關于一類發展方程求解方法的探討

雷艷

摘 要：本文主要探討如何分別利用傅里葉變換及拉普拉斯變換，求解半有界桿熱傳導這一類發展方程的定解問題。

關鍵詞：發展方程；傅里葉變換；拉普拉斯變換

中圖分類號：G712 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）09-005-01

一、引言

發展方程，數學術語，是用來描述隨時間而演變的過程的一些重要的偏微分方程（方程組）的總稱。常見的發展方程有：熱傳導方程及反應擴散方程，波動方程與克萊因-戈登方程等等。

積分變換就是通過積分運算，把一個函數變成另一個函數的變換。最常見的積分變換有兩種：傅里葉變換（包括傅里葉變換、正弦變換、余弦變換）和拉普拉斯變換，其他的還包括梅林變換和漢克爾變換等。積分變換法憑借著它靈活方便的特點在理工科方面有很大的應用，在理論上主要用于處理微分方程的定解問題。

本文將探討利用傅里葉變換和拉普拉斯變換求解偏微分方程的定解問題。使用這個方法時主要困難在于如何選取恰當的積分變換，對這個問題應從兩方面來考慮，首先要注意自變量的變化范圍，傅里葉變換要求作變換的自變量在 內變化，傅里葉正弦和余弦變換要求作變換的自變量在 內變化，拉普拉斯變換要求作變換的自變量在 內變化，其次要注意定解條件的形式，根據變換的性質可以看出，要對某自變量取哪一種變換，如果取拉普拉斯變換必須在定解條件中給出當自變量等于零時的函數值及有關導數值，另外還要注意定解條件中哪些條件需要取變換，哪些條件不需要取變換，最后還可以考慮對于同一類發展方程的定解問題是否可以用不同的變換求解的問題。下面我們討論如何利用不同的積分變換求解半有界桿熱傳導方程的定解問題：

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二、利用傅氏正弦變換求解半有界桿熱傳導方程定解問題

四、結論

通過前面的論證說明，對于同一發展方程的定解問題，可以選擇不同的積分變換求解，如果積分變換及自變量都選擇的恰到好處的話，其定解問題的解是可以完全相同的。