鐵路貨物運輸保本距離分析及其粒子群算法

張漢坤， 劉世峰， 宮大慶

(北京交通大學 經濟管理學院， 北京 100044)

鐵路貨物運輸保本距離，即鐵路貨物運輸盈虧平衡點，是以運輸距離為對象的盈虧平衡點的計算問題，可以描述為在確定貨物品類和發送量的前提下，運輸距離為多少可以達到盈虧平衡。鐵路運輸企業受客戶委托后，確定需要運輸的貨物品類和發送量，以及發貨車站和到貨車站，但是實際的行車路線是由鐵路運輸企業規劃，而選擇不同的線路，運行的實際里程和使用的機車將不同，機車走行作業量、牽引作業量以及工務、電務、車輛等部門的作業量也將不同，不同線路單位作業成本也不同，導致運輸成本不同，甚至影響到貨物運輸的盈虧。即由于線路條件、設備運用效率等差異，相同貨物在不同地區、不同企業以及使用不同的運輸設備、采用不同的組織方式等，運輸成本水平將不同[1]。

國內學者主要對鐵路貨物運輸成本進行研究，并應用本量利對鐵路運輸進行分析。李岱安和徐剛等[2]，根據鐵路運輸生產特點將運輸生產過程劃分為發送、中轉、運行和到達4個環節，對鐵路運輸的成本進行核算。李岱安[3]基于此研究以運量和營業收入額為對象的鐵路運輸企業保本點。劉杰、何世偉和宋瑞等[4]，考慮鐵路、航空以及水運固定出發時間對多式聯運動態路徑選擇的影響，將運輸費用細化為固定、路段運輸、中轉以及等待出發等費用。歐美國家研究盈虧平衡距離，主要以鐵路公路聯合運輸為對象，研究聯運的盈虧平衡距離[5]，供托運者選擇聯運或單一公路運輸和決策者是否鼓勵托運者使用聯運作參考[6]。低于盈虧平衡距離單一公路運輸有比較優勢，而高于盈虧平衡距離聯運有比較優勢[7-8]。一般認為在中長距離貨物運輸中鐵路比公路更加環保[9]，增加貨車的運能可以降低經濟和環境成本讓聯運更高效[10]。在鐵路公路聯運中貨物始發與終到之間的距離必須高于盈虧平衡距離，這是因為聯運成本包含從公路到鐵路或者鐵路到公路的聯運端運營商額外收取的費用[11]。公路和聯運成本構成變化影響盈虧平衡距離[12]。圖1中，當固定成本下降時，曲線向下平移；當變動成本增加時，曲線的斜率變大[12]。例如，聯運終端裝卸費用和聯運兩端公路運輸成本等增加時，盈虧平衡距離增大[13]。歐洲的研究者認為歐盟委員會(European Commission)建議的300 km聯運距離是可行的[14]；北美的研究者通過市場觀察評估確定為800 km[6]。

可以發現，現有研究主要集中在鐵路運輸成本核算和基于運量與營業收入額為對象的保本分析，以及聯運保本距離分析，沒有單獨對鐵路貨物運輸建立以運輸距離為對象的本量利分析(cost-volume-profit analysis，CVP)。因此，本文基于傳統本量利分析構建運輸企業保本距離分析，并結合決定鐵路運輸成本復雜性的被運送對象與運輸工具(移動設備)運動的不完全一致性本質特征[15]，分析鐵路貨物運輸保本距離，為鐵路運輸企業接收托運和選擇運輸經由提供參考，優化利用資源，提升鐵路運輸競爭力，實現利益的最大化。

1 保本距離建模

本量利分析，是企業經營決策過程中重要輔助分析工具，通過全面分析成本、產量和利潤之間的相互關系，為企業預測、決策和控制等提供科學依據[16-18]。傳統的本量利分析假定，所有成本可劃分為固定和變動成本兩部分；銷售收入與產量、成本與產量之間呈線性關系[16]。固定成本在一定條件下不變，而變動成本與產量成正比例關系[19]。本量利分析基本關系式為

P=RV-(VCV+FC)

( 1 )

式中：P為利潤；V為產量；RV為收入；VCV為變動成本；FC為固定成本。

運輸服務企業與一般制造企業不同，運輸服務企業不生產產品，只是提供運輸服務。提供運輸服務時，按照托運貨物重量和運輸距離收取費用。假設運輸費用和運輸距離成線性關系[20]。因此，運輸服務企業本量利分析可表示為

P=RW,L-VCW,L+FCW

( 2 )

式中：W為貨物重量；L為運輸距離；RW,L為運輸收入；VCW,L為變動成本；FCW為固定成本。

本量利分析的核心部分是確定“盈虧平衡點”[21]。作業基礎本量利分析的假設也指出，企業以利潤最大化為目標，而且盈利突破零(即保本)信息至關重要[22-23]。對于運輸服務企業，盈虧平衡點表現為運輸距離，即運輸距離達到多少時剛好收支相抵，利潤為0，超過盈虧平衡點的運輸距離將帶來利潤。因此，運輸服務企業的本量利分析盈虧平衡點(即保本點)，也稱為保本距離，基本公式為

( 3 )

區別于鐵路與其他運輸方式的本質特征，由于鐵路運輸生產活動的網絡性而貨物流動與運載工具的移動之間的非完全一致性對應，決定鐵路運輸產品成本的復雜性，整個網絡對運輸產品生產過程的全局性支持、移動設備對固定化的基礎設施的排他性占用和運輸產品對資源的聯合性消耗[15]。應對3種情況，可將鐵路運輸成本分為3個部分，即變動成本、半變動成本和固定成本[2,24]。鐵路貨物運輸是鐵路運輸企業通過機車、車輛以及各類基礎設施，在點線面綜合協調下實現運送對象的空間位置變化，所以成本特性必然與機車、車輛等設施和設備的運用效率以及管理水平緊密相關[1]。對3部分成本分別產生不同影響，這種影響也反映在距離平衡分析中，即鐵路貨物運輸的成本同時與鐵路運輸企業的作業效率有關。因此，建立鐵路貨物運輸的本量利分析和保本距離分析模型為

P=RW,L-VCW,E,L+FCW,E

( 4 )

( 5 )

式中：E為作業效率參數；VCW,E,L為變動成本；FCW,E為固定成本。

2 保本距離分析

2.1 運輸收入

運輸收入指在確定貨物品類(即確定對應使用的運價號)和發送量的前提下，鐵路運輸企業提供貨物運輸服務而向客戶收取的費用。鐵路貨物運輸收入可分為與運輸距離和發送重量有關和無關兩個部分，因鐵路運輸企業在提供基本運輸服務同時，托運者可以根據實際需要選擇兩端服務，例如接取或送達貨物和倉儲貨物等，該部分費用主要通過與運輸距離和發送重量無關部分體現，即額外收取相關費用。因此，本文根據實際情況和文獻[25]及各類貨物鐵路運輸(整車)基準運價率見表1，進一步簡化建模分析，僅考慮與運輸距離和發送重量有關部分費用收入，即鐵路貨物運輸收入為

RW,L=r1+r2×L×W

( 6 )

式中：r1為基價1；r2為基價2。

表1 各類貨物鐵路運輸(整車)基準運價率

2.2 運輸成本

運輸成本，根據鐵路貨物運輸的過程，可以細分為發送、運行、中轉、到達和兩端服務共5個環節。根據運輸收入分析，運輸成本只考慮前面4個環節成本。每個環節細化作業量指標，見表2。

表2 作業量指標

運輸成本通過計算作業成本得到，作業成本計算的一般原理是單位作業成本乘以作業量，根據運輸服務企業保本距離分析，成本支出按與作業量的變動關系，又可分為固定成本、變動成本[24]，得到

VCW,E,L=

C21×H21+C22×H22+C23×H23+

C24×H24+C25×H25+C26×H26

( 7 )

FCW,E=C11×H11+C12×H12+

C31×H31+C32×H32+

C41×H41+C42×H42

( 8 )

式中：Hij為第i環節第j個作業量指標；Cij為對應Hij的單位作業成本。

2.3 作業量指標計算

作業量指標分為發送、運行、中轉和到達4個環節，分別對應車站、機務、供電、工務、電務和車輛等部門的作業。

(1) 發送環節

發送環節對應發送站和車輛部門的作業，發送站作業量為發送車數，車輛部門的作業量為發送貨車車輛占用時間。

① 發送環節作業量：發送車數

( 9 )

式中：γ為靜載重。

② 發送貨車車輛占用時間：貨車占用時間

(10)

式中：τ1為作業停留時間；ε為空率。

(2) 運行環節

運行環節分別對應機務、供電、工務、電務和車輛部門的作業。機務部門作業量為機車走行作業量、內燃或電力(供電部門)機車牽引作業量；工務部門作業量為通過總重噸公里；電務部門作業量為列車公里；車輛部門作業量為車輛走行作業量、運行貨車車輛占用時間。

① 機車走行作業量：機車總走行公里

1+ζ1+ζ2+ζ3×1+ζ4

(11)

式中：σ為機車平均牽引重量；ω1為車輛自重；ζ1為單機率；ζ2為重聯率；ζ3為補機率；ζ4為換算走行率。

② 內燃或電力(供電部門)機車牽引作業量：牽引總重噸公里

(12)

③工務作業量：通過總重噸公里

(13)

式中：ω2為機車自重。

④ 電務作業量：列車公里

(14)

⑤ 車輛作業量：運用貨車車輛公里

(15)

⑥運用貨車車輛占用時間：貨車占用時間

(16)

式中：ν為旅行速度。

(3) 中轉環節

中轉環節對應中轉站和車輛部門的作業，中轉站作業量為中轉車辦理車數和車輛部門的作業量為中轉貨車車輛占用時間。

① 中轉車輛作業量：中轉車辦理車數

(17)

式中：π為中轉次數。

② 中轉貨車車輛占用時間：貨車占用時間

(18)

式中：τ2為中轉平均停留時間。

(4) 到達環節

到達環節對應到達站和車輛部門的作業，到達站作業量為到達車數和車輛部門的作業量為到達貨車車輛占用時間。到達環節的作業量，在數值上與發送的作業量相等。

① 到達環節作業量：到達車數

(19)

② 到達貨車車輛占用時間：貨車占用時間

(20)

3 保本距離求解

3.1 模型求解

由鐵路貨物運輸本量利分析模型可得

r1+r2×L×W=C11×H11+C12×H12+

(C21×H21+C22×H22+C23×H23+

C24×H24+C25×H25+C26×H26)+

(C31×H31+C32×H32)+

(C41×H41+C42×H42)

(21)

代入相應作業量指標，整理后得到

(r1+r2×L)×W=

1+ζ1+ζ2+ζ3×1+ζ4+

(22)

求解得到鐵路貨物運輸保本距離分析模型

L=

(23)

設

(24)

(25)

式中：r3為發送站發送每噸貨物的作業成本；r4為運輸每噸貨物每公里的作業成本。鐵路貨物運輸保本距離分析模型為

(26)

3.2 目標函數

由保本距離計算模型可得，保本距離存在的基本條件是分母不為0，即當下式成立時，保本距離不存在

r2=r4

(27)

此時，鐵路運輸企業的貨物運輸盈虧與距離無關，如果r1=r3，則貨物運輸盈虧平衡，即任何距離均是保本點；如果r1>r3，則貨物運輸均盈利；如果r1r4，則貨物運輸均盈利；如果r2

但是，保本距離存在不一定有意義，且不一定有實際意義。當滿足以下條件時，保本點存在但為負數，沒有意義。

r1r3∩r2>r4

(28)

此時，如果r1>r3∩r2>r4，貨物運輸運輸任何距離均盈利；r1

為得到有意義的結果，還需進一步滿足相應的條件。保本距離有意義，是指滿足計算模型分母不為0的基本條件，同時滿足保本距離的計算結果不能是負數，即要大于0。按照保本距離計算模型，分子和分母都是由2個相減的部分組成。所以，要保證結果能夠大于0，也就是為正數，即需要保證分子和分母的計算結果有相同的符號。即滿足以下條件

r1r4∪r1>r3∩r2

(29)

此時，如果r1r4，保本距離L的含義為貨物運輸運輸距離大于L則能實現盈利，小于L則虧損，根據保本距離分析可知，此時L有實際意義；如果r1>r3∩r2

根據以上分析，在作業效率范圍內調整作業效率指標，使保本距離有實際意義，即r1r4，在此作業效率水平下運輸距離大于此時L，或在此運輸L距離條件下進一步提高作業效率(提高資源利用效率)，可以實現企業最終盈利的目的。由于技術經濟特征的制約，設備等運用效率的提高要受到一定的限制[1]，根據文獻[26]統計數據設定作業效率見表3。即在作業效率范圍內調整作業效率指標，保本距離可能存在極值：如果最小Lmin存在，則小于Lmin距離貨物運輸鐵路運輸企業均不能受理，此時運輸一定虧損；如果最大Lmax存在，則大于Lmax距離貨物運輸鐵路運輸企業均可以受理，此時運輸盈利。

表3 作業效率表

注：約束條件“dp=-1”表示保留1位小數；“dp=-2”表示保留2位小數。

基于以上分析，構建鐵路貨物運輸保本距離分析的目標函數。

4 基于MPPSO算法算例驗證

4.1 算法設計

粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是Kennedy和Eberhart受Heppner和Grenander的相關工作和鳥群覓食行為啟發提出的，很快發展成為有效的優化方法[27-28]。PSO的優化速度和性能有很大提高，而且具有很好的魯棒性，在全局優化領域應用廣泛[29]。大多數隨機算法(包括PSO)和遺傳算法都受制于“維數災難”問題，即隨著搜索空間維數的增加性能下降[30]。為增加PSO算法種群多樣性和問題的空間探索能力，把粒子群分成多組并引入多相和Davis爬山算法的思想，提出MPPSO[31-34]。MPPSO算法有助于擴大問題空間的探索能力，增加種群的多樣性，并且防止過早收斂[33]。通過實驗證明，MPPSO算法的尋優能力和魯棒性優于PSO[35-36]。PSO算法應用在鐵路集裝箱中心站軌道門吊調度優化和全路空車動態調配問題中，解決其優化問題[37-38]；Qi、Ruan和Shi等[35]將MPPSO算法應用于逆輻射問題研究中，得到優于PSO的其它算法結果。從上面分析可知，鐵路貨物運輸保本距離分析是復雜的問題。因此，本文采用MPPSO求解問題。

MPPSO算法通過位置更新公式改變他在群中的位置，速度和位置更新式為

vidt+1=Cvvidt+Cxxidt+Cggdt

(30)

xidt+1=xidt+vidt+1

(31)

式中：Cv、Cx、Cg為每個相位內每個組的系數值；gd(t)為t時刻所有粒子目前為止經歷過的最好位置d維分量；vidt、vidt+1分別為t和t+1時刻粒子i速度d維分量；xidt、xidt+1分別為t和t+1時刻粒子i位置d維分量。

MPPSO算法首先給出相位數目ph，相位變化頻率pcf，每個相位的群的數目g和速度變化變量VC，并初始化粒子速度和位置以及全局最優位置，然后開始迭代直到滿足終止條件為止。本文在MPPSO算法基礎上，對每個維度進行sl子長度更新，在Rastrigin函數實驗中，問題的維數D=30，其他參數同下，算法獨立運行30次，得到最優值 2.110 9e-13±4.006 49e-13，算法性能(收斂速度和最優值)得到顯著提高。因此，MPPSO算法的偽代碼(matlab)為

%% Step0 確定以下參數T、D、N、ph、pcf、g、VC

%% Step1 初始化粒子群粒子的速度v和位置x，以及粒子群全局最優位置Pgx及最優值Pg

%% Step2 迭代

fort=1:T

%判斷是否滿足重新初始化速度條件，如果滿足條件則重新初始化速度

%確定當前的相位

%處理每個粒子

fori=1:N

%確定當前的粒子分組

%確定維數的子長度

sl=roundnrand×min10,D-1+1,0;

%對粒子的每個維度進行處理

ford=1:D

%緩存粒子初始位置

temp1,:=xi,:;

%處理粒子每個子維度

forj=0:sl

%更新維數

d_temp=d+j;

%判斷是否超出維數，超出維數則推導出循環

%確定速度更新公式的系數值

%根據式(30)更新速度

vi,d_temp=Cv×vi,d_temp+

Cx×xi,d_temp+Cg×Pgxd_temp;

%根據式(31)更新位置緩存

temp1,d_temp=xi,d_temp+

vi,d_temp;

end

%判斷新臨時位置是否改進適應度，是則接受臨時更新

iffitnesstemp

%接受臨時更新

xi,:=temp1,:;

end

end

end

% 更新粒子群全局最優位置

fori=1:N

% 計算適應度

f=fitnessxi,:;

iff

Pgx=xi,:;

Pg=f;

end

end

end

4.2 算例分析

單位作業成本與作業量指標相對應，指每完成1個單位的作業所消耗的資源(成本)，用于計算各項作業的成本。根據某鐵路貨物運輸企業13年實際的單位作業成本編制的單位作業成本[39]，見表4。

表4 作業量指標的單位作業成本

根據文獻[32,34]，MPPSO算法相關參數設置：ph=2、pcf=5、g=2、sl∈1,min10,D、VC=10、Cv=rand( )，當相位1子種群1或相位2子種群2時，Cx=rand( )、Cg=-rand( )；當相位1子種群2或相位2子種群1時、Cx=-rand( )、Cg=rand( )。根據實驗效果，實際情況和參考規范PSO參數設置其他參數：最大迭代次數T=200、問題的維數D=14、粒子群個體數目N=30。通過MPPSO算法求解，在根據實際情況精確到整數，獨立運行30次，各運價號最小、最大保本距離見表5。某次運行過程中，最小適應值函數見圖2(a)、圖2(b)，最大適應值函數見圖3。

表5 各運價號最小、最大保本距離

注：根據鐵路運輸實際情況，保本距離大于1萬km，則認為最大保本距離不存在，表示為“—”。

由表5可知，在表4作業成本和表3作業效率情況下:

(1) 如果根據客戶托運貨物確定收費使用運價號為2，則托運距離不能小于227 km，否則運輸將虧損；

(2) 如果根據客戶托運貨物確定收費使用運價號為3，則托運距離不能小于60 km，否則運輸將虧損；

(3) 運價號2、3的最小保本距離對應的作業參數取值，見表6，在運價號2、3對應貨物運輸中，作業參數靜載重、機車平均牽引重量和旅行速度變大而其他作業參數變小，可以使保本距離變小；

(4) 如果根據客戶托運貨物確定收費使用運價號為4～6，則通過調整作業參數使保本距離存在，即通過調整作業參數可以實現盈利；

(5) 所有運價號的最大保本距離均不存在(大于1萬km，根據實際情況則認為不存在)，即在目前基準運價率下，絕對盈利保本距離不存在。

表6 運價號2、3的最小保本距離對應的作業參數取值

5 結論

本文從傳統的本量利分析出發，結合運輸服務企業的特點，構建運輸服務企業的本量利和保本距離分析模型。由于貨物流動與運載工具的移動之間的非完全一致性對應，決定鐵路運輸成本的復雜性，與鐵路運輸企業的作業效率有關，是區別于其他運輸方式的本質特征。根據鐵路貨物運輸成本的特殊性，構建鐵路貨物運輸本量利和保本距離分析模型。

結合鐵路貨物運輸實際情況，求解保本距離分析模型，由于技術經濟特征的制約，鐵路運輸企業的作業參數調整受到一定的限制，在保本距離具有實際意義基礎上對模型進行分析，結合現有作業成本和作業效率，構建鐵路貨物運輸保本距離分析目標函數。

本文利用MPPSO算法對鐵路貨物運輸保本距離進行求解，得到目標函數值——各運價號在給定的作業成本和作業效率下對應的最小、最大保本距離，為鐵路運輸企業接收托運和運輸經由選擇等提供參考。在表4作業成本和表3作業效率下，運價號2和3最小保本距離分別為227 km和60 km，分別小于該距離的運價號2和3對應的貨物運輸，鐵路運輸企業均不能受理；在其他條件下，各運價號對應貨物運輸均不存在絕對盈利運輸距離。

在表4作業成本和表3作業效率情況下，運價號2、3的最小保本距離對應的作業參數取值可以看出，保本距離有實際意義的情況下，作業參數靜載重、機車平均牽引重量和旅行速度變大而其他10個作業參數變小，保本距離變小。即作業參數靜載重、機車平均牽引重量和旅行速度變大而其他10個作業參數變小，可以降低鐵路貨物運輸成本。

實際工作中，不同機型的機車總走行公里，不同車種的運用貨車車輛公里和占用時間，以及不同線路等級的通過總重噸公里和列車公里，對應單位作業成本不一樣；牽引總重噸公里對應單位作業成本，依據實時能源單價(電價和油價)和機車單耗決定。本文為簡化分析過程，分別采用平均單位作業成本代替機種、車種和線路等級對應單位作業成本，這將是今后研究的重點。

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