一個與Euler數有關的Hilbert型不等式的推廣

有 名 輝

(浙江機電職業技術學院 數學教研室， 浙江 杭州 310053)

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一個與Euler數有關的Hilbert型不等式的推廣

有 名 輝

(浙江機電職業技術學院 數學教研室， 浙江 杭州 310053)

摘要：通過引入參數，利用實分析技巧，建立最佳常數因子與余割函數有關的Hilbert型積分不等式，推廣了與Euler數有關的Hilbert型不等式. 作為結論的應用，賦予參數不同的值，給出了一些特殊結果．

關鍵詞：Hilbert型積分不等式；余割函數；Euler數; 部分分式展開; Gamma函數

YOU Minghui

(MathematicsTeachingandResearchSection,ZhejiangInstituteofMechanicalandElectricalEngineering,Hangzhou310053,China)

設f(x),g(x)≥0,且

則

(1)

其中π2是滿足式(1)的最佳常數因子[1].不等式(1)通常被稱為Hilbert型不等式,在分析學及其應用領域有著重要的作用[2].近年來，通過引進參數，研究者們給出了式(1)及其對應級數形式的一些推廣和改進，取得了一系列有價值的成果[3-13].

最近，周昱等[14]證明了一個類似于式(1)并與Euler數有關的不等式，即

(2)

其中λ>0,E0=1,En(n∈N+)是Euler數，即E1=1,E2=5,E3=61,E4=1385，….

作為式(2)的推廣，本文將建立一個常數因子與余割函數有關的Hilbert型不等式.

1定義及引理

定義1[15]對于a>0，定義

為第2型歐拉積分，即Γ函數.特別地，當a∈Z+時，Γ(a)=(a-1)！.

引理1設λ,α,β>0,且α+β=λ,n為非負整數，φ(x)=cscx,則

證明由φ(x)=cscx的部分分式展開形式(見文獻[15],P397)：

(3)

式(3)兩邊關于x求2n階導數，得

φ(2n)(x)=(2n)！·

(4)

由此，證得引理1成立.

引理2n為非負整數,E0=1,En(n∈N+)是Euler數,φ(x)=cscx,則

(5)

而由文獻[16]，可知

(6)

由式(5)和(6),可知引理2成立.

引理3設λ,α,β>0,且α+β=λ,n為非負整數,φ(x)=cscx,則

證明當t∈[0,1)時，

故

因此,

(7)

(8)

結合式(7)和(8)，并利用引理1,可得引理3.類似地，有

引理4設λ,α,β>0,且α+β=λ,n為非負整數,φ(x)=cscx,則

(9)

令ε→0+，由引理4，可得

(10)

由式(9)和(10)，即得引理5.

2定理

則

(11)

證明由H?lder不等式，可知

(12)

若式(12)取等號，則有不全為0的實數A與B,使得

a.e.于(0,∞)×(0,∞)(參見文獻[17])，即

Axp(1-α)fp(x)=Byq(1-β)gq(y).

a.e.于(0,∞)×(0,∞).于是，有常數C，使得

Axp(1-α)fp(x)=C,a.e.于(0,∞)；

Byq(1-β)gq(y)=C,a.e.于(0,∞).

通過變量替換，結合α+β=λ,根據引理4,不難算得

類似地，根據引理3,又可算得

因此，式(12)可寫成

事實上，若此常數因子非最佳，則存在實數

使得式(11)中的常數因子換成k后式(11)仍成立．即

(13)

定義函數fε(x)和gε(x)(其中ε充分小)如下：

若x∈(0,1)，令

fε(x)=gε(x)=0；

若x∈[1,∞)，令

用fε和gε分別取代式(13)中的f和g，則

將引理5的結果代入，可得

(14)

證明令

則由式(11)可得

(15)

故

(16)

結合定理2的條件和式(16),可知應用定理1的條件是充分的.因此式(15)和(16)都取嚴格不等號.故式(14)成立.

以上由式(11)證得了式(14).要說明式(11)和式(14)等價，只需從式(14)證得式(11).事實上，由H?lder不等式，可知

(17)

3推論

賦予定理1中的參數不同的值，可以得到一些特殊的結果.

且

則

(18)

注1在式(18)中,令p=q=2，即得式(2),因此定理1是式(2)的推廣.另外，若在式(18)中,令λ=2，則有

(19)

則

(20)

在定理1中，令λ=1,n=0，則有

(21)

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Generalization of a Hilbert-type inequality related to Euler number. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):144-148

Abstract:By introducing parameters and using the method of real analysis, we establish a Hilbert-type integral inequality with the best possible constant factor which is related to cosecant function. We also prove that the obtained inequality is a generalization of Hilbert-type inequality related to Euler number. Furthermore, as applications of the conclusion, some new and special results are presented by giving the parameters different values．

Key Words:Hilbert-type integral inequality；cosecant function；Euler number；partial fraction expansion；Gamma function

中圖分類號：O 178

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-144-05

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.004

作者簡介：有名輝(1982-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-1993-9558,男，講師，碩士，主要從事解析不等式研究，E-mail:youminghui@hotmail.com.

收稿日期：2015-04-03.