無中生有長方體 巧解一類立體題

趙志攀

摘 要：長方體內蘊涵著豐富的點、線、面的相等、平行、垂直等關系，結構對稱，是研究線面關系、特殊幾何體的一個重要載體，亦是展開空間想象的重要依托。本文將通過近年來部分高考試題中外接球的問題談一談巧建長方體的應用。

關鍵詞：長方體；正方體；外接球

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）09-219-01

眾所周知，長方體因其結構對稱，各元素之間具有相等、平行、垂直等關系，內涵豐富，位居立體幾何中的基本幾何體首位，是研究線面關系、特殊幾何體的一個重要載體，亦是展開空間想象的重要依托。

《普通高中數學課程標準》中對立體幾何初步的學習提出了基本要求：“在立體幾何初步部分，學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系；……。”有關外接球的立體幾何問題是近年各省高考試題的重難點之一，本文將通過近年來部分高考試題中外接球的問題談一談巧建長方體的應用。

例1：（2012年遼寧卷）已知正三棱錐P- ABC，點P，A，B，C都在半徑為 的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________。

解析：遇到“正棱錐中 PA，PB，PC兩兩互相垂直”的環境，易可構造正方體如圖1，因正三棱錐P- ABC的外接球與該正方體的外接球為同一個球，所以線段PD為球直徑，球心為線段PD中點O，由正方體的性質可得P到平面ABC的距離為線段PD的 ，O到平面ABC的距離為線段PD的 。此空應填：

長方體的一個角即是PA，PB，PC兩兩互相垂直的環境，不僅如此正方體模型還可“包容”正四面體環境，如下圖2：其中正四面體 鑲嵌于正方體之中，其外接球為同一個，正四面體棱長 ，則對應正方體的棱長為 ，正方體的體對角線為 ，所以球半徑 。 依此辦法可以輕松解決有關球內接正四面體的問題。

例2：（2006年山東高考題）在等腰梯形 中， ， ， 為 的中點，將 與 分布沿 、 向上折起，使 、 重合于點 ，則三棱錐 的外接球的體積為（ ）.

解析：不難發現題目中的“垂直”條件很是豐富，將題目中的三棱錐復原于長方體（正方體）中如下圖：

由題意知，此正方體的棱長為1，球的半徑為： 體積為： ，選A

例4：（2010全國卷1理數）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2，則四面體ABCD的體積的最大值為（ ）

（A） ；（B） ；（C） ；（D）

解析：仔細分析題意，線面的垂直、平行關系雖早已不見蹤影，但條件“AB=CD=2”仍可以幫我們將此四面體ABCD復原于長方體內，如下圖六：

設長方體的長、寬、高分別為： ，則由題意得： ，又因為球半徑為2，所以長方體的體對角線為4，即有 ，可得 ，所以 ，

而四面體ABCD相當于長方體切掉四個等大的“角”，所以四面體ABCD體積為長方體體積的 ，所以四面體ABCD的體積 ，而 ，由不等式得 ，體積的最大值為 ，當且僅當 時等號成立。

無中生有長（正）方體，巧解以上四個題皆是歸功于最大限度地開發了存在于長方體中的豐富的線面的垂直、平行關系以及長方體特有的數量關系，巧妙地將“體形各異”的三棱錐復原于對應的長方體或正方體中，而三棱錐的外接球與對應的長（正）方體的外接球是同一個，所以球心的位置以及球半徑與椎體棱長的關系則顯而易見。