兩兩NQD陣列加權和的LP收斂性

宋明珠， 吳永鋒， 向亞云

(銅陵學院 數學與計算機學院， 安徽 銅陵 244000 )

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兩兩NQD陣列加權和的LP收斂性

宋明珠， 吳永鋒， 向亞云

(銅陵學院 數學與計算機學院， 安徽 銅陵 244000 )

摘要：研究了兩兩NQD陣列加權和的Lp收斂性，在更弱的條件下得到與陳平炎相同的結論，改進和推廣了前人的研究成果.

關鍵詞：兩兩NQD陣列； 加權和； Lp收斂性

SONG Mingzhu, WU Yongfeng, XIANG Yayun

(InstituteofMathematicsandComputing,TonglingUniversity,Tongling244000,AnhuiProvince,China)

1引言和引理

兩兩NQD (Negatively Quadrant Dependend)列的概念是由統計學家LEHMANN[1]于1966年提出，其定義如下：

定義1若?x,y∈R,都有

P(X≤x,Y≤y)≤P(X≤x)P(Y≤y),

兩兩NQD列是一類非常廣泛的隨機變量序列，著名的NA序列[2]、LNQD序列[3]都是其特殊情況，因此對兩兩NQD列的研究顯得更為迫切.兩兩NQD列極限理論的研究已取得了一些成果，詳見文獻[4-11].

定義2若

文獻[7]在2階Cesàro一致可積的條件下，得到了兩兩NQD列的Lp收斂性.文獻[8]在p(1≤p<2)階Cesàro一致可積的條件下，得到了與文獻[7]相同的結果.

本文在更弱的條件下得到與文獻[8]相同的結論，改進和推廣了前人的研究成果.

引理1[1]設隨機變量X和Y是NQD的，則

(1)EXY≤EXEY;

(2) 對?x,y∈R,都有

P(X>x,Y>y)≤P(X>x)P(Y>y);

(3) 如f,g同為非降(或非增)函數，則f(X)與g(Y)仍為NQD的.

則有

2主要結果及證明

對任意給定的ε>0，有

(1)

只須證I1→0,I2→0(n→∞).

I1→0(n→∞).

(2)

由Zni的定義，知

因為EXni=0,所以?t≥ε,有

則存在N1∈N,對?n>N1,t≥ε,有

由引理2和Cr-不等式得，對?n>N1,有

CI1=∶CI3+CI1.

(3)

下證I3→0.

對?n>N1，t≥ε,有

(4)

因為ε是給定的常數，由條件(1)、(2)得

(5)

又因為

(6)

由式(1)～(6)可得定理1成立.

則

(7)

則

由式(7)可得，對?ε>0,?x0>0,

當x>x0時,有

由1≤p<2以及ε的任意性，可得

即推論1(ii)成立，由推論1知推論2成立.

注由推論2的證明過程可知，本文在更弱的條件下獲得了與文獻[8]相同的結論，進而推廣并改進了文獻[8]的結果.

參考文獻(References)：

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Lpconvergence for weighted sums of arrays with pairwise NQD sequences. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):164-167

Abstract:Lp convergence for weighted sums of arrays with pairwise NQD sequences was studied. The corresponding results about CHEN are obtained under the weaker conditions, which extends the well-known theorems in the previous papers.

Key Words:arrays with pairwise NQD sequences; weighted sums; Lp convergence

中圖分類號：O 211.4

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-164-04

DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.007

基金項目：安徽省高校自然科學研究重點項目(Kj2016A705);安徽省高校優秀青年人才支持計劃重點項目(gxyqZD2016317). 宋明珠(1979-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-4529-6306,女，碩士，講師，主要從事隨機環境中的馬氏鏈研究,E-mail:songmingzhu2006@126.com.

收稿日期：2015-05-18.