摘 要：極限概念為微積分學一個基礎(chǔ)概念。極限方法對有限與無限、常量與變量、勻速運動與變速運動、直線與曲線等對立統(tǒng)一矛盾辯證及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系予以揭示。高等數(shù)學中學生對極限定義的理解是其學習高數(shù)的首道關(guān)卡，其對學生的后續(xù)學習有著直接影響。本文針對在高數(shù)極限概念學習中學生遇到的困難及相應的教學方法加以探討。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學；極限概念；教學方法

1.學生在高等數(shù)學極限概念學習中困難的具體表現(xiàn)

（1）理解困難。①詞義理解困難。所謂極限，日常生活中指的是不應該或不可能超過的事物，而高數(shù)中極限的涵義則存在極大差異。函數(shù)極限概念中的“趨近于”就自變量x其變化狀態(tài)而言，若“趨近于a”則指的是該自變量的值與a充分接近但永遠不會與a相等。函數(shù)值f（x）在此變化過程中“趨近于A” 則指的是該函數(shù)值可大于、小于或等于A。可見，兩者所蘊含的完全不同含義使得學生在極限概念的學習理解難度大。[1] ②對ε與δ（N）關(guān)系及意義未能明確理解。在極限的ε-δ（N）其定義中將ε與δ（N）兩個新量引入，通過兩者間兩個不等式來對極限進行定義。定義中，ε>0是對函數(shù)f（x）→A時期接近A的程度的刻畫，而極限概念中“任意給定一個大于零的ε”確定性與任意性并存，對有限與無限、靜與動、變與不變的對立統(tǒng)一予以深刻反映。但學生常將取“ε為任意小”理解成ε為一個正數(shù)符號，其表達的是任意小，即是說，ε不為零，但小于任何真實正數(shù)，這就使得學生難以理解相關(guān)內(nèi)容。

（2）使用困難。由于學生對極限概念的理解存在難度甚至錯誤，其在使用中也頗具難度，主要表現(xiàn)在以下方面：①對定義的使用存在錯誤；②對于復雜不等式，要想將相應的δ找出來則難度較大。在正常極限中，可通過適當放大來尋找到相應的δ，而在非正常極限中，卻需進行適當縮小，而學生對放大與縮小方法的使用時機把握不準；③學生對等價替代在直觀上把握難度不大，但對等價性邏輯證明則更有難度。

2.高等數(shù)學極限概念教學方法探討

（1）以實例為基礎(chǔ)，將數(shù)列極限引出。教學人員可于數(shù)軸上將相應點畫出，以讓學生對無窮數(shù)列項數(shù)n變化中（n，∞）數(shù)列f（n）的變化進行分析，從而掌握解題方法。換言之，f（n）→0，

從而讓學生對“趨向”“無窮”及“無限接近”等詞的含義以及極限概念中“變”“動”等思想加以充分理解。通過實例讓學生產(chǎn)生直觀表象，進而引發(fā)想象，以為“ε語言”對極限定義的進一步敘述做好鋪墊。[2]

（2）對極限定義中“ε”的給定性、任意性以及N、X、-δ對ε的依賴性予以充分說明，為ε的作用的刻畫做好鋪墊。比如，函數(shù)極限定義中，ε為任意的，唯有不等式∣f（x）-A∣<ε方可對f（x）無限接近常數(shù)A進行刻畫；另外，ε具有給定性，唯有其方可對δ的存在性進行確定。而ε的給定便可證明的δ存在，二者為對應關(guān)系，δ依賴ε而存在，二者又具有依賴性。此外，還應對ε為任意小正數(shù)加以強調(diào)，換言之，ε為要多小便有多小的正數(shù)。

（3）螺旋鞏固，構(gòu)建概念網(wǎng)絡。極限概念在高等數(shù)學中具有全局性，學生在學習可導、連續(xù)等相關(guān)后續(xù)概念后，應借助反例、定理及公式等進行有意識比較，從而促進正確概念網(wǎng)絡的建成，以實現(xiàn)對學生分析能力、對事物實質(zhì)的辨析能力、思維能力等綜合能力的培養(yǎng)。

（4）強化對學生語言邏輯結(jié)構(gòu)層次的引導與分析。比如，在極限概念中，可通過下述順序來對該概念進行層層講解與分解。①n→∞時，Xn于a具有無限趨近性；②n越大，則Xn越靠近a；③n越大，則Xn同a間的距離越小；④不管ε（ε>0）多小，n只要充分大，Xn同a的距離便小于ε；⑤每個ε（ε>0）均有相應N的存在，只要n>N，Xn同a的距離便小于ε。如此，通過對邏輯結(jié)構(gòu)進行分層展示，使極限概念邏輯結(jié)構(gòu)的層次明確清楚，使難點得以分散，學生能夠?qū)υ撨壿媽哟芜M行更好的理解，從而從整體上對極限概念予以把握。

極限概念屬高等數(shù)學教學重點、難點，這就要求教學人員在教學過程中應注重對學生綜合能力的培養(yǎng)，通過恰當教學方法來幫助其更好地對極限概念進行理解，從而幫助其深入理解與掌握極限概念，為高等數(shù)學的進一步學習奠定良好基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]張洪光，王曉英.數(shù)列極限概念教學問題探討[J].赤峰學院學報（自然科學版），2012，（6）：11-14.

[2]孔維麗.高等數(shù)學中極限思想的體現(xiàn)及極限概念教學[J].科技信息，2012，（28）：103.