自動滿足C2連續的帶參數五次Hermite插值樣條

李軍成, 謝　煒

(1. 湖南人文科技學院 數學系, 湖南 婁底 417000; 2. 桂林理工大學 理學院, 廣西 桂林 541004)

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自動滿足C2連續的帶參數五次Hermite插值樣條

李軍成1, 謝煒2

(1. 湖南人文科技學院 數學系, 湖南 婁底 417000; 2. 桂林理工大學 理學院, 廣西 桂林 541004)

摘要：為了克服已有的帶形狀參數的三次或四次Hermite型插值樣條不能自動滿足C2連續這一不足,提出了一類新的五次Hermite插值樣條.該樣條除了具有帶形狀參數Hermite型插值樣條的特性外,在插值條件保持不變的情形下可自動滿足C2連續且其形狀還可通過所帶的形狀參數進行調控.進一步,給出了一種確定形狀參數最優取值的方法,該法可使得五次Hermite插值樣條曲線具有最優插值效果.

關鍵詞：Hermite插值;五次Hermite插值樣條;C2連續;形狀調控

LI Juncheng1, XIE Wei2

(1.DepartmentofMathematics,HunanUniversityofHumanities,ScienceandTechnology,Loudi417000,HunanProvince,China; 2.CollegeofScience,GuilinUniversityofTechnology,Guilin541004,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China)

在計算機輔助設計、幾何造型、計算機圖形學等實際工程技術問題中,人們往往需要對曲線曲面的形狀進行靈活調控.因此,構造帶形狀參數的曲線曲面逐漸成為幾何造型與計算中的一個研究熱點.例如,帶形狀參數的Bézier曲線曲面[1-4]以及B樣條曲線曲面[5-8]等.這些帶有形狀參數的曲線曲面不但保留了原曲線曲面的性質,而且其形狀可通過所帶的形狀參數進行靈活調控.由于三次Hermite插值樣條是工程中常見的一種插值模型,但當插值條件固定時,傳統三次Hermite插值樣條的形狀卻無法調控,因此也有一些學者構造了帶形狀參數的Hermite型插值樣條.例如,帶形狀參數的有理三次三角Hermite插值樣條[9]、有理三次Hermite插值樣條[10]、四次Hermite插值樣條[11]、三次三角Hermite插值樣條[12]等.這些帶形狀參數的Hermite型插值樣條除了具有傳統三次Hermite插值樣條的插值性與C1連續性外,在插值條件保持不變的情況下可利用形狀參數靈活調控其形狀.

注意到,為了使插值樣條滿足C2連續,上述帶形狀參數的Hermite型插值樣條[9-12]均是通過對形狀參數施加C2連續性約束條件后,再通過迭代計算所有形狀參數值.這種方法不但增大了計算量,而 且通過迭代計算得到的形狀參數值均為近似值,當樣條的分段較多時,隨著誤差的累積，靠后相鄰的樣條段的C2連續性就無法保證.為此,本文構造了一種帶形狀參數的五次Hermite插值樣條,該樣條除了具有帶形狀參數的Hermite型插值樣條的特性外,在插值條件保持不變時還可自動滿足C2連續,同時可利用形狀參數對其形狀進行調控.為了方便應用,本文給出了一種確定形狀參數最優取值的方法,以使得五次Hermite插值樣條具有最優插值效果.

1基函數的定義及性質

定義1對?λ,μ∈R,0≤t≤1,稱

(1)

為帶形狀參數λ與μ的五次Hermite基函數.

定理1五次Hermite基函數具有如下性質：

(i)五次Hermite基函數在端點處滿足：

(2)

(3)

(4)

(ii)固定t∈[0,1],αi(t)(i=0,1)關于參數λ單調遞增,βi(t)(i=0,1)關于參數μ單調遞增.

證明(i)將式(1)改寫成矩陣形式：

(5)

式中

對式(5)兩端分別求關于t的一階與二階導數，有

將t=0與t=1分別代入式(5)并經簡單計算可知式(2)成立.同理可知式(3)與(4)成立.

(ii)固定t∈[0,1],經簡單計算可得

故αi(t)(i=0,1)關于參數λ單調遞增,βi(t)(i=0,1)關于參數μ單調遞增.

注1定理1表明,五次Hermite基函數不僅與傳統三次Hermite基函數在端點處具有相同的性質,而且由于帶形狀參數λ與μ,故當形狀參數取不同值時可得到不同形狀的五次Hermite基函數圖形,見圖1.

圖1　形狀參數取不同值時的五次Hermite基函數 Fig.1　Quintic Hermite basis functions with different shape parameters

其中，短虛線對應的形狀參數為λ=-1與β=2,實線對應的形狀參數為λ=β=0,長虛線對應的形狀參數為λ=2與β=-1.

2樣條曲線

2.1樣條曲線的定義與特性

由于在實際工程技術問題中經常會遇到節點等距分布的情形,同時也為了使得所構造的五次Hermite插值樣條曲線具有更好的特性,下面僅討論節點等距分布情形下的Hermite型插值樣條曲線.

si(x)=α0(t)yi+α1(t)yi+1+β0(t)hdi+β1(t)hdi+1

(6)

為區間[a,b]上帶形狀參數λ與μ的五次Hermite插值樣條曲線,其中αj(t)與βj(t)(j=0,1)為式(1)定義的五次Hermite基函數.

定理2五次Hermite插值樣條插值于給定的數據且滿足C2連續,即有

(7)

其中，i=0,1,2,…,n-1；

(8)

其中，i=0,1,2,…,n-2.

證明由式(2)、(3)與(6)，有

(9)

(10)

由式(9)與(10)可得式(7)成立,且有

(11)

又由式(4)與(7),有

(12)

由式(12)可知

s″i(xi+1)=s″i+1(xi+1),i=0,1,2,…,n-2.

(13)

由式(12)與(13)可得式(8)成立.

注2定理2表明,五次Hermite插值樣條曲線不僅繼承了傳統三次Hermite插值樣條曲線的插值性與連續性,而且還具有如下特性:

(1)當數據保持不變時,傳統三次Hermite插值樣條曲線的形狀無法靈活調控,而帶有形狀參數λ與μ后,便可通過這2個形狀參數對五次Hermite插值樣條曲線的形狀進行調控.

(2)傳統三次Hermite插值樣條僅滿足C1連續,而五次Hermite插值樣條不僅可自動滿足C2連續,而且還可通過修改形狀參數λ與μ的值對其形狀進行調控.

例1給定數據點如表1所示.

表1　給定的插值條件

傳統三次Hermite插值樣條曲線及形狀參數λ與μ取不同值時五次Hermite插值樣條曲線如圖2所示.

圖2　形狀參數取不同值時的五次Hermite插值樣條曲線Fig.2　Quintic Hermite interpolating spline curves with different shape parameters

其中短虛線為傳統三次Hermite插值樣條曲線,實線與長虛線分別為形狀參數取(λ,μ)=(-3,2)與(λ,μ)=(1,-2)時的五次Hermite插值樣條曲線.

注3雖然文獻[9-12]也構造了幾類與傳統三次Hermite插值樣條曲線具有相同性質的Hermite型插值樣條曲線,而且這些曲線的形狀均可通過所帶的形狀參數進行調控.但是,無論節點是否為等距分布,為了使所構造的樣條曲線滿足C2連續,這些樣條曲線均需通過對形狀參數施加C2連續性約束條件后再迭代計算所有的形狀參數值.這樣,一方面會增加計算量,另一方面由于形狀參數的值均由迭代方式計算所得,因此當給定的數據較多時,靠后相鄰曲線段的C2連續性會因累積誤差的增大而無法保證.當節點為等距分布時,本文所構造的五次Hermite插值樣條即可自動滿足C2連續,且其形狀還可通過形狀參數λ與μ進行調控,從而使其在實際應用中更具優勢.

2.2形狀參數的最優取值

由前文可知,當數據(xi,yi,di)(i=0,1,2,…,n)給定時,五次Hermite插值樣條曲線si(x)(i=0,1,…,n-1)的形狀由形狀參數λ與μ決定.在實際應用中,若形狀參數λ與μ的值選取不當時,會導致五次Hermite插值樣條曲線的插值效果較差.

例2給定函數

y=r(x)=3+2cosx(0≤x≤5π),

圖3　形狀參數對五次Hermite插值樣條曲線的影響Fig.3　Effect of the shape parameters on quintic Hermite interpolating spline curves

其中實線對應的參數為(α,β)=(-1,-2),長虛線對應的參數為(α,β)=(3,2),短虛線為函數y=f(x)的曲線圖.

由圖3可知,形狀參數(α,β)=(-1,-2)時比(α,β)=(3,2)時的五次Hermite插值樣條曲線具有更為滿意的插值效果.

當給定函數y=r(x)(a≤x≤b)時,設xi=a+hi(常數h>0)為區間[a,b]的一個等距劃分,yi=r(xi),di=r′(xi)(i=0,1,…,n),如何選取合適的形狀參數λ與μ,使得插值于函數y=f(x)的五次Hermite插值樣條具有最佳插值效果？為解決這一問題，下面給出一種確定五次Hermite插值樣條曲線最優形狀參數取值的方法.

插值于函數y=r(x)的五次Hermite插值樣條曲線的整體插值誤差可表示為

(14)

記

M0(t)=t2-3t3+3t4-t5,

N0(t)=1-10t3+15t4-6t5,

M1(t)=t3-2t4+t5,

N1(t)=10t3-15t4+6t5,

N2(t)=t-6t3+8t4-3t5,

N3(t)=-4t3+7t4-3t5.

則式(6)可改寫為

si(x)=L0(x)λ+L1(x)μ+L2(x)，

(15)

其中，

由式(15),式(14)可改寫為

C0λ2+C1μ2+2C2λμ+2C3λ+2C4μ+C5.

(16)

其中,

要使得式(16)取最小值,則必有

(17)

由式(16)可知,式(17)可改寫為

(18)

(19)

由式(19)計算形狀參數λ與μ的最優取值后,便可獲得插值于函數y=r(x)的最優五次Hermite插值樣條曲線.

例3對于例2中給定的插值條件,由式(19)計算可得五次Hermite插值樣條曲線形狀參數的最優取值為λ=-0.137 2與μ=-0.480 4.函數y=f(x)的曲線圖(短虛線)與五次Hermite插值樣條曲線(實線)如圖4所示.

圖4　最優五次Hermite插值樣條曲線Fig. 4　The optimal quintic interpolating spline curve

由圖4可知,當形狀參數取最優值時,五次Hermite插值樣條曲線與原曲線幾乎重合,即能獲得滿意的插值效果.

3樣條曲面

利用張量積,可類似定義帶形狀參數的五次Hermite插值樣條曲面.

定義3設r(x,y)為定義在區域[a,b]×[c,d]的二元函數,且存在二階偏導數.

Δ:a=x0

c=y0

是區域[a,b]×[c,d]的一個等距劃分網格,記

對于(x,y)∈[xi,xi+1]×[yj,yj+1],i=0,1,2,…,m-1;j=0,1,2,…,n-1,

稱

sij(x,y)=

為區域[a,b]×[c,d]上插值于函數r(x,y)的帶形狀參數的五次Hermite插值樣條曲面,其中，

M=

αi(t)與βi(t)，t=u,v;i=0,1為參照式(1)定義的五次Hermite基函數,且u向與v向的形狀參數分別為λj與μj(j=1,2).

易知,五次Hermite插值樣條曲面除了具有插值性外,在插值條件保持不變時,不僅自動滿足C2連續,而且其形狀還可通過形狀參數λj與μj(j=1,2)進行調控.當形狀參數取最優值時,可利用五次Hermite插值樣條曲面獲得滿意的插值效果.

例4給定函數

取xi=i,yj=j.當形狀參數λj與μj(j=1,2)取不同值時，五次Hermite插值樣條曲面片如圖5所示.

圖5　形狀參數取不同值時的五次Hermite插值樣條曲面片Fig.5　Quintic Hermite interpolating spline patches with different shape parameters

由圖5可知,當插值條件保持不變時,通過調整形狀參數λj與μj,j=1,2，實現了對五次Hermite插值樣條曲面片形狀的調控.

4結語

提出了一類帶形狀參數的Hermite型插值樣條,該樣條不僅繼承了傳統三次Hermite插值樣條的性質,而且可自動滿足C2連續.固定插值條件時,C2連續的五次Hermite插值樣條曲線可利用所帶的形狀參數對其形狀進行調控.為了方便實際應用,本文還給出了一種確定五次Hermite插值樣條曲線最優形狀參數取值的方法,實例結果表明,利用該方法確定的形狀參數可使得五次Hermite插值樣條曲線具有較好的插值效果.最后,將樣條推廣到曲面形式,給出了帶形狀參數的五次Hermite插值樣條曲面的定義及性質.由于本文提出的五次Hermite插值樣條是多項式模型,方程結構較為簡潔,為插值曲線曲面的構造提供了新選擇.

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The automatic C2continuous quintic Hermite interpolating spline with parameters. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):175-180

Abstract:In order to solve the problem that the cubic or quartic Hermite-type interpolating splines with shape parameters can not automatically satisfy C2 continuity, a new class of quintic Hermite interpolating spline with shape parameters is presented. The proposed spline not only has the same characteristics as the Hermite-type interpolating spline with shape parameters, but also automatically satisfies C2 continuity and can be controlled by the shape parameters when the interpolation conditions remain unchanged. Furthermore, a method for determining the optimal value of the shape parameters is given, which can make the quintic Hermite interpolating spline curve with the optimal interpolation effects.

Key Words:Hermite interpolation; quintic Hermite interpolating spline; C2 continuity; shape adjustment

中圖分類號：O 241.5；TP 391

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-175-06

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.009

作者簡介：李軍成(1982-),ORCID:http:/orcid.org/0000-0002-1904-4068，男，博士，副教授，主要從事計算機輔助幾何設計及其應用研究,E-mail: lijuncheng82@126.com.

基金項目：湖南省教育廳資助科研項目(14B099);湖南省自然科學基金資助項目(13JJ6081).

收稿日期：2015-08-19.