以算得各企業最終所分攤的生產成本分別為:

G1(N，vy) =8. 19－0. 89 =7. 30;

G2(N，vy) =6. 94－0. 53 =6. 41;

G3(N，vy) =6. 03－0. 79 =5. 24;

G4(N，vy) =5. 38－0. 56 =4. 82。

至此，已經得到了甲乙丙丁各企業為獲得所需產品量而最終分攤的成本，并且得到了產品A 和B各自的單位成本，即完成了本算例中多人合作生產多產品的成本分攤問題。

5　結論

合作博弈理論在企業聯盟單產品合作生產的收益分配和成本分攤中已經得到了廣泛的應用，而本文則研究了企業聯盟中參與企業合作生產多種產品時的成本分攤問題，得到以下結論:

(1)多產品合作生產的成本函數一般為非線性函數，成本函數和各產品的產量之間并不是簡單的線性關系，而是具有規模效應的。使用傳統的分配方法難以將聯盟的生產成本在各產品之間準確分配，因而本文在給出了產品單位成本函數應滿足的公理化性質(公理1～4)之后，得到了單位成本函數的表達式，該式是唯一能夠同時滿足公理1～4的表達形式。

(2)本文用一個博弈族描述了企業戰略聯盟中多產品合作生產的成本分攤問題，構建了多人多產品合作博弈模型，給出了博弈應滿足的公理化性質(公理5～8)，并應用Shapley Value法得到了該博弈的解，該博弈解是唯一能夠同時滿足公理5～8的成本分配方案。

最后通過算例應用，驗證了多人多產品合作博弈及其解的有用性，即能夠成功地將生產成本在聯盟中各企業和各產品之間進行分配。

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(責任編輯:王平)

Research on Cost Allocation of Multiple Goods Cooperative Production in Enterprise Strategic Alliance

Xu Kun Bao Xinzhong
(Beijing Union University，Beijing 100101，China)

〔Abstract〕Cooperative game theory has been widely used in profit and cost allocation of enterprice alliance under singleproduct cooperation，but not multi－products cooperation．This paper mainly dealt with the cost allocation of multi－products cooperative production in enterprise strategic alliance．A cooperative game model is put forward for cost allocation problem which describing cooperation of players interested in multiple goods obtained from a joint project．Under a set of axioms imposed on the game and axioms describing reasonable requirement of per－unit cost function，the solution based on the Shapley Value is proposed and discussed．By using this model，the total cost of the alliance could be allocated within the players，and also could be allocated within the products in the same time．Finally，a case is used to prove the rationality and the feasibility of this model．

〔Key words〕enterprice strategic alliance; game theory; cost allocation; shapley value; income distribution

作者簡介:徐鯤，北京聯合大學管理學院教授。研究方向:供應鏈金融。鮑新中，北京聯合大學管理學院教授，博士，創新企業財務管理研究中心主任。研究方向:科技企業投融資管理。

基金項目:國家社會科學基金項目“基于第三方風險動態監控平臺的知識產權質押融資模式研究”(項目編號: 14BGL034) ;北京社科基金項目“電商雙邊市場供應鏈融資與北京小微企業融資體系優化研究”(項目編號: 14JGC097)。

收稿日期:2015—12—01

〔中圖分類號〕F224. 32; F275. 3

〔文獻標識碼〕A

DOI:10．3969/j．issn．1004－910X．2016．04．008