巴拿赫空間上斜演化半流的非一致指數不穩定性的存在條件

岳　田, 宋曉秋

(1. 湖北汽車工業學院 理學院， 湖北 十堰 442002； 2. 中國礦業大學 理學院， 江蘇 徐州 221116)

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巴拿赫空間上斜演化半流的非一致指數不穩定性的存在條件

岳田1, 宋曉秋2

(1. 湖北汽車工業學院 理學院， 湖北 十堰 442002； 2. 中國礦業大學 理學院， 江蘇 徐州 221116)

摘要：基于一致指數不穩定的定義，引入了Banach空間中斜演化半流非一致指數不穩定的概念，并用實例闡釋了二者的關系.借助于指數穩定性的研究方法,討論了斜演化半流非一致指數不穩定的特征，建立了其非一致指數不穩定的2個充要條件.所得結論推廣了指數穩定性及一致指數不穩定性中的一些已有結果.

關鍵詞：斜演化半流； 非一致指數不穩定性； 巴拿赫空間； 指數衰退

YUE Tian1, SONG Xiaoqiu2

(1.SchoolofScience,HubeiUniversityofAutomotiveTechnology,Shiyan442002,HubeiProvince,China; 2.CollegeofScience,ChinaUniversityofMiningandTechnology,Xuzhou221116,JiangsuProvince,China)

近年來，利用斜演化半流來研究無限維空間中演化方程的漸近性質取得了長足發展.關于斜演化半流的概念首先由MEGAN等[1]引入，與演化算子、演化族、斜積流僅依賴于2個變量不同,其依賴于3個變量，進而利用斜演化半流來研究演化方程解的漸近行為似乎更為合理，尤其是在指數穩定性方面.如文獻[2]給出Banach空間中斜演化半流一致指數穩定的性質刻畫，并得到了相應性質在一致集上的統一形式；文獻[3]利用Banach函數空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數穩定的連續與離散特征；文獻[4]給出了線性斜演化半流一致指數穩定的連續及離散型Barbashin定理；文獻[5]則采用類似于文獻[2]的方法，研究了斜演化半流非一致指數穩定的若干性質；文獻[6]定義了斜演化半流指數及多項式穩定的若干形式，給出了相關概念間的關系，并得到了指數及多項式穩定的積分特征.

與指數穩定性相比，關于斜演化半流指數不穩定性(膨脹性)的研究相對較少.如文獻[1]對斜演化半流的一致指數不穩定性進行了研究，得到了DATKO相應型結論[7]；文獻[8]給出了與斜演化半流的弱指數膨脹性相關的性質，并利用Lyapunov函數刻畫了弱指數膨脹的相關特征；文獻[9]利用Banach函數空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數膨脹的充要條件.由于一致指數不穩定條件太強，本文將在上述文獻的基礎上，給出Banach空間中斜演化半流非一致指數不穩定性的概念，并探究其成立的一系列充要條件.

1預備知識

設(X,d)為一度量空間，V是一個Banach空間，將空間V上的范數及作用其上的有界線性算子全體B(V)上的范數記作‖·‖.記

I為恒等算子.

定義1[1-2]映射φ:T×X→X稱為X上的演化半流(evolutionsemiflow)，需滿足以下2個性質：

(es1)φ(t,t,x)=x,?(t,x)∈+×X；

(es2)φ(t,s,φ(s,t0,x))=φ(t,t0,x),?(t,s),

(s,t0)∈T,?x∈X.

定義2[1-2]如果滿足如下性質：

(ec1)Φ(t,t,x)=I,?(t,x)∈+×X；

(ec2)Φ(t,s,φ(s,t0,x))Φ(s,t0,x)=Φ(t,t0,x),?(t,s),(s,t0)∈T,?x∈X.

則稱映射Φ:T×X→B(V)為演化半流φ上的演化上循環(evolutioncocycle).

定義3[1-2]映射C:T×Y→Y，

C(t,s,x,v)=(φ(t,s,x),Φ(t,s,x)v),

(1)

稱為Y上的斜演化半流(skew-evolutionsemiflow)，其中Φ為演化半流φ上的演化上循環.

關于斜演化半流的例子可參閱文獻[1-2]中的例子，此處省略.值得注意的是，C0半群、演化算子、演化族、斜積流均為斜演化半流的特殊情形.

定義4[2]如果對于?(t0,x,v)∈+×Y，映射在[t0,∞)上可測，則稱斜演化半流C=(φ,Φ)為強可測.

定義5[8]如果存在常數M≥1和ω>0使得

(2)

對?(t,s),(s,t0)∈T及?(x,v)∈Y成立，則稱斜演化半流C=(φ,Φ)為指數衰退的(exponentialdecay).

(3)

對?(t,s),(s,t0)∈T及?(x,v)∈Y成立，則稱斜演化半流C=(φ,Φ)為非一致指數不穩定(nonuniformlyexponentiallyinstable).

注 1斜演化半流C=(φ,Φ)是非一致指數不穩定的，當且僅當存在非減函數N:+→[1,∞)和常數α>0使得

(4)

對?(t,t0,x,v)∈T×Y成立.

注2若定義6中N(t)=N≥1，則稱斜演化半流C=(φ,Φ)是一致指數不穩定的(uniformlyexponentiallyinstable)[1]，顯然若C是一致指數不穩定的，則一定是非一致指數不穩定的，反之不一定成立.

ft(τ)=f(t+τ),?τ∈+.

則(X,d)為度量空間且映射

φ:T×X→X,φ(t,s,x)=xt-s

為X上的演化半流.令V=，考慮映射，其中ρ(t)=sint-tcost+2t，則其為一演化上循環，進而C=(φ,Φ)為斜演化半流.由于

ρ(t)-ρ(t0)=

sint-sint0-tcost+t0cost0+2t-2t0≥

t(1-cost)-t0(1-cost0)+t-t0-2≥

t-3t0-2，

進而可得

即

故C是非一致指數不穩定的.

假設C是一致指數不穩定的，則存在常數N≥1和α>0使得對?(t,t0,x,v)∈T×Y，

現取t=2nπ+2π，t0=2nπ+π，則

從而矛盾，故C非是一致指數不穩定的.

2主要結論

定理1斜演化半流C=(φ,Φ)是非一致指數不穩定的當且僅當存在兩非減函數f,g:+→[1,+∞)且g(t)=∞，使得

(5)

對?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y成立.

證明必要性：取g(t)=eαt,?t≥0即可證.

充分性：設(t,s)∈T，δ>0且滿足g(δ)>1.則存在n∈和r∈[0,δ)，使得t-s=nδ+r.記

定理2設C=(φ,Φ)為一強可測的具有指數衰退的斜演化半流，則如下命題等價：

(i)C是非一致指數不穩定的；

(ii)存在非減函數ε:+→[1,∞)及常數v>0，使得對?(t,t0,x,v)∈T×Y，式(6)成立.

(6)

(iii)存在非減函數ε:+→[1,∞)使得對?(t,t0,x,v)∈T×Y，式(7)成立.

(7)

證明(i)?(ii)由定義6知，對?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y，存在非減函數N:+→[1,∞)和常數α>0，使得

成立.

(ii)?(iii)顯然.

(iii)?(i)因為C具有指數衰退性，故存在常數M≥1和ω>0使得對?(t,s),(s,t0)∈T，?(x,v)∈Y，

(8)

成立.進一步，

(9)

結合式(8)、(9)，對?(t,t0,x,v)∈T×Y，

利用定理1，取f(t)=Meω t(1+ε(t))，g(t)=1+t，可得C=(φ,Φ)是非一致指數不穩定的.

參考文獻(References)：

[1]MEGAN M, STOICA C. Exponential instability of skew-evolution semiflows in Banach spaces[J]. Stud Univ Babes-Bolyai Math,2008,53(1):17-24.

[2]STOICA C, MEGAN M. On uniform exponential stability for skew-evolution semiflows on Banach spaces[J]. Nolinear Analysis,2010,72(3/4):1305-1313.

[3]HAI P H. Continuous and discrete characterizations for the uniform exponential stability of linear skew-evolution semiflows[J]. Nolinear Anal,2010,72(12):4390-4396.

[4]HAI P H. Discrete and continuous versions of Barbashin-type theorems of linear skew-evolution semiflows[J]. Appl Anal,2011,90(12):1897-1907.

[5]STOICA C, MEGAN M. On nonuniform exponential stability for skew-evolution semiflows in Banach spaces[J]. Carpathian J Math,2013,29(2):259-266.

[6]STOICA C, BORLEA D. Exponential stability versus polynomial stability for skew-evolution semiflows in infinite dimensional spaces[J]. Theory Appl Math Comput Sci,2014,4(2):221-229.

[7]DATKO R. Uniform asymptotic stability of evolutionary processes in Banach spaces[J]. SIAM J Math Anal,1972,3(3):428-445.

[8]YUE T, SONG X Q, LI D Q. On weak exponential expansiveness of skew-evolution semiflows in Banach spaces[J]. J Inequal Appl,2014(1):1-11.

[9]YUE T, LEI G L, SONG X Q. Some characterizations for the uniform exponential expansiveness of linear skew-evolution semiflows[J]. Advances in Mathematics (China),2015,45,doi:10.11845/sxjz.2014173b.

Criteria for the existence of nonuniform exponential instability of skew-evolution semiflows in Banach spaces. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):181-183

Abstract:Based on the definition of uniform exponential instability, a skew-evolution semiflow with nonuniform exponential instability is presented in Banach spaces. An illustrating example is used to clarify the relationship between the two concepts. Exponential stability technique is applied to study the features of nonuniform exponential instability of skew-evolution semilflows. Two necessary and sufficient conditions concerning the nonuniform exponential instability of skew-evolution semiflows are given. The obtained conclusions are generalizations of the well-known results about the exponential stability and uniform exponential instability.

Key Words:skew-evolution semiflow; nonuniform exponential instability; Banach space; exponential decay

中圖分類號：O 175.13

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-181-03

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.010

作者簡介：岳田(1988-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-3371-5673,男，助教，碩士，主要從事微分系統的漸近行為研究,E-mail: ytcumt@163.com.

基金項目：湖北省自然科學基金資助項目(2014CFB629); 湖北汽車工業學院校預研基金項目(2014CFB629).

收稿日期：2015-08-06. 2015-08-06.