一類帶有比率依賴型反應函數的捕食-食餌模型正解的存在性和多重性

李 海 俠

(寶雞文理學院 數學與信息科學學院, 陜西 寶雞 721013)

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一類帶有比率依賴型反應函數的捕食-食餌模型正解的存在性和多重性

李 海 俠

(寶雞文理學院 數學與信息科學學院, 陜西 寶雞 721013)

摘要：討論了一類帶有Crowley-Martin和比率依賴反應函數的擴散捕食-食餌模型.首先利用局部分歧理論考察了系統關于強半平凡解處產生正解的存在性,再運用擾動理論得到了正解的穩定性.最后借助全局分歧理論和不動點指數理論給出了正解多重性的條件.

關鍵詞：捕食-食餌模型; Crowley-Martin反應函數; 分歧; 擾動; 多解

LI Haixia

(InstituteofMathematicsandInformationScience,BaojiUniversityofArtsandSciences,Baoji721013,ShaanxiProvince,China)

在齊次Robin邊界條件下討論如下帶有Crowley-Martin和比率依賴反應函數的捕食-食餌模型:

x∈Ω, t>0,

x∈Ω, t>0,

u(x,0)=u0(x)≥0,?0, x ∈Ω,

v(x,0)=v0(x)≥0,?0, x∈Ω,

w(x,0)=w0(x)≥0,?0, x∈Ω,

(1)

其中，Ω∈RN是帶有光滑邊界?Ω的有界區域.系統(1)是三物種的捕食-食餌模型, 其中u是食餌, v和w是2個以u為食物的捕食者.ai(i=1,2,3)分別是u,v和w的增長率,r1,p1,b和c分別描述了捕食者v的捕獲率、轉化率、處理時間和捕食者間的強度,r2和p2分別代表了捕食者w的捕獲率和轉化率,e代表半飽和常數. 食餌u和捕食者v之間以Crowley-Martin(C-M)型反應函數相互作用, 食餌u和捕食者w之間以比率依賴型反應函數相互作用.初值u0(x),v0(x)和w0(x)是連續函數.參數b,c,e,a1,a2,a3,pi,ri(i=1,2)都是正常數.

如果系統(1)沒有捕食者w且c=0, 則系統(1)成為經典的帶有Holling-II反應函數的兩物種捕食-食餌模型. 在齊次Dirichlet邊界條件下, 文獻[1]應用局部和全局分歧理論討論了系統正解的存在性；文獻[2]運用不動點指數理論、分歧理論和擾動理論研究了當參數b充分大時系統正解的存在性、穩定性和多重性. 如果系統(1)沒有捕食者w, 則其變為帶有C-M反應函數的兩物種捕食-食餌模型. 在齊次Dirichlet邊界條件下, 文獻[3]首先討論了模型正解的存在性以及當b充分大和r1充分小時正解的多重性和唯一性; 文獻[4]在此基礎上進一步討論了當參數c充分大時系統正解的唯一性和穩定性，并采用數值模擬對所得結果進行驗證和補充. 如果系統(1)沒有捕食者v, 則系統(1)成為帶有比率依賴反應項的兩物種捕食-食餌模型. 文獻[5]在齊次Robin邊界條件下討論了此模型正平衡解的存在性、穩定性、唯一性，以及拋物系統的漸近行為.

C-M反應函數

是一類既依賴食餌又依賴捕食者的經典反應函數, 正常數r,b和c分別描述了捕食者的捕獲率、處理時間和捕食者間的強度. 不管目前某個捕食者是否在尋找或捕獲食餌,C-M反應函數都允許存在捕食者之間的干擾. 因此, 近年來帶有C-M反應函數的捕食-食餌模型受到了國內外生物學家和數學家的廣泛關注[6-10]. 然而, 據筆者所知，關于帶有C-M反應函數的三物種擴散捕食-食餌模型的研究并不多見. 另一方面, 由于三物種捕食-食餌模型動力學行為的復雜性, 在三物種擴散模型中,關于系統在強半平凡解處產生正解的研究以及正解多重性的研究亦非常少見.

綜上所述，本文主要考慮系統(1)對應的平衡態系統

(2)

正解的存在性、穩定性和多重性.

則λ1(q)連續依賴q,λ1(q)是簡單的.而且,如果q1≤q2,q1?q2, 則λ1(q1)<λ1(q2).為簡單起見, 定義λ1(0) 為λ1,則λ1的主特征函數記為?1.

考慮如下非線性問題：

(3)

若r>λ1,則式(3)有唯一正解,若r≤λ1,則式(3)只有零解.定義唯一正解為Θr.特別地,Θr

1正解的存在性和穩定性

1.1正解的先驗估計和不存在性

首先，由上下解方法可得系統(2)的共存解的先驗估計.

引理1系統(2)的任意共存解(u,v,w)有先驗估計

引理2如果系統(2)有共存解, 則

證明假設(u,v,w)是系統(2)的共存解. 由特征值的比較原理可知a1>λ1且u≤Θa1.則由系統(2)的第2個方程和特征值的比較原理，得

由引理2和上下解方法易得：

引理3如果系統(2)有共存解(u,v,w), 則u≤Θa1,v≤Θ(a2,a1),w≤Θa3+p2. 而且，如果

這里Θ(a2,a1)是如下問題的唯一正解：

由引理2得系統(2)正解的不存在性.

定理1如果以下條件之一成立，則系統(2)沒有共存解.

(iii) a1>λ1且a3+p2≤λ1.

1.2正分歧解的存在性和穩定性

(4)

關于問題(4), 用類似于文獻[2]的方法可得：

(5)

存在唯一解, 這里

為了應用分歧理論, 引入如下空間:

證明令

G(a3,u,v,w)=

N(L)=span{(φ1,φ1,ψ1)},

于是，dimN(L)=dimR(L)=1.

L1(φ1,φ1,ψ1)=(0,0,-ψ1)?R(L).

的特征值構成.

由引理4可知，L1的特征值都有正實部且遠離0. 因此，0是L0的簡單特征值, 對應的特征函數為(0,0,ψ1).又由Riesz-Schauder定理可知，0是L0的最小特征值, 其余特征值都大于且遠離0,則由線性算子的擾動理論,有當s→0+,r2>0充分小時, L(s)有唯一的特征值τ(s)→0,L(s)的其余特征值都有正實部且遠離0. 而且, 可取τ(s)相應的特征函數為(η,ξ,ζ),使得當τ(s)→0時(η,ξ,ζ)→(0,0,ψ1).

下面判別Reτ(s)的符號.對L(s)(η,ξ,ζ)=τ(s)(η,ξ,ζ)的第3個方程乘w并在Ω上積分, 得

(6)

對系統(2)的第3個方程乘以ζ并在Ω上積分, 有

(7)

由式(6)和(7)，得

(8)

取式(8)的實部, 兩邊同除以s2并令s→0+,τ(s)→0,得

于是當s→0+時,Reτ(s)≠0. 因此分歧正解(u(s),v(s),w(s))是非退化的. 而且, 因為L(s)的其余特征值都有正實部且遠離0, 所以分歧正解(u(s),v(s),w(s))穩定.

(9)

關于問題(9)同理有:

-Δη-a1-2u-r2ew2(u+ew)2é?êêù?úúη+r2u2(u+ew)2χ=η,x∈Ω,-Δχ-a3-2w+p2u2(u+ew)2é?êêù?úúχ-p2ew2(u+ew)2η=χ,x∈Ω,ηn+η=χn+χ=0,x∈Ωì?í??????????????

(10)

存在唯一解.

2正解的多重性

應用分歧理論和不動點指數理論,討論了系統(2)正解的穩定性和多重性條件. 以a1為分歧參數，研究了系統(2)關于強半平凡解(0,Θa2,Θa3)的分歧.

令U=u,V=v-Θa2,W=w-Θa3,則U,V,W>0滿足

其中,

G1(U,V,W)=

G2(U,V,W)=

T(a1,U,V,W)=

則T(a1,U,V,W)是可微緊算子. 令F=I-T.顯然, F是C1函數且F(a1,0,0,0)=0.而且,F(a1,U,V,W)=0當且僅當(a1,U,Θa2+V,Θa3+W)是系統(2)的非負解.

類似于定理2的證明,可得：

(a1(ε),u(ε),v(ε),w(ε))=(a1(ε),ε(ξ1+r(ε)),

Θa2+ε(η1+t(ε)),Θa3+ε(χ1+s(ε))), 0<ε<δ.

方便起見,給出如下引理.

引理6a1(ε)在ε=0處的微分滿足

證明將(a1(ε),u(ε),v(ε),w(ε))=(a1(ε),

ε(ξ1+r(ε)),Θa2+ε(η1+t(ε)),Θa3+ε(χ1+s(ε)))

代到系統(2)的第1個方程中, 兩邊同除ε, 關于ε微分并令ε=0,得

兩邊同乘ξ1并在Ω上積分，知結論成立.

接下來, 將局部分歧延拓為全局分歧.令a1,i(μ)(μ≥1)是如下問題的特征值：

基于以上討論, 有如下全局分歧結果.

定理5設a2>λ1,a3>λ1, 則

令Ui=ui/‖ui‖∞,則Ui滿足

下面應用不動點指數理論討論系統(2)共存解的穩定性和多重性. 為此, 首先給出一些空間.

記

定義算子At:D→W為

At(u,v,w)=(-Δ+q)-1×

令A=A1,則系統(2)有非負解當且僅當A在D中有不動點.

再運用類似文獻[16]的方法，給出算子A在平凡解和半平凡解處的不動點指數,在此省略其證明.

引理7(i)indexW(A,D)=1;

(ii)若a1>λ1,a2≠λ1,a3>λ1, 則

indexW(A,(0,0,0))=0;

indexW(A,(Θa1,0,0))=0;

設

結合引理4和5，采用類似文獻[16]的方法有：

引理8(i) 若

則indexW(A,P1)=0;

(ii)若

則indexW(A,P2)=0.

由引理7與8和度的可加性,得系統(2)正解的存在條件.

類似于文獻[9]的證明可得：

引理9設a1>λ1,a2>λ1,a3>λ1,則系統

有唯一正解(Θa1,Θa2,Θa3)且其是非退化和線性穩定的.

Bν(u,v,w)=(-Δ+Q)-1×

這里ν∈[0,1].顯然系統(2)有非負解當且僅當B1在D中有不動點.

令

Dδ={(u,v,w)∈W:‖(u,v,w)-(0,Θa2,Θa3)‖X<δ}.

indexW(B0,(Θa1,Θa2,Θa3))=1.于是，indexW(B1,D1)=indexW(B0,D1)=1.最后結合引理7和8，得

indexW(B1,D1)=indexW(B1,(0,0,0))+

indexW(B1,(Θa1,0,0))+indexW(B1,(0,Θa2,0))+

indexW(B1,(0,0,Θa3))+indexW(B1,P1)+

indexW(B1,P2)=0,

表明系統(2)在DDδ內至少有1個正解.

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The existence and multiplicity of positive solutions for a predator-prey model with ratio-dependent type functional response. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):156-163

Abstract:A diffusive predator-prey model with Crowley-Martin and ratio-dependent type functional responses is considered. Firstly, the existence of positive solutions which are relative to the strong semi-trivial solutions is investigated based on the local bifurcation theory. Moreover, by use of the perturbation theory, we obtain the stability of positive solutions. Finally, multiple conditions of positive solutions are determined by resorting to the global bifurcation theory and fixed point index theory. Results have shown the existence of stable solutions and multiple solutions under certain conditions.

Key Words:predator-prey model; Crowley-Martin functional response; bifurcation; perturbation; multiplicity

中圖分類號：O 175.26

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-156-08

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.006

作者簡介：李海俠(1977-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-6347-7565,女，副教授，博士，主要從事偏微分方程計算及其可視化研究, E-mail：xiami0820@163.com.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11271236,11401356)；中央高校基本科研業務費專項資金資助(GK201302025, GK201303008); 陜西省教育廳專項科研計劃資助項目(14JK1035); 陜西省自然科學基礎研究計劃項目(2015JM1008); 寶雞文理學院重點科研項目(ZK15039).

收稿日期：2014-12-05.