聲納陣列網絡基于移動信標到達角的漸進最優節點自定位算法*

駱吉安，譚智文，郭云飛（.杭州電子科技大學物聯感知與信息融合實驗室，杭州3008；2.七一五研究所聲納技術國防科技重點實驗室，杭州3002）

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聲納陣列網絡基于移動信標到達角的漸進最優節點自定位算法*

駱吉安1，2*，譚智文1，郭云飛1
（1.杭州電子科技大學物聯感知與信息融合實驗室，杭州310018；2.七一五研究所聲納技術國防科技重點實驗室，杭州310012）

摘要：針對水下聲納陣列網絡節點自定位問題，提出一種基于移動信標到達角的三維總體最小二乘（TLS）節點自定位算法。首先給出了基于方位角和俯仰角的變量含誤差模型，并根據該模型提出三維TLS算法，證明三維TLS算法隨信標廣播次數增加是漸進最優估計，仿真結果驗證所提出算法的均方根誤差漸進達到CRLB。

關鍵詞：聲納陣列網絡；節點自定位；總體最小二乘；移動信標；方位角和俯仰角

項目來源：浙江省信號處理重點實驗室開放基金項目（ZJKL_4_SP-OP2014-01）；七一五所聲納技術國防科技重點實驗室開放基金項目（KF201303）

近年來，由帶有測向功能的聲納陣列組成的聲納陣列網絡作為無線傳感器網絡的重要分支得到了快速的發展［1］。聲納陣列網絡的原理是將聲納陣列與無線傳感網絡相結合，實現信息協同處理，并在軍事方面的艦船、潛艇、AUV等目標跟蹤以及民用方面的水下探測器導航等領域有著重要應用。為實現上述應用，一方面節點自身的位置信息是目標跟蹤等多傳感器融合算法的前提［2］，另一方面，為設計高效的網絡路由［3］、休眠調度［4］、節點選擇［5］、網絡安全［6］等網絡管理協議，節點位置是不可缺少的已知條件。因此，節點的自定位對聲納陣列網絡具有十分重要的意義。

目前節點自定位算法根據定位過程中是否進行測距可以分為兩大類，一類是利用網絡拓撲結構實現自定位的非測距算法，如DV-Hop算法、APIT算法、MDS算法及質心算法等［7］，這類算法的定位精度較差，但是硬件實現成本較低。另一類算法是測距定位算法，如信號接收強度（RSSI）［8］，到達時間（TOA）或到達時間差（TDOA）［9］，以及到達角（AOA）［10-11］等方法。與非測距算法相比，這類算法具有較高的定位精度，但硬件成本也相對較高，如為實現對水下信號源的測向，每個節點需要安裝一個聲納陣列。本文考慮基于方位角和俯仰角的三維節點自定位算法。在文獻［12］中，Badriasl提出了一種三維偽線性估計（PLE）算法，通過對方位角和俯仰角的測量方程進行線性化，將未知節點估計轉化為PLE模型求解，并分析了PLE算法通過笛卡爾坐標系旋轉可以顯著改變算法性能，從而有效的減小了系統偏差。文獻［13］和［14］中，Dog?an?ay分析PLE算法是有偏估計，并且PLE估計的偏差不隨測量數的增加而減少。Bishop［15］指出純方位角極大似然（ML）定位算法的精度依賴于初始位置是否準確，另外ML算法在傳感器個數較少或者觀測誤差大的情況下容易發散。文獻［16］提出了一種基于角度和頻率聯合量測的三維ML算法，在角度估計誤差較大、頻率測量誤差較小的條件下，基于角度和頻率聯合量測的ML算法比基于角度的ML算法精度更高。

節點自定位相關應用中，信標節點一般需要配備昂貴的定位設備或采用人工標定等方式精確的獲得自身位置信息。傳統的無線傳感器網絡節點往往部署在陸地環境，因此可利用GPS設備或者人工標定方式比較容易進行信標節點的位置標定。而聲納陣列網絡往往部署在復雜多變的海水環境中，主要利用聲波實現水下通信和組網［17］。由于無線電波在海水中衰減嚴重，信標節點無法利用成熟的GPS定位技術，同時通過人工標定的方式也更為困難。現有文獻主要考慮信標節點處于靜態下的節點自定位問題［7，9］，在這種信標節點布設方式下，節點自定位精度的提高是通過增加信標節點的數目來實現，那就意味著定位精度的提高必須以增加系統成本為代價。采用移動信標進行聲納陣列網絡自定位的方式，只需單個信標即可完成自定位，降低了設備費用和人工成本，同時可以提高信標節點的靈活性且布設范圍更廣，因而具有重要的應用價值。

本文考慮基于移動信標的自定位方案，在此基礎上提出一種三維總體最小二乘（TLS）的節點自定位方法，該方法引入一種基于方位角和俯仰角的變量含誤差模型，并在該模型下將未知節點位置估計轉化為TLS求解問題，該方法與PLE算法相比消除了估計偏差問題，隨著移動信標廣播次數的增加，其均方誤差能達到CRLB下界；與ML算法相比，該方法在觀測誤差較大或者數據量較少的情況下，不存在發散問題。

本文以下第1部分描述聲納陣列網絡基于移動信標到達角節點自定位問題；第2部分給出基于方位角和俯仰角的變量含誤差模型，結合該模型提出了三維總體最小二乘節點自定位算法，并分析該算法的漸進最優性；第3部分是基于方位角和俯仰角定位的CRLB性能分析；第4部分對三維PLE算法、ML算法、以及本文所提的算法進行仿真實驗并分析這三種算法的優缺點；最后是本文的總結。

1　基于移動信標到達角的水下聲納陣列網絡節點自定位

考慮圖1所示的帶有移動信標的水下聲納陣列網絡，一個帶有吊放主動聲納機動輪船按預先設定的軌跡作勻速直線運動，輪船利用GPS信號標定自身位置并作為信標節點。大量聲納陣列節點通過浮標隨機布放在水下不同的深度，構成水下聲納陣列網絡。采用移動信標進行節點自定位，移動信標實時廣播自己當前的位置、移動速度等信息，未知節點通過聲納陣列測量自己和信標節點的方位角和俯仰角，最終利用信標節點不同時刻的位置、相應的方位角和俯仰角信息，實現自定位。

圖1　水下聲納陣列網絡節點自定位示意圖

假設信標節點在第k次廣播時的狀態記為sk=[sx,k,vx,k,sy,k,vy,k,sz,k,vz,k]T∈?6，其中[·]T表示轉置，(sx,k,sy,k,sz,k)表示信標的位置，(vx,k,vy,k,vz,k)表示信標的速度，?n表示所有n維實數向量。我們記p=[px,py,pz]T作為網絡中某一待估計節點位置的坐標。未知節點第k次測量信標節點的方位角和俯仰角：

其中θk和?k分別表示第k次觀測時未知節點對應于信標節點的方位角和俯仰角，nk和wk是獨立同分布零均值高斯白噪聲，方差分別為， k=1,…,K，K≥3。方位角θk和未知節點位置幾何關系如下：

將式（2）交叉相乘整理得：

我們令

其中bθ,k與信標節點第k次廣播時的位置有關。我們定義diag(sinθ)，diag(cos θ)，A0和A1為：

我們記xs，ys為K維向量，xs=[sx,1,…,sx,K]T，ys=[sy,1,…,sy,K]T，其中sx,k和sy,k分別是向量xs和ys的第k個元素。將式（3）寫成向量形式：此外，信標節點與未知節點的俯仰角非線性關系是：

其中rk的計算公式如下：

將式（11）交叉相乘整理得：

我們令

同樣的，我們定義diag(sin?)，diag(cos ?)，A2和zs為：

由式（13），式（14）寫為向量形式，得到另一個偽線性表達式：

其中Aθ,?和bθ,?的計算公式如下：

注意式（9），式（10），式（20），式（21）中的Aθ，bθ，Aθ,?和bθ,?都是未知的。相反，只有它們的測量值是可以用的，記為Aθ?，bθ?，Aθ?,??和bθ?,??，令A?=， b?=，則式（8），式（19）可以合寫成：

其中式（22）中A?∈?2K×3，b?∈?2K×1，η是噪聲向量，p是待估計參數，可由最小二乘估計得到［13］：

其中||?||表示歐幾里德范數，求解式（23）可得：

式（24）被稱為偽線性最小二乘估計（PLE），該結果和極大似然算法（ML）［18-19］將用于第5節中的算法仿真比較。在式（22）中，角度測量噪聲出現在A?和b?中，使得p?PLE不是無偏估計，并且其偏差并不會隨著測量次數趨向于無窮而消失。一種改進的方法是完全最小二乘（TLS）算法，它可以減小位置估計偏差［20-21］。然而，偽線性方程Aθp=bθ和Aθ,?p=bθ,?的同時引入使得三維純方位角TLS算法不同于二維TLS算法，參量θ、?與位置坐標具有很強的非線性耦合關系，我們需要推導新的變量含誤差EIV （Error in Variable）模型，并在該模型下驗證三維純方位角TLS算法的漸進最優性。為了推導完全最小二乘（TLS）算法，我們首先需要假定認為測量噪聲是上述公式的一種EIV模型。在第2小節中，我們將說明三維節點自定位的EIV模型的測量誤差形式是具有塊對角結構的矩陣。

2　三維總體最小二乘節點自定位

2.1基于方位角和俯仰角的變量含誤差模型

由于式（9），（10），（20），（21）中的Aθ，bθ，Aθ,?和bθ,?均是未知的，我們只能利用θ和?的觀測值θ?和??。將θ?和??分別代入Aθ，bθ，Aθ,?和bθ,?，并分別記為Aθ?，bθ?，Aθ?,??和bθ?,??。當式（1）中方位角和俯仰角的測量誤差足夠小，我們有如下近似：

其中k=1,…,K。將式（25）～（28）代入Aθ?，bθ?，Aθ?,??和bθ?,??，得到新的EIV模型：

式中A∈?2K×3，b∈?2K×1，R∈?2K×4K，W∈?4K×4。

其中應當指出的是，式（31）中矩陣R里面的參數計算公式如下：

從推導中我們發現上述三維節點自定位的EIV模型（29）中矩陣R具有塊對角結構。因此，該EIV模型不同于文獻［20］中的標準EIV模型，我們需要推導該模型下TLS算法的漸進最優性。

如果測量噪聲足夠小，可以忽略式（31）中的RθR?，由此式（31），（32）中的R和W可以簡化為：

2.2三維總體最小二乘節點自定位

在文獻［21］中，當A?和b?均存在測量誤差時，利用TLS算法可以減小A?和b?中的誤差，從而改善PLE估計的性能。通過讓A?和b?中的誤差Froben?ius范數最小，同時滿足等式Ap=b，TLS算法實質是一個帶約束的最優化問題：

其中ΔA=A-A?，Δb=b-b?，||·||F表示Frobenius范數，式（46）的解我們用下面的引理1給出［20-22］：

引理1考慮到EIV模型（29）中，A，b和R，W分別由式（30）和式（31），（32）給出，我們定義：

4×4階矩陣Γ?的廣義特征值分解可以表示成：

其中λi是第i個特征值，vi是對應的特征向量，i=1,…,4。假設λmin是最小的特征值，vmin是特征值λmin所對應的特征值向量，式（46）的解為：

為獲取TLS估計p?TLS，我們需要使用式（49）進行廣義特征值分解。然而在算法實現中，由于W中未知節點對應于信標節點的真實方位角θ和俯仰角?是未知的，我們無法直接使用W矩陣。在高信噪比的假設條件下，我們用帶噪聲的矩陣W?近似表示W。在低信噪比的假設條件下，我們用W?獲得初始估計，并且利用該估計值計算方位角和俯仰角估計并更新W。一般來講，W?迭代估計2～3步即可達到滿意的估計性能。

綜上所述，三維節點自定位的TLS算法流程如下：

第1步，通過式（32）生成矩陣W?并計算∑?=W?TW?；

第2步，生成增廣矩陣[A?,-b?]，計算協方差矩陣Γ?；

第3步，通過式（49）進行廣義特征值分解；第4步，通過式（50）得到估計結果；

第5步，利用估計結果更新矩陣W?，并重復上述步驟。

2.3三維總體最小二乘算法漸進最優分析

第2.2小節我們給出了三維節點自定位TLS算法，然而定位結果的漸進最優性仍需要進一步證明。假設方位角和俯仰角量測噪聲的方差σ2θ,k和是已知的，并且我們記，，R和W的計算公式：

假設方位角和俯仰角的觀測噪聲是不相關的，則E{RTθR?}=0，接著噪聲矩陣R的協方差陣可以表示成：E{RTR}=σ2θI。假設信標節點廣播次數K趨向于無窮的條件下，引理2給出了三維TLS節點自定位算法漸進最優性。

引理2考慮到EIV模型（29）中，A，b和R， W分別由式（30）和（51）和（52）給出，假設和是已知的并且足夠小。令λmin為Γ?相對于∑的廣義最小特征值和對應的特征向量vmin，

其中Γ?和∑在引理1式（47）和（48）中定義，式（50）的TLS解是未知節點位置參數p的漸進極大似然（ML），并且當K→∞時，

證明假設信標廣播次數K≥3，式（52）所述的矩陣W∈?4K×4是列滿秩的，同時存在矩陣W的極分解且計算方法如下：

其中W∈?4K×4是正交矩陣，∑1 2?4×4是對稱矩陣。注意到UTU=I和∑=WTW，I是4×4的單位矩陣。式（29）兩邊同乘以矩陣∑-1/2，則EIV模型變為：

我們記Γ=[A-b]T[A-b]，Γs=∑-1/2Γ∑-1/2。通過文獻［16］中引理3.1的結果，若：

這表明：

以上一致性結果表明下式成立：

證明完成。

3　 CRLB分析

在本節中，我們給出基于移動信標的三維節點自定位的克拉美羅下界（CRLB）。對于任意的無偏估計量，它的方差肯定大于或者等于一個給定的值，這個值就是CRLB。求取CRLB為比較無偏估計量的性能提供了一個標準。從相對于移動信標的方位角測量值{θ?1,…,θ?K}和俯仰角測量值{??1,…,??K}中估計未知節點位置參數p，其中θ?k和??k的表達式見式（1），k=1,…,K。假設觀測噪聲nk和wk分別是零均值高斯白噪聲，nk和wk互相獨立，并且它們的方差分別記為，推導Fisher信息矩陣J：

我們記：Δxk=px-sx,k，Δyk=py-sy,k，Δzk= pz-sz,k。根據式（2）和式（11）的幾何關系，和的表達式為：

其中

位置參數p的無偏估計量記為p?，其CRLB是C=J-1。位置均方根誤差的下界計算方法為：

其中tr(·)表示矩陣的跡。x軸，y軸，z軸位置估計誤差的CRLB分別為Cp,x=其中Cij是C的第i行第j列的元素。從式（63）我們可以看出，位置估計p?的CRLB與觀測噪聲方差和測量次數K有關，因此下面我們用兩個實例來分析不同觀測噪聲水平和不同觀測時間對CRLB的影響。

例1參數設定：考慮聲納陣列節點隨機分布在1 000×1 000×1 000 m3空間中，未知節點坐標：p=[905,126,862]T，假定信標做勻速直線運動，其初始狀態：s1=［0，1.434 5，4.789 8，1 000，0］T。由于信標只在x-y平面運動，其運動速度：v==5 m/s。

我們固定移動信標廣播次數K=40，信標每次廣播時間間隔：T=5 s，改變方位角和俯仰角的觀測噪聲方差：=(π/180)2×噪聲因子，k=1，…，K，其中“噪聲因子”的變化范圍為：-20 dB～20 dB，所得結果如圖2所示。圖2表明，位置估計p?的CRLB值會隨著測量噪聲的方差增加而增加。

圖2　不同噪聲因子影響下CRLB隨變化曲線

例2待估計節點位置和移動信標初始狀態參數設置見實例1，我們設定方位角和俯仰角觀測噪聲方差為：=(π/180)2，k=1，…，K，然后改變信標廣播次數K，K的變化范圍為：100～1 000得到位置估計CRLB隨觀測次數變化的CRLB結果，如圖3所示。從圖3可以看出，p?的CRLB會隨著信標廣播次數的增加而減小。

圖3　不同移動信標廣播次數K下CRLB變化曲線

4　算法仿真

在本節中，我們采用MATLAB2010b版本仿真軟件進行仿真實驗，驗證所提出節點自定位算法的有效性。我們通過比較分析兩種不同幾何位置參數情況下的三維偽線性估計（PLE）［9］、最大似然（ML）［18］和總體最小二乘（TLS）節點自定位算法的性能。

考慮在1 000 m×1 000 m×1 000范圍內移動信標通過實時廣播自身位置和速度信息對未知節點進行定位。參數設定：假定信標做勻速直線運動，其初始狀態：s1=。信標只在x-y平面運動，其運動速度：v== 5 m/s，信標每次廣播時間間隔：T=1 s，方位角和俯仰角的量測噪聲標準差相同，且分別設置為：σθ,k=σ?,k：π/180，2π/180，3π/180，4π/180，5π/180，k=1，…，K。當未知節點位于（200，300，800）m時，我們將三維PLE，ML和TLS算法運行10 000次得到隨方差變化的位置均方根誤差（RMS）曲線，如圖4（a）～4 （d）所示。

從圖中可以看出ML和TLS算法優于PLE估計，它們的RMS曲線均趨近于CRLB。然而，當我們將未知節點坐標改為（1 000，1 000，200）m時，ML算法發散，如圖5（a）～（d）所示，發散問題會隨著移動信標廣播次數K的增加而改善，當K=200時，ML算法不再發散，而本文提出的三維TLS算法則不存在發散問題，且TLS算法RMS誤差均小于PLE算法。

圖4　不同觀測標準差下的定位均方根誤差比較，p=[200,300,800]T

接著我們將方位角和俯仰角的量測噪聲標準差固定在σθ,k=σ?,k=π/180，k=1，…，K，同時改變移動信標廣播次數K，將三維PLE，ML和TLS算法運行50次后得到相應的RMS曲線，如圖6（a）、6（b）所示，其中圖6（a）是未知節點位于（200，300，800）m時運行得到，圖6（b）則是對未知節點位于（1 000，1 000，200）m時的位置估計示意圖。我們發現隨著移動信標廣播次數K的增加，ML和TLS算法趨向于CRLB，而PLE算法是有偏估計，其偏差不會隨著移動信標廣播次數K的增加而漸進達到CRLB。

圖5　不同觀測標準差下的定位均方根誤差比較，p=［1 000，1 000，200］T

圖6　不同移動信標廣播次數K下的定位均方根誤差比較，σθ=σ?=π/180

最后，我們比較三維PLE，ML和TLS算法的計算時間，計算機操作系統：Microsoft Windows 7 Ultimate；CPU：奔騰雙核E5300 @2.60 GHz；內存：2.00 GB，MATLAB：2010b。經過10 000次蒙特卡洛實驗后得到算法單次運行平均時間如表1所示。

表1　三維PLE，ML和TLS算法運行時間比較

從表1可以看出，TLS和PLE算法運行時間基本一致，且明顯快于ML算法。綜上所述，TLS算法與ML算法相比從運行時間和算法穩定性上均優于ML算法；TLS算法與PLE算法相比運行時間上與PLE算法大致相同且具有較高的估計精度。

5　結論

聲納陣列網絡是無線傳感器網絡的一個重要分支，在目標定位、跟蹤和導航方面有重要應用價值，自定位是將這些應用付諸實踐的前提。在本文中，我們提出了基于移動信標方位角和俯仰角漸進最優節點自定位算法，通過將方位角和俯仰角非線性測量方程線性化，我們得到關于方位角和俯仰角的一類變量含誤差模型。在該模型基礎上，我們提出一種三維總體最小二乘（TLS）算法實現節點自定位，并證明該算法是漸進最優的，即隨移動信標廣播次數的增加能夠漸進達到CRLB。仿真結果表明所提出的TLS算法在算法穩定性和計算時間上優于極大似然算法，在定位精度上優于偽線性估計算法。

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駱吉安（1983-），男，博士，講師，杭州電子科技大學自動化學院信息與控制研究所，主要研究方向為無線傳感器網絡，目標定位與跟蹤，目標檢測，luoji?an@hdu.edu.cn；

譚智文（1991-），男，碩士研究生，杭州電子科技大學自動化學院信息與控制研究所，主要研究方向為目標定位與跟蹤；

郭云飛（1978-），男，博士，副教授。杭州電子科技大學自動化學院信息與控制研究所，主要研究方向為目標跟蹤、弱目標信號檢測、非線性濾波、信息融合等。

Asymptotically Optimum Bearing-Only Self-Localization for Sonar Array Network Nodes Based on Moving Beacon*

LUO Jian1，2*，TAN Zhiwen1，GUO Yunfei1
（1.Key Lab for IOT and Information Fusion Technology of Zhejiang，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou 310018，China；2.715 Research Institute，National Defense Science and Technology Key Laboratory of Sonar Technology，Hangzhou 310012，China）

Abstract：This paper presents a 3D total least-squares（TLS）algorithm to solve the self-localization problem using azimuth/elevation angles with regarding to a moving beacon in a sonar array network. First we linearize the azimuth and elevation measurement equations and show that the new model fits a class of error in variables（EIV）models. Then the 3D TLS algorithm is proposed based on the EIV model and it is proved to be asymptotically optimal. The simulations show that the mean squared error of the proposed estimator achieves the CRLB asymptotically.

Key words：sonar array networks；node self-localization；total least-squares；movingbeacon；azimuth/elevation

doi：EEACC：723010.3969/j.issn.1004-1699.2016.03.017

收稿日期：2015-11-06修改日期：2015-12-14

中圖分類號：TP393

文獻標識碼：A

文章編號：1004-1699（2016）03-0403-08