聲納陣列網(wǎng)絡(luò)基于移動(dòng)信標(biāo)到達(dá)角的漸進(jìn)最優(yōu)節(jié)點(diǎn)自定位算法*

駱吉安，譚智文，郭云飛（.杭州電子科技大學(xué)物聯(lián)感知與信息融合實(shí)驗(yàn)室，杭州3008；2.七一五研究所聲納技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州3002）

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聲納陣列網(wǎng)絡(luò)基于移動(dòng)信標(biāo)到達(dá)角的漸進(jìn)最優(yōu)節(jié)點(diǎn)自定位算法*

駱吉安1，2*，譚智文1，郭云飛1
（1.杭州電子科技大學(xué)物聯(lián)感知與信息融合實(shí)驗(yàn)室，杭州310018；2.七一五研究所聲納技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310012）

摘要：針對(duì)水下聲納陣列網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)自定位問(wèn)題，提出一種基于移動(dòng)信標(biāo)到達(dá)角的三維總體最小二乘（TLS）節(jié)點(diǎn)自定位算法。首先給出了基于方位角和俯仰角的變量含誤差模型，并根據(jù)該模型提出三維TLS算法，證明三維TLS算法隨信標(biāo)廣播次數(shù)增加是漸進(jìn)最優(yōu)估計(jì)，仿真結(jié)果驗(yàn)證所提出算法的均方根誤差漸進(jìn)達(dá)到CRLB。

關(guān)鍵詞：聲納陣列網(wǎng)絡(luò)；節(jié)點(diǎn)自定位；總體最小二乘；移動(dòng)信標(biāo)；方位角和俯仰角

項(xiàng)目來(lái)源：浙江省信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目（ZJKL_4_SP-OP2014-01）；七一五所聲納技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目（KF201303）

近年來(lái)，由帶有測(cè)向功能的聲納陣列組成的聲納陣列網(wǎng)絡(luò)作為無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的重要分支得到了快速的發(fā)展［1］。聲納陣列網(wǎng)絡(luò)的原理是將聲納陣列與無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)信息協(xié)同處理，并在軍事方面的艦船、潛艇、AUV等目標(biāo)跟蹤以及民用方面的水下探測(cè)器導(dǎo)航等領(lǐng)域有著重要應(yīng)用。為實(shí)現(xiàn)上述應(yīng)用，一方面節(jié)點(diǎn)自身的位置信息是目標(biāo)跟蹤等多傳感器融合算法的前提［2］，另一方面，為設(shè)計(jì)高效的網(wǎng)絡(luò)路由［3］、休眠調(diào)度［4］、節(jié)點(diǎn)選擇［5］、網(wǎng)絡(luò)安全［6］等網(wǎng)絡(luò)管理協(xié)議，節(jié)點(diǎn)位置是不可缺少的已知條件。因此，節(jié)點(diǎn)的自定位對(duì)聲納陣列網(wǎng)絡(luò)具有十分重要的意義。

目前節(jié)點(diǎn)自定位算法根據(jù)定位過(guò)程中是否進(jìn)行測(cè)距可以分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是利用網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)自定位的非測(cè)距算法，如DV-Hop算法、APIT算法、MDS算法及質(zhì)心算法等［7］，這類(lèi)算法的定位精度較差，但是硬件實(shí)現(xiàn)成本較低。另一類(lèi)算法是測(cè)距定位算法，如信號(hào)接收強(qiáng)度（RSSI）［8］，到達(dá)時(shí)間（TOA）或到達(dá)時(shí)間差（TDOA）［9］，以及到達(dá)角（AOA）［10-11］等方法。與非測(cè)距算法相比，這類(lèi)算法具有較高的定位精度，但硬件成本也相對(duì)較高，如為實(shí)現(xiàn)對(duì)水下信號(hào)源的測(cè)向，每個(gè)節(jié)點(diǎn)需要安裝一個(gè)聲納陣列。本文考慮基于方位角和俯仰角的三維節(jié)點(diǎn)自定位算法。在文獻(xiàn)［12］中，Badriasl提出了一種三維偽線性估計(jì)（PLE）算法，通過(guò)對(duì)方位角和俯仰角的測(cè)量方程進(jìn)行線性化，將未知節(jié)點(diǎn)估計(jì)轉(zhuǎn)化為PLE模型求解，并分析了PLE算法通過(guò)笛卡爾坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)可以顯著改變算法性能，從而有效的減小了系統(tǒng)偏差。文獻(xiàn)［13］和［14］中，Dog?an?ay分析PLE算法是有偏估計(jì)，并且PLE估計(jì)的偏差不隨測(cè)量數(shù)的增加而減少。Bishop［15］指出純方位角極大似然（ML）定位算法的精度依賴(lài)于初始位置是否準(zhǔn)確，另外ML算法在傳感器個(gè)數(shù)較少或者觀測(cè)誤差大的情況下容易發(fā)散。文獻(xiàn)［16］提出了一種基于角度和頻率聯(lián)合量測(cè)的三維ML算法，在角度估計(jì)誤差較大、頻率測(cè)量誤差較小的條件下，基于角度和頻率聯(lián)合量測(cè)的ML算法比基于角度的ML算法精度更高。

節(jié)點(diǎn)自定位相關(guān)應(yīng)用中，信標(biāo)節(jié)點(diǎn)一般需要配備昂貴的定位設(shè)備或采用人工標(biāo)定等方式精確的獲得自身位置信息。傳統(tǒng)的無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)往往部署在陸地環(huán)境，因此可利用GPS設(shè)備或者人工標(biāo)定方式比較容易進(jìn)行信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位置標(biāo)定。而聲納陣列網(wǎng)絡(luò)往往部署在復(fù)雜多變的海水環(huán)境中，主要利用聲波實(shí)現(xiàn)水下通信和組網(wǎng)［17］。由于無(wú)線電波在海水中衰減嚴(yán)重，信標(biāo)節(jié)點(diǎn)無(wú)法利用成熟的GPS定位技術(shù)，同時(shí)通過(guò)人工標(biāo)定的方式也更為困難?，F(xiàn)有文獻(xiàn)主要考慮信標(biāo)節(jié)點(diǎn)處于靜態(tài)下的節(jié)點(diǎn)自定位問(wèn)題［7，9］，在這種信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布設(shè)方式下，節(jié)點(diǎn)自定位精度的提高是通過(guò)增加信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目來(lái)實(shí)現(xiàn)，那就意味著定位精度的提高必須以增加系統(tǒng)成本為代價(jià)。采用移動(dòng)信標(biāo)進(jìn)行聲納陣列網(wǎng)絡(luò)自定位的方式，只需單個(gè)信標(biāo)即可完成自定位，降低了設(shè)備費(fèi)用和人工成本，同時(shí)可以提高信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的靈活性且布設(shè)范圍更廣，因而具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

本文考慮基于移動(dòng)信標(biāo)的自定位方案，在此基礎(chǔ)上提出一種三維總體最小二乘（TLS）的節(jié)點(diǎn)自定位方法，該方法引入一種基于方位角和俯仰角的變量含誤差模型，并在該模型下將未知節(jié)點(diǎn)位置估計(jì)轉(zhuǎn)化為T(mén)LS求解問(wèn)題，該方法與PLE算法相比消除了估計(jì)偏差問(wèn)題，隨著移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)的增加，其均方誤差能達(dá)到CRLB下界；與ML算法相比，該方法在觀測(cè)誤差較大或者數(shù)據(jù)量較少的情況下，不存在發(fā)散問(wèn)題。

本文以下第1部分描述聲納陣列網(wǎng)絡(luò)基于移動(dòng)信標(biāo)到達(dá)角節(jié)點(diǎn)自定位問(wèn)題；第2部分給出基于方位角和俯仰角的變量含誤差模型，結(jié)合該模型提出了三維總體最小二乘節(jié)點(diǎn)自定位算法，并分析該算法的漸進(jìn)最優(yōu)性；第3部分是基于方位角和俯仰角定位的CRLB性能分析；第4部分對(duì)三維PLE算法、ML算法、以及本文所提的算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)并分析這三種算法的優(yōu)缺點(diǎn)；最后是本文的總結(jié)。

1　基于移動(dòng)信標(biāo)到達(dá)角的水下聲納陣列網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)自定位

考慮圖1所示的帶有移動(dòng)信標(biāo)的水下聲納陣列網(wǎng)絡(luò)，一個(gè)帶有吊放主動(dòng)聲納機(jī)動(dòng)輪船按預(yù)先設(shè)定的軌跡作勻速直線運(yùn)動(dòng)，輪船利用GPS信號(hào)標(biāo)定自身位置并作為信標(biāo)節(jié)點(diǎn)。大量聲納陣列節(jié)點(diǎn)通過(guò)浮標(biāo)隨機(jī)布放在水下不同的深度，構(gòu)成水下聲納陣列網(wǎng)絡(luò)。采用移動(dòng)信標(biāo)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)自定位，移動(dòng)信標(biāo)實(shí)時(shí)廣播自己當(dāng)前的位置、移動(dòng)速度等信息，未知節(jié)點(diǎn)通過(guò)聲納陣列測(cè)量自己和信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的方位角和俯仰角，最終利用信標(biāo)節(jié)點(diǎn)不同時(shí)刻的位置、相應(yīng)的方位角和俯仰角信息，實(shí)現(xiàn)自定位。

圖1　水下聲納陣列網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)自定位示意圖

假設(shè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)在第k次廣播時(shí)的狀態(tài)記為sk=[sx,k,vx,k,sy,k,vy,k,sz,k,vz,k]T∈?6，其中[·]T表示轉(zhuǎn)置，(sx,k,sy,k,sz,k)表示信標(biāo)的位置，(vx,k,vy,k,vz,k)表示信標(biāo)的速度，?n表示所有n維實(shí)數(shù)向量。我們記p=[px,py,pz]T作為網(wǎng)絡(luò)中某一待估計(jì)節(jié)點(diǎn)位置的坐標(biāo)。未知節(jié)點(diǎn)第k次測(cè)量信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的方位角和俯仰角：

其中θk和?k分別表示第k次觀測(cè)時(shí)未知節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的方位角和俯仰角，nk和wk是獨(dú)立同分布零均值高斯白噪聲，方差分別為， k=1,…,K，K≥3。方位角θk和未知節(jié)點(diǎn)位置幾何關(guān)系如下：

將式（2）交叉相乘整理得：

我們令

其中bθ,k與信標(biāo)節(jié)點(diǎn)第k次廣播時(shí)的位置有關(guān)。我們定義diag(sinθ)，diag(cos θ)，A0和A1為：

我們記xs，ys為K維向量，xs=[sx,1,…,sx,K]T，ys=[sy,1,…,sy,K]T，其中sx,k和sy,k分別是向量xs和ys的第k個(gè)元素。將式（3）寫(xiě)成向量形式：此外，信標(biāo)節(jié)點(diǎn)與未知節(jié)點(diǎn)的俯仰角非線性關(guān)系是：

其中rk的計(jì)算公式如下：

將式（11）交叉相乘整理得：

我們令

同樣的，我們定義diag(sin?)，diag(cos ?)，A2和zs為：

由式（13），式（14）寫(xiě)為向量形式，得到另一個(gè)偽線性表達(dá)式：

其中Aθ,?和bθ,?的計(jì)算公式如下：

注意式（9），式（10），式（20），式（21）中的Aθ，bθ，Aθ,?和bθ,?都是未知的。相反，只有它們的測(cè)量值是可以用的，記為Aθ?，bθ?，Aθ?,??和bθ?,??，令A(yù)?=， b?=，則式（8），式（19）可以合寫(xiě)成：

其中式（22）中A?∈?2K×3，b?∈?2K×1，η是噪聲向量，p是待估計(jì)參數(shù)，可由最小二乘估計(jì)得到［13］：

其中||?||表示歐幾里德范數(shù)，求解式（23）可得：

式（24）被稱(chēng)為偽線性最小二乘估計(jì)（PLE），該結(jié)果和極大似然算法（ML）［18-19］將用于第5節(jié)中的算法仿真比較。在式（22）中，角度測(cè)量噪聲出現(xiàn)在A?和b?中，使得p?PLE不是無(wú)偏估計(jì)，并且其偏差并不會(huì)隨著測(cè)量次數(shù)趨向于無(wú)窮而消失。一種改進(jìn)的方法是完全最小二乘（TLS）算法，它可以減小位置估計(jì)偏差［20-21］。然而，偽線性方程Aθp=bθ和Aθ,?p=bθ,?的同時(shí)引入使得三維純方位角TLS算法不同于二維TLS算法，參量θ、?與位置坐標(biāo)具有很強(qiáng)的非線性耦合關(guān)系，我們需要推導(dǎo)新的變量含誤差EIV （Error in Variable）模型，并在該模型下驗(yàn)證三維純方位角TLS算法的漸進(jìn)最優(yōu)性。為了推導(dǎo)完全最小二乘（TLS）算法，我們首先需要假定認(rèn)為測(cè)量噪聲是上述公式的一種EIV模型。在第2小節(jié)中，我們將說(shuō)明三維節(jié)點(diǎn)自定位的EIV模型的測(cè)量誤差形式是具有塊對(duì)角結(jié)構(gòu)的矩陣。

2　三維總體最小二乘節(jié)點(diǎn)自定位

2.1基于方位角和俯仰角的變量含誤差模型

由于式（9），（10），（20），（21）中的Aθ，bθ，Aθ,?和bθ,?均是未知的，我們只能利用θ和?的觀測(cè)值θ?和??。將θ?和??分別代入Aθ，bθ，Aθ,?和bθ,?，并分別記為Aθ?，bθ?，Aθ?,??和bθ?,??。當(dāng)式（1）中方位角和俯仰角的測(cè)量誤差足夠小，我們有如下近似：

其中k=1,…,K。將式（25）～（28）代入Aθ?，bθ?，Aθ?,??和bθ?,??，得到新的EIV模型：

式中A∈?2K×3，b∈?2K×1，R∈?2K×4K，W∈?4K×4。

其中應(yīng)當(dāng)指出的是，式（31）中矩陣R里面的參數(shù)計(jì)算公式如下：

從推導(dǎo)中我們發(fā)現(xiàn)上述三維節(jié)點(diǎn)自定位的EIV模型（29）中矩陣R具有塊對(duì)角結(jié)構(gòu)。因此，該EIV模型不同于文獻(xiàn)［20］中的標(biāo)準(zhǔn)EIV模型，我們需要推導(dǎo)該模型下TLS算法的漸進(jìn)最優(yōu)性。

如果測(cè)量噪聲足夠小，可以忽略式（31）中的RθR?，由此式（31），（32）中的R和W可以簡(jiǎn)化為：

2.2三維總體最小二乘節(jié)點(diǎn)自定位

在文獻(xiàn)［21］中，當(dāng)A?和b?均存在測(cè)量誤差時(shí)，利用TLS算法可以減小A?和b?中的誤差，從而改善PLE估計(jì)的性能。通過(guò)讓A?和b?中的誤差Froben?ius范數(shù)最小，同時(shí)滿(mǎn)足等式Ap=b，TLS算法實(shí)質(zhì)是一個(gè)帶約束的最優(yōu)化問(wèn)題：

其中ΔA=A-A?，Δb=b-b?，||·||F表示Frobenius范數(shù)，式（46）的解我們用下面的引理1給出［20-22］：

引理1考慮到EIV模型（29）中，A，b和R，W分別由式（30）和式（31），（32）給出，我們定義：

4×4階矩陣Γ?的廣義特征值分解可以表示成：

其中λi是第i個(gè)特征值，vi是對(duì)應(yīng)的特征向量，i=1,…,4。假設(shè)λmin是最小的特征值，vmin是特征值λmin所對(duì)應(yīng)的特征值向量，式（46）的解為：

為獲取TLS估計(jì)p?TLS，我們需要使用式（49）進(jìn)行廣義特征值分解。然而在算法實(shí)現(xiàn)中，由于W中未知節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的真實(shí)方位角θ和俯仰角?是未知的，我們無(wú)法直接使用W矩陣。在高信噪比的假設(shè)條件下，我們用帶噪聲的矩陣W?近似表示W(wǎng)。在低信噪比的假設(shè)條件下，我們用W?獲得初始估計(jì)，并且利用該估計(jì)值計(jì)算方位角和俯仰角估計(jì)并更新W。一般來(lái)講，W?迭代估計(jì)2～3步即可達(dá)到滿(mǎn)意的估計(jì)性能。

綜上所述，三維節(jié)點(diǎn)自定位的TLS算法流程如下：

第1步，通過(guò)式（32）生成矩陣W?并計(jì)算∑?=W?TW?；

第2步，生成增廣矩陣[A?,-b?]，計(jì)算協(xié)方差矩陣Γ?；

第3步，通過(guò)式（49）進(jìn)行廣義特征值分解；第4步，通過(guò)式（50）得到估計(jì)結(jié)果；

第5步，利用估計(jì)結(jié)果更新矩陣W?，并重復(fù)上述步驟。

2.3三維總體最小二乘算法漸進(jìn)最優(yōu)分析

第2.2小節(jié)我們給出了三維節(jié)點(diǎn)自定位TLS算法，然而定位結(jié)果的漸進(jìn)最優(yōu)性仍需要進(jìn)一步證明。假設(shè)方位角和俯仰角量測(cè)噪聲的方差σ2θ,k和是已知的，并且我們記，，R和W的計(jì)算公式：

假設(shè)方位角和俯仰角的觀測(cè)噪聲是不相關(guān)的，則E{RTθR?}=0，接著噪聲矩陣R的協(xié)方差陣可以表示成：E{RTR}=σ2θI。假設(shè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)廣播次數(shù)K趨向于無(wú)窮的條件下，引理2給出了三維TLS節(jié)點(diǎn)自定位算法漸進(jìn)最優(yōu)性。

引理2考慮到EIV模型（29）中，A，b和R， W分別由式（30）和（51）和（52）給出，假設(shè)和是已知的并且足夠小。令λmin為Γ?相對(duì)于∑的廣義最小特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量vmin，

其中Γ?和∑在引理1式（47）和（48）中定義，式（50）的TLS解是未知節(jié)點(diǎn)位置參數(shù)p的漸進(jìn)極大似然（ML），并且當(dāng)K→∞時(shí)，

證明假設(shè)信標(biāo)廣播次數(shù)K≥3，式（52）所述的矩陣W∈?4K×4是列滿(mǎn)秩的，同時(shí)存在矩陣W的極分解且計(jì)算方法如下：

其中W∈?4K×4是正交矩陣，∑1 2?4×4是對(duì)稱(chēng)矩陣。注意到UTU=I和∑=WTW，I是4×4的單位矩陣。式（29）兩邊同乘以矩陣∑-1/2，則EIV模型變?yōu)椋?/p>

我們記Γ=[A-b]T[A-b]，Γs=∑-1/2Γ∑-1/2。通過(guò)文獻(xiàn)［16］中引理3.1的結(jié)果，若：

這表明：

以上一致性結(jié)果表明下式成立：

證明完成。

3　 CRLB分析

在本節(jié)中，我們給出基于移動(dòng)信標(biāo)的三維節(jié)點(diǎn)自定位的克拉美羅下界（CRLB）。對(duì)于任意的無(wú)偏估計(jì)量，它的方差肯定大于或者等于一個(gè)給定的值，這個(gè)值就是CRLB。求取CRLB為比較無(wú)偏估計(jì)量的性能提供了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。從相對(duì)于移動(dòng)信標(biāo)的方位角測(cè)量值{θ?1,…,θ?K}和俯仰角測(cè)量值{??1,…,??K}中估計(jì)未知節(jié)點(diǎn)位置參數(shù)p，其中θ?k和??k的表達(dá)式見(jiàn)式（1），k=1,…,K。假設(shè)觀測(cè)噪聲nk和wk分別是零均值高斯白噪聲，nk和wk互相獨(dú)立，并且它們的方差分別記為，推導(dǎo)Fisher信息矩陣J：

我們記：Δxk=px-sx,k，Δyk=py-sy,k，Δzk= pz-sz,k。根據(jù)式（2）和式（11）的幾何關(guān)系，和的表達(dá)式為：

其中

位置參數(shù)p的無(wú)偏估計(jì)量記為p?，其CRLB是C=J-1。位置均方根誤差的下界計(jì)算方法為：

其中tr(·)表示矩陣的跡。x軸，y軸，z軸位置估計(jì)誤差的CRLB分別為Cp,x=其中Cij是C的第i行第j列的元素。從式（63）我們可以看出，位置估計(jì)p?的CRLB與觀測(cè)噪聲方差和測(cè)量次數(shù)K有關(guān)，因此下面我們用兩個(gè)實(shí)例來(lái)分析不同觀測(cè)噪聲水平和不同觀測(cè)時(shí)間對(duì)CRLB的影響。

例1參數(shù)設(shè)定：考慮聲納陣列節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布在1 000×1 000×1 000 m3空間中，未知節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：p=[905,126,862]T，假定信標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其初始狀態(tài)：s1=［0，1.434 5，4.789 8，1 000，0］T。由于信標(biāo)只在x-y平面運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度：v==5 m/s。

我們固定移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)K=40，信標(biāo)每次廣播時(shí)間間隔：T=5 s，改變方位角和俯仰角的觀測(cè)噪聲方差：=(π/180)2×噪聲因子，k=1，…，K，其中“噪聲因子”的變化范圍為：-20 dB～20 dB，所得結(jié)果如圖2所示。圖2表明，位置估計(jì)p?的CRLB值會(huì)隨著測(cè)量噪聲的方差增加而增加。

圖2　不同噪聲因子影響下CRLB隨變化曲線

例2待估計(jì)節(jié)點(diǎn)位置和移動(dòng)信標(biāo)初始狀態(tài)參數(shù)設(shè)置見(jiàn)實(shí)例1，我們?cè)O(shè)定方位角和俯仰角觀測(cè)噪聲方差為：=(π/180)2，k=1，…，K，然后改變信標(biāo)廣播次數(shù)K，K的變化范圍為：100～1 000得到位置估計(jì)CRLB隨觀測(cè)次數(shù)變化的CRLB結(jié)果，如圖3所示。從圖3可以看出，p?的CRLB會(huì)隨著信標(biāo)廣播次數(shù)的增加而減小。

圖3　不同移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)K下CRLB變化曲線

4　算法仿真

在本節(jié)中，我們采用MATLAB2010b版本仿真軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所提出節(jié)點(diǎn)自定位算法的有效性。我們通過(guò)比較分析兩種不同幾何位置參數(shù)情況下的三維偽線性估計(jì)（PLE）［9］、最大似然（ML）［18］和總體最小二乘（TLS）節(jié)點(diǎn)自定位算法的性能。

考慮在1 000 m×1 000 m×1 000范圍內(nèi)移動(dòng)信標(biāo)通過(guò)實(shí)時(shí)廣播自身位置和速度信息對(duì)未知節(jié)點(diǎn)進(jìn)行定位。參數(shù)設(shè)定：假定信標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其初始狀態(tài)：s1=。信標(biāo)只在x-y平面運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度：v== 5 m/s，信標(biāo)每次廣播時(shí)間間隔：T=1 s，方位角和俯仰角的量測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差相同，且分別設(shè)置為：σθ,k=σ?,k：π/180，2π/180，3π/180，4π/180，5π/180，k=1，…，K。當(dāng)未知節(jié)點(diǎn)位于（200，300，800）m時(shí)，我們將三維PLE，ML和TLS算法運(yùn)行10 000次得到隨方差變化的位置均方根誤差（RMS）曲線，如圖4（a）～4 （d）所示。

從圖中可以看出ML和TLS算法優(yōu)于PLE估計(jì)，它們的RMS曲線均趨近于CRLB。然而，當(dāng)我們將未知節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)改為（1 000，1 000，200）m時(shí)，ML算法發(fā)散，如圖5（a）～（d）所示，發(fā)散問(wèn)題會(huì)隨著移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)K的增加而改善，當(dāng)K=200時(shí)，ML算法不再發(fā)散，而本文提出的三維TLS算法則不存在發(fā)散問(wèn)題，且TLS算法RMS誤差均小于PLE算法。

圖4　不同觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差下的定位均方根誤差比較，p=[200,300,800]T

接著我們將方位角和俯仰角的量測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差固定在σθ,k=σ?,k=π/180，k=1，…，K，同時(shí)改變移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)K，將三維PLE，ML和TLS算法運(yùn)行50次后得到相應(yīng)的RMS曲線，如圖6（a）、6（b）所示，其中圖6（a）是未知節(jié)點(diǎn)位于（200，300，800）m時(shí)運(yùn)行得到，圖6（b）則是對(duì)未知節(jié)點(diǎn)位于（1 000，1 000，200）m時(shí)的位置估計(jì)示意圖。我們發(fā)現(xiàn)隨著移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)K的增加，ML和TLS算法趨向于CRLB，而PLE算法是有偏估計(jì)，其偏差不會(huì)隨著移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)K的增加而漸進(jìn)達(dá)到CRLB。

圖5　不同觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差下的定位均方根誤差比較，p=［1 000，1 000，200］T

圖6　不同移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)K下的定位均方根誤差比較，σθ=σ?=π/180

最后，我們比較三維PLE，ML和TLS算法的計(jì)算時(shí)間，計(jì)算機(jī)操作系統(tǒng)：Microsoft Windows 7 Ultimate；CPU：奔騰雙核E5300 @2.60 GHz；內(nèi)存：2.00 GB，MATLAB：2010b。經(jīng)過(guò)10 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)后得到算法單次運(yùn)行平均時(shí)間如表1所示。

表1　三維PLE，ML和TLS算法運(yùn)行時(shí)間比較

從表1可以看出，TLS和PLE算法運(yùn)行時(shí)間基本一致，且明顯快于ML算法。綜上所述，TLS算法與ML算法相比從運(yùn)行時(shí)間和算法穩(wěn)定性上均優(yōu)于ML算法；TLS算法與PLE算法相比運(yùn)行時(shí)間上與PLE算法大致相同且具有較高的估計(jì)精度。

5　結(jié)論

聲納陣列網(wǎng)絡(luò)是無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)重要分支，在目標(biāo)定位、跟蹤和導(dǎo)航方面有重要應(yīng)用價(jià)值，自定位是將這些應(yīng)用付諸實(shí)踐的前提。在本文中，我們提出了基于移動(dòng)信標(biāo)方位角和俯仰角漸進(jìn)最優(yōu)節(jié)點(diǎn)自定位算法，通過(guò)將方位角和俯仰角非線性測(cè)量方程線性化，我們得到關(guān)于方位角和俯仰角的一類(lèi)變量含誤差模型。在該模型基礎(chǔ)上，我們提出一種三維總體最小二乘（TLS）算法實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)自定位，并證明該算法是漸進(jìn)最優(yōu)的，即隨移動(dòng)信標(biāo)廣播次數(shù)的增加能夠漸進(jìn)達(dá)到CRLB。仿真結(jié)果表明所提出的TLS算法在算法穩(wěn)定性和計(jì)算時(shí)間上優(yōu)于極大似然算法，在定位精度上優(yōu)于偽線性估計(jì)算法。

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譚智文（1991-），男，碩士研究生，杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院信息與控制研究所，主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)定位與跟蹤；

郭云飛（1978-），男，博士，副教授。杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院信息與控制研究所，主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)跟蹤、弱目標(biāo)信號(hào)檢測(cè)、非線性濾波、信息融合等。

Asymptotically Optimum Bearing-Only Self-Localization for Sonar Array Network Nodes Based on Moving Beacon*

LUO Jian1，2*，TAN Zhiwen1，GUO Yunfei1
（1.Key Lab for IOT and Information Fusion Technology of Zhejiang，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou 310018，China；2.715 Research Institute，National Defense Science and Technology Key Laboratory of Sonar Technology，Hangzhou 310012，China）

Abstract：This paper presents a 3D total least-squares（TLS）algorithm to solve the self-localization problem using azimuth/elevation angles with regarding to a moving beacon in a sonar array network. First we linearize the azimuth and elevation measurement equations and show that the new model fits a class of error in variables（EIV）models. Then the 3D TLS algorithm is proposed based on the EIV model and it is proved to be asymptotically optimal. The simulations show that the mean squared error of the proposed estimator achieves the CRLB asymptotically.

Key words：sonar array networks；node self-localization；total least-squares；movingbeacon；azimuth/elevation

doi：EEACC：723010.3969/j.issn.1004-1699.2016.03.017

收稿日期：2015-11-06修改日期：2015-12-14

中圖分類(lèi)號(hào)：TP393

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-1699（2016）03-0403-08